Tko je smislio teoriju vjerojatnosti? Najjednostavniji pojmovi teorije vjerojatnosti. Sami pronađite vjerojatnosti i zatim pogledajte rješenje

Tečaj matematike priprema mnoga iznenađenja za školarce, a jedno od njih je zadatak iz teorije vjerojatnosti. Učenici u gotovo sto posto slučajeva imaju problema s rješavanjem takvih zadataka. Da biste razumjeli i razumjeli ovo pitanje, morate znati osnovna pravila, aksiome i definicije. Da biste razumjeli tekst u knjizi, morate znati sve kratice. Nudimo da naučimo sve ovo.

Znanost i njezina primjena

Budući da nudimo brzi tečaj "teorije vjerojatnosti za lutke", prvo moramo predstaviti osnovne koncepte i slovne kratice. Za početak, definirajmo sam pojam "teorije vjerojatnosti". Kakva je to znanost i zašto je potrebna? Teorija vjerojatnosti jedna je od grana matematike koja proučava slučajne pojave i količine. Ona također razmatra obrasce, svojstva i operacije koje se izvode s ovim slučajnim varijablama. Čemu služi? Znanost je postala raširena u proučavanju prirodnih pojava. Svaki prirodni i fizički proces ne može proći bez prisutnosti slučajnosti. Čak i ako su rezultati tijekom eksperimenta zabilježeni što je točnije moguće, ako se isti test ponovi, rezultat najvjerojatnije neće biti isti.

Svakako ćemo pogledati primjere zadataka, možete vidjeti i sami. Ishod ovisi o mnogo različitih čimbenika koje je gotovo nemoguće uzeti u obzir ili registrirati, ali unatoč tome imaju ogroman utjecaj na ishod eksperimenta. Živopisni primjeri uključuju zadatak određivanja putanje planeta ili određivanje vremenske prognoze, vjerojatnost susreta s poznatom osobom dok putujete na posao i određivanje visine skoka sportaša. Veliku pomoć brokerima na burzama pruža i teorija vjerojatnosti. Problem u teoriji vjerojatnosti, čije je rješavanje prije imalo mnogo problema, za vas će postati obična sitnica nakon tri ili četiri primjera navedena u nastavku.

Događaji

Kao što je ranije rečeno, znanost proučava događaje. Teorija vjerojatnosti, pogledat ćemo primjere rješavanja problema malo kasnije, proučava samo jednu vrstu - slučajnu. Ali ipak morate znati da događaji mogu biti tri vrste:

• Nemoguće.
• Pouzdan.
• Slučajno.

Predlažemo da malo razgovaramo o svakom od njih. Nemoguć događaj se nikada neće dogoditi, ni pod kojim okolnostima. Primjeri uključuju: smrzavanje vode na temperaturama iznad ništice, izvlačenje kocke iz vrećice s kuglicama.

Pouzdan događaj se uvijek događa sa 100% jamstvom ako su ispunjeni svi uvjeti. Na primjer: dobili ste plaću za obavljeni rad, dobili ste diplomu o visokom stručnom obrazovanju ako ste savjesno učili, položili ispite i obranili diplomu i sl.

Sve je malo kompliciranije: tijekom eksperimenta može se dogoditi ili ne, na primjer, izvlačenje asa iz špila karata nakon ne više od tri pokušaja. Rezultat možete dobiti u prvom pokušaju ili ga uopće ne možete postići. To je vjerojatnost pojave događaja koju znanost proučava.

Vjerojatnost

To je, u općem smislu, procjena mogućnosti uspješnog ishoda iskustva u kojem se događaj događa. Vjerojatnost se procjenjuje na kvalitativnoj razini, osobito ako je kvantitativna procjena nemoguća ili teška. Problem u teoriji vjerojatnosti s rješenjem, točnije s procjenom, uključuje pronalaženje upravo tog mogućeg udjela uspješnog ishoda. Vjerojatnost u matematici je numerička karakteristika događaja. Uzima vrijednosti od nule do jedan, označene slovom P. Ako je P jednako nuli, tada se događaj ne može dogoditi, ako je jedan, tada će se događaj dogoditi sa stopostotnom vjerojatnošću. Što se P više približava jedinici, veća je vjerojatnost uspješnog ishoda, i obrnuto, ako je blizu nule, tada će se događaj dogoditi s malom vjerojatnošću.

Kratice

Problem vjerojatnosti s kojim ćete se uskoro suočiti može sadržavati sljedeće kratice:

• P i P(X);
• A, B, C itd.;

Moguća su i neka druga: po potrebi će se dati dodatna objašnjenja. Predlažemo da prvo razjasnimo gore navedene kratice. Prvi na našem popisu je faktorijel. Da bi bilo jasnije, dajemo primjere: 5!=1*2*3*4*5 ili 3!=1*2*3. Zatim se dani skupovi pišu u vitičastim zagradama, na primjer: (1;2;3;4;..;n) ili (10;140;400;562). Sljedeći zapis je skup prirodnih brojeva koji se često nalazi u zadacima iz teorije vjerojatnosti. Kao što je ranije spomenuto, P je vjerojatnost, a P(X) je vjerojatnost pojave događaja X. Događaji se označavaju velikim slovima latinične abecede, na primjer: A - uhvaćena je bijela loptica, B - plava , C - crveno ili, redom, . Malo slovo n je broj svih mogućih ishoda, a m je broj uspješnih. Odavde dobivamo pravilo za pronalaženje klasične vjerojatnosti u elementarnim problemima: P = m/n. Teorija vjerojatnosti “za lutke” vjerojatno je ograničena na ovo znanje. Sada, za konsolidaciju, prijeđimo na rješenje.

Problem 1. Kombinatorika

Studentsku grupu čini tridesetak ljudi od kojih je potrebno izabrati načelnika, njegovog zamjenika i sindikalnog čelnika. Potrebno je pronaći više načina za ovu akciju. Sličan zadatak može se pojaviti na jedinstvenom državnom ispitu. Teorija vjerojatnosti, čije rješenje problema sada razmatramo, može uključivati ​​probleme iz kolegija kombinatorike, pronalaženje klasične vjerojatnosti, geometrijske vjerojatnosti i probleme na osnovnim formulama. U ovom primjeru rješavamo zadatak iz kolegija kombinatorike. Prijeđimo na rješenje. Ovaj zadatak je najjednostavniji:

1. n1=30 - mogući prefekti grupe studenata;
2. n2=29 - oni koji mogu preuzeti dužnost zamjenika;
3. n3=28 osoba prijavljuje se za mjesto sindikalista.

Sve što trebamo učiniti je pronaći mogući broj opcija, odnosno pomnožiti sve pokazatelje. Kao rezultat, dobivamo: 30 * 29 * 28 = 24360.

Ovo će biti odgovor na postavljeno pitanje.

Problem 2. Preuređivanje

Na konferenciji govori 6 sudionika, redoslijed se utvrđuje ždrijebom. Moramo pronaći broj mogućih opcija izvlačenja. U ovom primjeru razmatramo permutaciju šest elemenata, odnosno trebamo pronaći 6!

U odjeljku o kraticama već smo spomenuli što je to i kako se izračunava. Ukupno se ispostavlja da postoji 720 opcija crtanja. Na prvi pogled težak zadatak ima vrlo kratko i jednostavno rješenje. To su zadaci koje razmatra teorija vjerojatnosti. U sljedećim primjerima ćemo pogledati kako riješiti probleme više razine.

Problem 3

Grupa od dvadeset i pet učenika mora biti podijeljena u tri podskupine od šest, devet i deset osoba. Imamo: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Ostaje zamijeniti vrijednosti u traženu formulu, dobivamo: N25 (6,9,10). Nakon jednostavnih izračuna dobivamo odgovor - 16 360 143 800. Ako zadatak ne kaže da je potrebno dobiti numeričko rješenje, tada se ono može dati u obliku faktorijela.

Problem 4

Troje ljudi je pogađalo brojeve od jedan do deset. Odredite vjerojatnost da će se nečiji brojevi podudarati. Prvo moramo saznati broj svih ishoda - u našem slučaju to je tisuću, odnosno deset na treću potenciju. Pronađimo sada broj opcija kada su svi pogodili različite brojeve, da bismo to učinili, množimo deset, devet i osam. Odakle ti brojevi? Prvi pogađa broj, ima deset opcija, drugi već ima devet, a treći treba izabrati između preostalih osam, tako da dobijemo 720 mogućih opcija. Kao što smo već ranije izračunali, opcija je ukupno 1000, a bez ponavljanja 720, dakle, zanima nas preostalih 280. Sada nam treba formula za pronalaženje klasične vjerojatnosti: P = . Dobili smo odgovor: 0,28.

Mnogi se, kada se suoče s konceptom “teorije vjerojatnosti”, uplaše, misleći da je to nešto neodoljivo, vrlo složeno. Ali zapravo sve nije tako tragično. Danas ćemo pogledati osnovni koncept teorije vjerojatnosti i naučiti kako rješavati probleme koristeći konkretne primjere.

Znanost

Što proučava takva grana matematike kao što je "teorija vjerojatnosti"? Bilježi uzorke i količine. Znanstvenici su se prvi put zainteresirali za ovo pitanje još u osamnaestom stoljeću, kada su proučavali kockanje. Osnovni pojam teorije vjerojatnosti je događaj. To je svaka činjenica koja je utvrđena iskustvom ili opažanjem. Ali što je iskustvo? Drugi temeljni koncept teorije vjerojatnosti. To znači da ovaj splet okolnosti nije stvoren slučajno, već s određenom svrhom. Što se tiče promatranja, ovdje sam istraživač ne sudjeluje u eksperimentu, već je samo svjedok tih događaja, on ni na koji način ne utječe na ono što se događa.

Događaji

Naučili smo da je osnovni koncept teorije vjerojatnosti događaj, ali nismo razmatrali klasifikaciju. Svi su podijeljeni u sljedeće kategorije:

• Pouzdan.
• Nemoguće.
• Slučajno.

Bez obzira na vrstu događaja, opaženih ili stvorenih tijekom iskustva, svi oni podliježu ovoj klasifikaciji. Pozivamo vas da se upoznate sa svakom vrstom zasebno.

Pouzdan događaj

To je okolnost za koju je poduzet potreban niz mjera. Da bismo bolje razumjeli suštinu, bolje je navesti nekoliko primjera. Ovom zakonu podliježu fizika, kemija, ekonomija i viša matematika. Teorija vjerojatnosti uključuje tako važan koncept kao pouzdani događaj. Evo nekoliko primjera:

• Radimo i primamo naknadu u vidu plaće.
• Dobro smo položili ispite, prošli na natjecanju i za to dobivamo nagradu u vidu upisa u obrazovnu ustanovu.
• Novac smo uložili u banku, a ako treba, vratit ćemo ga.

Takvi događaji su pouzdani. Ako smo ispunili sve potrebne uvjete, sigurno ćemo dobiti očekivani rezultat.

Nemogući događaji

Sada razmatramo elemente teorije vjerojatnosti. Predlažemo prijeći na objašnjenje sljedeće vrste događaja, naime nemogućeg. Prvo, odredimo najvažnije pravilo - vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.

Od ove formulacije ne može se odstupiti pri rješavanju problema. Radi pojašnjenja, evo primjera takvih događaja:

• Voda se smrzavala na temperaturi od plus deset (to je nemoguće).
• Nedostatak električne energije ni na koji način ne utječe na proizvodnju (jednako nemoguće kao u prethodnom primjeru).

Ne vrijedi navoditi više primjera, budući da gore opisani vrlo jasno odražavaju bit ove kategorije. Nemoguć događaj se nikada neće dogoditi tijekom eksperimenta ni pod kojim okolnostima.

Slučajni događaji

Prilikom proučavanja elemenata posebnu pozornost treba obratiti na ovu vrstu događaja. To je ono što znanost proučava. Kao rezultat iskustva, nešto se može dogoditi, ali i ne mora. Osim toga, test se može provoditi neograničeni broj puta. Živopisni primjeri uključuju:

• Bacanje novčića je iskustvo ili test, pad glava je događaj.
• Izvlačenje lopte na slijepo iz vreće je test, dobivanje crvene lopte je događaj, i tako dalje.

Takvih primjera može biti neograničen broj, ali, općenito, suština bi trebala biti jasna. Kako bismo saželi i sistematizirali stečena znanja o događajima, donosimo tablicu. Teorija vjerojatnosti proučava samo posljednju vrstu od svih prikazanih.

Ime	definicija
Pouzdan	Događaji koji se odvijaju uz 100% jamstvo ako su zadovoljeni određeni uvjeti.	Upis u obrazovnu ustanovu nakon dobrog položenog prijemnog ispita.
Nemoguće	Događaji koji se neće dogoditi ni pod kojim okolnostima.	Pada snijeg pri temperaturi zraka od plus trideset Celzijevih stupnjeva.
Slučajno	Događaj koji se može ili ne mora dogoditi tijekom eksperimenta/testiranja.	Pogodak ili promašaj prilikom ubacivanja košarkaške lopte u obruč.

Zakoni

Teorija vjerojatnosti je znanost koja proučava mogućnost događanja događaja. Kao i drugi, ima neka pravila. Postoje sljedeći zakoni teorije vjerojatnosti:

• Konvergencija nizova slučajnih varijabli.
• Zakon velikih brojeva.

Kada izračunavate mogućnost nečeg složenog, možete koristiti skup jednostavnih događaja kako biste na lakši i brži način postigli rezultat. Imajte na umu da se zakoni teorije vjerojatnosti lako dokazuju pomoću određenih teorema. Predlažemo da se najprije upoznate s prvim zakonom.

Konvergencija nizova slučajnih varijabli

Imajte na umu da postoji nekoliko vrsta konvergencije:

• Niz slučajnih varijabli konvergira u vjerojatnosti.
• Skoro nemoguće.
• Srednja kvadratna konvergencija.
• Konvergencija distribucije.

Dakle, odmah na početku, vrlo je teško shvatiti suštinu. Evo definicija koje će vam pomoći razumjeti ovu temu. Počnimo s prvim pogledom. Niz se zove konvergentan u vjerojatnosti, ako je ispunjen sljedeći uvjet: n teži beskonačnosti, broj kojem niz teži je veći od nule i blizak jedinici.

Prijeđimo na sljedeći prikaz, skoro sigurno. Za niz se kaže da konvergira skoro sigurno na slučajnu varijablu s n koja teži beskonačnosti i P koja teži vrijednosti blizu jedinici.

Sljedeća vrsta je konvergencija srednjeg kvadrata. Kada se koristi SC konvergencija, proučavanje vektorskih slučajnih procesa svodi se na proučavanje njihovih koordinatnih slučajnih procesa.

Ostaje posljednja vrsta, pogledajmo je ukratko kako bismo mogli izravno prijeći na rješavanje problema. Konvergencija u distribuciji ima još jedno ime - "slaba", a kasnije ćemo objasniti zašto. Slaba konvergencija je konvergencija funkcija distribucije u svim točkama kontinuiteta granične funkcije distribucije.

Obećanje ćemo svakako održati: slaba konvergencija se od svega navedenog razlikuje po tome što slučajna varijabla nije definirana u prostoru vjerojatnosti. To je moguće jer se uvjet formira isključivo pomoću distribucijskih funkcija.

Zakon velikih brojeva

Teoreme teorije vjerojatnosti, kao što su:

• Čebiševljeva nejednakost.
• Čebiševljev teorem.
• Generalizirani Čebiševljev teorem.
• Markovljev teorem.

Ako uzmemo u obzir sve te teoreme, onda se ovo pitanje može povući na nekoliko desetaka listova. Naš glavni zadatak je primijeniti teoriju vjerojatnosti u praksi. Predlažemo da to učinite odmah. Ali prije toga, pogledajmo aksiome teorije vjerojatnosti; oni će biti glavni pomoćnici u rješavanju problema.

Aksiomi

S prvim smo se već susreli kada smo govorili o nemogućem događaju. Podsjetimo: vjerojatnost nemogućeg događaja je nula. Dali smo vrlo živopisan i nezaboravan primjer: snijeg je pao na temperaturi zraka od trideset stupnjeva Celzijusa.

Drugi je sljedeći: pouzdani događaj događa se s vjerojatnošću jednakom jedan. Sada ćemo pokazati kako ovo napisati matematičkim jezikom: P(B)=1.

Treće: Slučajni događaj se može, ali i ne mora dogoditi, ali mogućnost se uvijek kreće od nula do jedan. Što je vrijednost bliža jedinici, veće su šanse; ako se vrijednost približava nuli, vjerojatnost je vrlo mala. Zapišimo ovo matematičkim jezikom: 0<Р(С)<1.

Razmotrimo posljednji, četvrti aksiom, koji zvuči ovako: vjerojatnost zbroja dva događaja jednaka je zbroju njihovih vjerojatnosti. Zapisujemo to matematičkim jezikom: P(A+B)=P(A)+P(B).

Aksiomi teorije vjerojatnosti su najjednostavnija pravila koja nije teško zapamtiti. Pokušajmo riješiti neke probleme na temelju već stečenog znanja.

Listić lutrije

Prvo, pogledajmo najjednostavniji primjer – lutriju. Zamislite da ste kupili jednu srećku za sreću. Koja je vjerojatnost da ćete osvojiti najmanje dvadeset rubalja? Ukupno u optjecaju sudjeluje tisuću ulaznica, od kojih jedna ima nagradu od petsto rubalja, deset ih ima po stotinu rubalja, pedeset ima nagradu od dvadeset rubalja, a sto ima nagradu od pet. Problemi vjerojatnosti temelje se na pronalaženju mogućnosti sreće. Sada ćemo zajedno analizirati rješenje gornjeg zadatka.

Ako koristimo slovo A za označavanje dobitka od pet stotina rubalja, tada će vjerojatnost dobivanja A biti jednaka 0,001. Kako smo ovo dobili? Samo trebate podijeliti broj "sretnih" listića s njihovim ukupnim brojem (u ovom slučaju: 1/1000).

B je dobitak od sto rubalja, vjerojatnost će biti 0,01. Sada smo postupili po istom principu kao u prethodnoj akciji (10/1000)

C - dobitak je dvadeset rubalja. Pronalazimo vjerojatnost, ona je jednaka 0,05.

Preostale ulaznice nas ne zanimaju jer je njihov nagradni fond manji od navedenog u uvjetu. Primijenimo četvrti aksiom: Vjerojatnost da dobijete najmanje dvadeset rubalja je P(A)+P(B)+P(C). Slovo P označava vjerojatnost pojave određenog događaja, već smo ih pronašli u prethodnim radnjama. Ostaje još samo zbrojiti potrebne podatke, a odgovor koji dobivamo je 0,061. Ovaj broj će biti odgovor na pitanje zadatka.

Špil karata

Problemi u teoriji vjerojatnosti mogu biti složeniji; na primjer, uzmimo sljedeći zadatak. Pred vama je špil od trideset i šest karata. Vaš zadatak je izvući dvije karte u nizu bez miješanja hrpe, prva i druga karta moraju biti asovi, boja nije bitna.

Prvo, pronađimo vjerojatnost da će prva karta biti as, za to dijelimo četiri sa trideset šest. Stavili su ga na stranu. Izvadimo drugu kartu, to će biti as s vjerojatnošću tri trideset petine. Vjerojatnost drugog događaja ovisi o tome koju smo kartu prvu izvukli, pitamo se je li to bio as ili ne. Iz ovoga slijedi da događaj B ovisi o događaju A.

Sljedeći korak je pronaći vjerojatnost istovremenog događanja, odnosno množimo A i B. Njihov umnožak nalazimo na sljedeći način: množimo vjerojatnost jednog događaja s uvjetnom vjerojatnošću drugog, koju izračunavamo, pretpostavljajući da je prvi dogodio se događaj, odnosno izvukli smo asa s prvom kartom.

Da bi sve bilo jasno, dajmo oznaku takvom elementu kao što su događaji. Izračunava se pod pretpostavkom da se dogodio događaj A. Izračunava se na sljedeći način: P(B/A).

Nastavimo rješavati naš problem: P(A * B) = P(A) * P(B/A) ili P(A * B) = P(B) * P(A/B). Vjerojatnost je jednaka (4/36) * ((3/35)/(4/36). Računamo zaokruživanjem na najbližu stotinku. Imamo: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09.Vjerojatnost da ćemo izvući dva asa zaredom je devet stotinki.Vrijednost je vrlo mala, iz čega slijedi da je vjerojatnost da se događaj dogodi izuzetno mala.

Zaboravljeni broj

Predlažemo da analiziramo još nekoliko varijanti zadataka koje proučava teorija vjerojatnosti. Primjere rješavanja nekih od njih već ste vidjeli u ovom članku. Pokušajmo riješiti sljedeći problem: dječak je zaboravio zadnju znamenku telefonskog broja svog prijatelja, ali kako je poziv bio vrlo važan, počeo je birati sve redom . Moramo izračunati vjerojatnost da neće nazvati više od tri puta. Rješenje problema je najjednostavnije ako se poznaju pravila, zakoni i aksiomi teorije vjerojatnosti.

Prije nego pogledate rješenje, pokušajte ga sami riješiti. Znamo da posljednja znamenka može biti od nula do devet, odnosno deset vrijednosti ukupno. Vjerojatnost da dobijete pravu je 1/10.

Zatim, moramo razmotriti opcije za podrijetlo događaja, pretpostavimo da je dječak dobro pogodio i odmah upisao pravu, vjerojatnost takvog događaja je 1/10. Druga opcija: prvi poziv promašuje, a drugi je na meti. Izračunajmo vjerojatnost takvog događaja: pomnožimo 9/10 s 1/9, a kao rezultat također dobivamo 1/10. Treća opcija: prvi i drugi poziv pokazali su se na krivoj adresi, tek trećim je dječak stigao gdje je htio. Izračunavamo vjerojatnost takvog događaja: 9/10 pomnoženo s 8/9 i 1/8, što rezultira 1/10. Druge mogućnosti prema uvjetima problema nas ne zanimaju, pa samo trebamo zbrajati dobivene rezultate, na kraju imamo 3/10. Odgovor: vjerojatnost da se dječak neće javiti više od tri puta je 0,3.

Kartice s brojevima

Pred vama je devet karata, na svakoj je ispisan broj od jedan do devet, brojevi se ne ponavljaju. Stavili su ih u kutiju i temeljito izmiješali. Morate izračunati vjerojatnost da

• pojavit će se paran broj;
• dvoznamenkasti.

Prije nego prijeđemo na rješenje, uvjetujmo da je m broj uspješnih slučajeva, a n ukupan broj opcija. Nađimo vjerojatnost da će broj biti paran. Neće biti teško izračunati da postoje četiri parna broja, to će biti naše m, ukupno je devet mogućih opcija, odnosno m=9. Tada je vjerojatnost 0,44 ili 4/9.

Razmotrimo drugi slučaj: broj opcija je devet, a ne može uopće biti uspješnih ishoda, odnosno m je jednako nula. Vjerojatnost da će izvučena karta sadržavati dvoznamenkasti broj također je nula.

Odjeljak 12. Teorija vjerojatnosti.

1. Uvod

2. Najjednostavniji pojmovi teorije vjerojatnosti

3. Algebra događaja

4. Vjerojatnost slučajnog događaja

5. Geometrijske vjerojatnosti

6. Klasične vjerojatnosti. Kombinatoričke formule.

7. Uvjetna vjerojatnost. Neovisnost događaja.

8. Formula potpune vjerojatnosti i Bayesova formula

9. Ponovljena shema ispitivanja. Bernoullijeva formula i njena asimptotika

10. Slučajne varijable (RV)

11. DSV serija distribucije

12. Funkcija kumulativne distribucije

13. Funkcija raspodjele NSV

14. Gustoća vjerojatnosti NSV

15. Numeričke karakteristike slučajnih varijabli

16. Primjeri važnijih SV distribucija

16.1. Binomna distribucija DSV.

16.2. Poissonova distribucija

16.3. Jednolika raspodjela NSV.

16.4. Normalna distribucija.

17. Granični teoremi teorije vjerojatnosti.

Uvod

Teorija vjerojatnosti, kao i mnoge druge matematičke discipline, razvila se iz potreba prakse. Istovremeno, pri proučavanju realnog procesa bilo je potrebno stvoriti apstraktni matematički model realnog procesa. Obično se uzimaju u obzir glavne, najznačajnije pokretačke sile stvarnog procesa, odbacujući iz razmatranja sekundarne, koje se nazivaju slučajnim. Naravno, što se smatra glavnim, a što sporednim, poseban je zadatak. Rješenje ovog pitanja određuje razinu apstrakcije, jednostavnost ili složenost matematičkog modela i razinu primjerenosti modela stvarnom procesu. U biti, svaki apstraktni model je rezultat dviju suprotnih težnji: jednostavnosti i primjerenosti stvarnosti.

Na primjer, u teoriji gađanja, razvijene su prilično jednostavne i prikladne formule za određivanje putanje leta projektila iz pištolja koji se nalazi u točki (slika 1).

Pod određenim uvjetima dovoljna je spomenuta teorija, primjerice, tijekom masivne topničke pripreme.

No, jasno je da će putanje, iako blizu, biti različite, ako se iz jednog pištolja pod istim uvjetima ispali više hitaca. A ako je ciljna veličina mala u usporedbi s područjem raspršenja, tada se postavljaju specifična pitanja vezana uz utjecaj faktora koji nisu uzeti u obzir u predloženom modelu. Istodobno, uzimanje u obzir dodatnih čimbenika dovest će do previše složenog modela koji je gotovo nemoguće koristiti. Osim toga, postoji mnogo ovih slučajnih čimbenika, čija je priroda najčešće nepoznata.

U gornjem primjeru, takva specifična pitanja koja nadilaze deterministički model su, na primjer, sljedeća: koliko hitaca mora biti ispaljeno da bi se zajamčio pogodak mete s određenom sigurnošću (na primjer, na )? Kako treba izvesti nuliranje kako bi se iskoristila najmanja količina granata za pogodak u metu? i tako dalje.

Kao što ćemo kasnije vidjeti, riječi "slučajan" i "vjerojatnost" postat će strogi matematički izrazi. Istodobno, vrlo su česti u običnom kolokvijalnom govoru. Vjeruje se da je pridjev "slučajan" suprotan od "prirodan". No, to nije tako, jer je priroda tako dizajnirana da slučajni procesi otkrivaju obrasce, ali pod određenim uvjetima.

Glavni uvjet je tzv masovni karakter.

Na primjer, ako bacite novčić, ne možete predvidjeti što će ispasti, grb ili broj, možete samo nagađati. Međutim, ako se ovaj novčić baci velik broj puta, udio ispadanja grba neće se mnogo razlikovati od određenog broja blizu 0,5 (u nastavku ćemo ovaj broj zvati vjerojatnost). Štoviše, s povećanjem broja bacanja smanjit će se odstupanje od tog broja. Ovo svojstvo se zove stabilnost prosječni pokazatelji (u ovom slučaju - udio grbova). Mora se reći da u prvim koracima teorije vjerojatnosti, kada je bilo potrebno u praksi provjeriti prisutnost svojstva stabilnosti, čak ni velikim znanstvenicima nije bilo teško provesti vlastitu provjeru. Dakle, poznati eksperiment Buffona, koji je bacio novčić 4040 puta, a grb se pojavio 2048 puta, dakle, udio (ili relativna učestalost) gubitka grba je 0,508, što je blizu intuitivno očekivani broj od 0,5.

Stoga se obično daje definicija predmet teorije vjerojatnosti kao grane matematike koja proučava obrasce masovnih slučajnih procesa.

Mora se reći da, unatoč činjenici da najveća dostignuća teorije vjerojatnosti datiraju s početka prošlog stoljeća, posebno zahvaljujući aksiomatskoj konstrukciji teorije u djelima A.N. Kolmogorov (1903-1987), interes za proučavanje nesreća pojavio se davno.

Početni interesi bili su pokušaj primjene numeričkog pristupa kockanju. Prvi vrlo zanimljivi rezultati teorije vjerojatnosti obično se povezuju s radovima L. Paciolija (1494.), D. Cardana (1526.) i N. Tartaglie (1556.).

Kasnije su B. Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665), H. Huygens (1629-1695) postavili temelje klasične teorije vjerojatnosti. Početkom 18. stoljeća J. Bernoulli (1654.-1705.) oblikuje pojam vjerojatnosti slučajnog događaja kao omjera broja povoljnih prilika prema broju svih mogućih. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitsky (1881-1941), R. Mises (1883-1953) izgradili su svoje teorije na korištenju pojma mjere skupa.

Gledište teorije skupova predstavljeno je u svom najpotpunijem obliku 1933. godine. A.N. Kolmogorov u svojoj monografiji “Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti”. Od tog trenutka teorija vjerojatnosti postaje stroga matematička znanost.

Ruski matematičari P.L. dali su veliki doprinos razvoju teorije vjerojatnosti. Čebišev (1821.-1894.), A.A. Markov (1856-1922), S.N. Bernstein (1880-1968) i drugi.

Teorija vjerojatnosti se u današnje vrijeme ubrzano razvija.

Najjednostavniji pojmovi teorije vjerojatnosti

Kao i svaka matematička disciplina, teorija vjerojatnosti počinje uvođenjem najjednostavnijih pojmova koji nisu definirani, već samo objašnjeni.

Jedan od glavnih primarnih pojmova je iskustvo. Iskustvo se shvaća kao određeni skup uvjeta koji se mogu reproducirati neograničen broj puta. Svaku implementaciju ovog kompleksa nazvat ćemo iskustvom ili testom. Rezultati eksperimenta mogu biti različiti i tu se pojavljuje element slučajnosti. Različiti rezultati ili ishodi iskustva nazivaju se događanja(točnije slučajni događaji). Dakle, tijekom provedbe eksperimenta može se dogoditi jedan ili drugi događaj. Drugim riječima, slučajni događaj je ishod eksperimenta koji se može dogoditi (pojaviti) ili ne dogoditi tijekom provedbe eksperimenta.

Iskustvo će biti označeno slovom , a slučajni događaji obično se označavaju velikim slovima

Često je u eksperimentu moguće unaprijed identificirati njegove ishode, koji se mogu nazvati najjednostavnijima, koji se ne mogu rastaviti na jednostavnije. Takvi se događaji nazivaju elementarni događaji(ili slučajevima).

Primjer 1. Neka se novčić baca. Ishodi eksperimenta su: gubitak grba (taj događaj označavamo slovom); gubitak brojeva (označeno sa ). Tada možemo napisati: iskustvo = (bacanje novčića), ishodi: Jasno je da su elementarni događaji u ovom eksperimentu. Drugim riječima, nabrajanje svih elementarnih događaja iskustva potpuno ga opisuje. S tim u vezi, reći ćemo da je iskustvo prostor elementarnih događaja, au našem slučaju iskustvo možemo ukratko napisati u obliku: = (bacanje novčića) = (G; C).

Primjer 2. =(novčić se baca dva puta)= Evo verbalnog opisa doživljaja i nabrajanja svih elementarnih događaja: to znači da je prvo pri prvom bacanju novčića pao grb, pri drugom je pao i grb; znači da se grb pojavio pri prvom bacanju novčića, broj pri drugom itd.

Primjer 3. U koordinatnom sustavu točke su bačene u kvadrat. U ovom primjeru, elementarni događaji su točke s koordinatama koje zadovoljavaju zadane nejednakosti. Ukratko je napisano kako slijedi:

Dvotočka u vitičastim zagradama znači da se sastoji od točaka, ali ne bilo kojih, već samo onih koje zadovoljavaju uvjet (ili uvjete) naveden iza dvotočke (u našem primjeru to su nejednakosti).

Primjer 4. Novčić se baca dok se ne pojavi prvi grb. Drugim riječima, bacanje novčića se nastavlja sve dok se glava ne spusti. U ovom primjeru mogu se navesti elementarni događaji, iako je njihov broj beskonačan:

Uočimo da u primjerima 3 i 4 prostor elementarnih događaja ima beskonačan broj ishoda. U primjeru 4 mogu se navesti, tj. preračunati. Takav skup nazivamo prebrojivim. U primjeru 3 prostor je neprebrojiv.

Navedimo još dva događaja koja su prisutna u svakom iskustvu i koja su od velikog teorijskog značaja.

Nazovimo događaj nemoguće, osim ako se nužno ne dogodi kao rezultat iskustva. Označit ćemo ga znakom praznog skupa. Naprotiv, naziva se događaj koji će se sigurno dogoditi kao rezultat iskustva pouzdan. Pouzdan događaj označava se na isti način kao i sam prostor elementarnih događaja - slovom .

Na primjer, kod bacanja kocke, događaj (manje od 9 bačenih bodova) je pouzdan, ali događaj (točno 9 bačenih bodova) je nemoguć.

Dakle, prostor elementarnih događaja može se specificirati verbalnim opisom, popisom svih njegovih elementarnih događaja, te postavljanjem pravila ili uvjeta prema kojima se dobivaju svi njegovi elementarni događaji.

Algebra događaja

Do sada smo govorili samo o elementarnim događajima kao izravnim rezultatima iskustva. No, u okviru iskustva možemo govoriti io drugim slučajnim događajima, osim elementarnih.

Primjer 5. Kod bacanja kocke, osim elementarnih događaja od jedan, dva,..., šest, možemo govoriti io drugim događajima: (parni broj), (neparni broj), (višekratnik tri), (broj manji od 4). ) i tako dalje. U ovom primjeru navedeni događaji, osim verbalnog zadatka, mogu se specificirati ispisivanjem elementarnih događaja:

Formiranje novih događaja iz elementarnih, kao i iz drugih događaja, provodi se pomoću operacija (ili akcija) nad događajima.

Definicija. Proizvod dva događaja je događaj koji se sastoji u činjenici da će se dogoditi kao rezultat eksperimenta I događaj, I događaj, tj. oba događaja će se dogoditi zajedno (simultano).

Znak proizvoda (točka) često se izostavlja:

Definicija. Zbroj dva događaja je događaj koji se sastoji u činjenici da će se kao rezultat eksperimenta dogoditi ili događaj, ili događaj, ili oboje zajedno (u isto vrijeme).

U obje definicije namjerno smo istaknuli veznike I I ili- kako biste privukli pažnju čitatelja na svoj govor prilikom rješavanja problema. Ako izgovaramo veznik “i”, tada govorimo o proizvodnji događaja; Ako se izgovara veznik “ili”, tada se događaji moraju zbrajati. Pritom napominjemo da se veznik “ili” u svakodnevnom govoru često koristi u smislu isključivanja jednog od dva: “samo ili samo”. U teoriji vjerojatnosti takva se iznimka ne pretpostavlja: i , i , i znače pojavu događaja

Ako su dati nabrajanjem elementarnih događaja, tada se složeni događaji mogu lako dobiti pomoću navedenih operacija. Da biste to dobili, trebate pronaći sve elementarne događaje koji pripadaju oba događaja; ako ih nema, tada je i zbroj događaja lako sastaviti: trebate uzeti bilo koji od dva događaja i dodati mu one elementarne događaje iz drugi događaj koji nije uključen u prvi.

U primjeru 5 dobivamo, posebno

Uvedene operacije nazivamo binarnim, jer definiran za dva događaja. Sljedeća unarna operacija (definirana za jedan događaj) od velike je važnosti: događaj se poziva suprotan događaj ako se sastoji u činjenici da se u danom iskustvu događaj nije dogodio. Iz definicije je jasno da svaki događaj i njegova suprotnost imaju sljedeća svojstva: Uvedena operacija se zove dodatak događaji A.

Slijedi da ako je dano popisom elementarnih događaja, tada je, znajući specifikaciju događaja, lako dobiti da se sastoji od svih elementarnih događaja prostora koji ne pripadaju. Konkretno, na primjer 5 događaj

Ako nema zagrada, tada se postavlja sljedeći prioritet u izvođenju operacija: zbrajanje, množenje, zbrajanje.

Dakle, uz pomoć uvedenih operacija, prostor elementarnih događaja se nadopunjuje drugim slučajnim događajima koji tvore tzv. algebra događaja.

Primjer 6. Strijelac je ispalio tri hica u metu. Promotrimo događaje = (strijelac je pogodio metu i-tim hicem), i = 1,2,3.

Sastavimo neke događaje iz tih događaja (ne zaboravimo na one suprotne). Ne dajemo duge komentare; Vjerujemo da će ih čitatelj samostalno provesti.

Događaj B = (sva tri hica su pogodila metu). Više detalja: B = ( I prvi, I drugi, I treći hitac je pogodio metu). Rabljeni sindikat I, stoga se događaji umnožavaju:

Također:

C = (nijedan hitac nije pogodio metu)

E = (jedan hitac je pogodio cilj)

D = (pogođen cilj pri drugom hicu) = ;

F = (cilja pogođena s dva hica)

N = (najmanje jedan pogodak će pogoditi metu)

Kao što je poznato, u matematici je geometrijska interpretacija analitičkih objekata, pojmova i formula od velike važnosti.

U teoriji vjerojatnosti zgodno je vizualno prikazati (geometrijska interpretacija) iskustvo, slučajne događaje i operacije nad njima u obliku tzv. Euler-Vennovi dijagrami. Suština je da se svako iskustvo poistovjećuje (interpretira) s bacanjem bodova u određeno polje. Točke se bacaju nasumično, tako da sve točkice imaju jednaku šansu da padnu bilo gdje u taj kvadrat. Kvadrat definira okvir dotičnog iskustva. Svaki događaj unutar iskustva poistovjećuje se s određenim područjem trga. Drugim riječima, pojava događaja znači da slučajna točka padne unutar područja označenog slovom. Tada se operacije nad događajima lako interpretiraju geometrijski (slika 2).

A:

A + B: bilo koji

izlijeganje

Na slici 2 a) radi jasnoće, događaj A je istaknut okomitim sjenčanjem, događaj B vodoravnim sjenčanjem. Tada operacija množenja odgovara dvostrukoj šrafuri - događaju odgovara onaj dio kvadrata koji je pokriven dvostrukom šrafurom. Štoviše, ako se tada nazivaju nekompatibilnim događajima. Sukladno tome, operacija zbrajanja odgovara bilo kojoj šrafuri - događaj označava dio kvadrata osjenčan bilo kojom šrafurom - okomitom, vodoravnom i dvostrukom. Na slici 2 b) prikazan je događaj koji odgovara osjenčanom dijelu kvadrata - sve što nije uključeno u područje Uvedene operacije imaju sljedeća osnovna svojstva od kojih neka vrijede za istoimene operacije na brojke, ali ima i specifičnih.

10. komutativnost množenja;

20 . komutativnost zbrajanja;

trideset . asocijativnost množenja;

4 0 . adiciona asocijativnost,

50 . distributivnost množenja u odnosu na zbrajanje,

6 0 . distributivnost zbrajanja u odnosu na množenje;

9 0 . de Morganovi zakoni dualnosti,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

Primjer 7. Ivan i Petar su se dogovorili da će se sastati u vremenskom intervalu od npr. T sata, (0,T). Pritom su se dogovorili da svaki od njih, po dolasku na sastanak, čeka drugoga najviše sat vremena.

Dajmo ovom primjeru geometrijsku interpretaciju. Označimo: vrijeme Ivanova dolaska na skup; Peterovo vrijeme dolaska na sastanak. Prema dogovoru: 0 . Tada u koordinatnom sustavu dobivamo: = Lako je uočiti da je u našem primjeru prostor elementarnih događaja kvadrat. 1

0 x odgovara onom dijelu kvadrata koji se nalazi iznad ove crte.Slično, drugoj nejednadžbi y≤x+ i; i ne radi ako ne rade svi elementi, tj. .Dakle, de Morganov drugi zakon dualnosti: provodi se kada su elementi povezani paralelno.

Gornji primjer pokazuje zašto se teorija vjerojatnosti naširoko koristi u fizici, posebice u proračunu pouzdanosti stvarnih tehničkih uređaja.

Klasična definicija vjerojatnosti temelji se na konceptu probabilističko iskustvo, ili eksperiment vjerojatnosti. Njegov rezultat je jedan od nekoliko mogućih ishoda, tzv elementarni ishodi, i nema razloga očekivati ​​da će se bilo koji elementarni ishod pojaviti češće od drugih pri ponavljanju probabilističkog eksperimenta. Na primjer, razmotrite probabilistički eksperiment koji uključuje bacanje kocke. Rezultat ovog eksperimenta je gubitak jedne od 6 točaka nacrtanih na stranicama kocke.

Dakle, u ovom eksperimentu postoji 6 osnovnih ishoda:

a svaki od njih je jednako očekivan.

Događaj u klasičnom eksperimentu vjerojatnosti je proizvoljan podskup skupa elementarnih ishoda. U razmatranom primjeru bacanja kocke događaj je npr. gubitak parnog broja bodova koji se sastoji od elementarnih ishoda.

Vjerojatnost događaja je broj:

gdje je broj elementarnih ishoda koji čine događaj (ponekad kažu da je to broj elementarnih ishoda koji pogoduju zbivanju događaja), a je broj svih elementarnih ishoda.

U našem primjeru:

Elementi kombinatorike.

Kada se opisuju mnogi probabilistički eksperimenti, elementarni se ishodi mogu poistovjetiti s jednim od sljedećih objekata kombinatorike (znanosti o konačnim skupovima).

Preuređenje brojeva je proizvoljni uređeni prikaz tih brojeva bez ponavljanja. Na primjer, za skup od tri broja postoji 6 različitih permutacija:

, , , , , .

Za proizvoljan broj permutacija je jednako

(umnožak uzastopnih brojeva u prirodnom nizu, počevši od 1).

Kombinacija je proizvoljan neuređeni skup bilo kojeg elementa skupa. Na primjer, za skup od tri broja postoje 3 različite kombinacije 3 puta 2:

Za proizvoljan par , , broj kombinacija iz jednak je

Na primjer,

Hipergeometrijska raspodjela.

Razmotrimo sljedeći probabilistički eksperiment. Postoji crna kutija u kojoj se nalaze bijele i crne kuglice. Kuglice su iste veličine i ne razlikuju se na dodir. Eksperiment se sastoji od nasumičnog izvlačenja loptica. Događaj čiju vjerojatnost treba pronaći je da su neke od tih kuglica bijele, a ostale crne.

Prenumerirajmo sve kuglice brojevima od 1 do . Neka brojevi 1, ¼ odgovaraju bijelim kuglicama, a brojevi , ¼, odgovaraju crnim kuglicama. Elementarni ishod u ovom eksperimentu je neuređeni skup elemenata iz skupa, odnosno kombinacija po. Posljedično, postoje svi elementarni ishodi.

Nađimo broj elementarnih ishoda koji su povoljni za pojavu događaja. Odgovarajući skupovi se sastoje od “bijelih” i “crnih” brojeva. Brojeve iz “bijelih” brojeva možete birati na tri načina, a brojeve iz “crnih” brojeva na ¾ načina. Bijeli i crni skupovi mogu se proizvoljno spajati, tako da postoje samo elementarni ishodi koji pogoduju događaju.

Vjerojatnost događaja je

Dobivena formula naziva se hipergeometrijska distribucija.

Problem 5.1. Kutija sadrži 55 standardnih i 6 neispravnih dijelova iste vrste. Kolika je vjerojatnost da će među tri slučajno odabrana dijela barem jedan biti neispravan?

Riješenje. Ukupno ima 61 dio, uzimamo 3. Elementarni ishod je kombinacija 61 sa 3. Broj svih elementarnih ishoda jednak je . Povoljni ishodi se dijele u tri skupine: 1) to su oni ishodi kod kojih je 1 dio manjkav, a 2 dobra; 2) 2 dijela su neispravna, a 1 je dobar; 3) sva 3 dijela su neispravna. Broj skupova prve vrste jednak je , broj skupova druge vrste jednak je , a broj skupova treće vrste jednak je . Posljedično, pojavu događaja pogoduju elementarni ishodi. Vjerojatnost događaja je

Algebra događaja

Prostor elementarnih događanja je skup svih elementarnih ishoda povezanih s danim iskustvom.

Iznos dva događaja naziva se događaj koji se sastoji od elementarnih ishoda koji pripadaju događaju ili događaju.

Posao dva događaja naziva se događaj koji se sastoji od elementarnih ishoda koji istovremeno pripadaju događajima i .

Događaji i nazivaju se nekompatibilnima ako .

Događaj se zove suprotan događaj, ako događaju pogoduju svi oni elementarni ishodi koji događaju ne pripadaju. Konkretno, , .

TEOREM ZBORA.

Konkretno,.

Uvjetna vjerojatnost događaj, pod uvjetom da se događaj dogodio, naziva se omjerom broja elementarnih ishoda koji pripadaju presjeku prema broju elementarnih ishoda koji pripadaju . Drugim riječima, uvjetna vjerojatnost događaja određena je klasičnom formulom vjerojatnosti, u kojoj je novi prostor vjerojatnosti . Uvjetna vjerojatnost događaja označava se s .

Proizvod TEOREMA. .

Događaji se zovu nezavisna, Ako . Za neovisne događaje, teorem produkta daje relaciju .

Posljedica teorema o zbroju i umnošku su sljedeće dvije formule.

Formula ukupne vjerojatnosti. Potpuna skupina hipoteza proizvoljan je skup nekompatibilnih događaja , , ¼, , koji zajedno čine cijeli prostor vjerojatnosti:

U ovoj situaciji, za proizvoljni događaj vrijedi formula koja se naziva formula ukupne vjerojatnosti,

gdje je Laplaceova funkcija , , . Laplaceova funkcija je tabelarno prikazana, a njezine vrijednosti, uz zadanu vrijednost, mogu se pronaći u bilo kojem udžbeniku teorije vjerojatnosti i matematičke statistike.

Problem 5.3. Poznato je da u velikoj seriji dijelova ima 11% neispravnih dijelova. Za testiranje je odabrano 100 dijelova. Kolika je vjerojatnost da među njima nema više od 14 neispravnih? Procijenite odgovor koristeći Moivre-Laplaceov teorem.

Riješenje. Radi se o Bernoullijevom testu, gdje je , , . Uspjehom se smatra otkrivanje neispravnog dijela, a broj uspjeha zadovoljava nejednakost. Stoga,

Direktan izračun daje:

, , , , , , , , , , , , , , .

Stoga, . Sada primijenimo Moivre-Laplaceov integralni teorem. Dobivamo:

Koristeći tablicu vrijednosti funkcije, uzimajući u obzir neparnost funkcije, dobivamo

Pogreška približnog izračuna ne prelazi .

Slučajne varijable

Slučajna varijabla je numerička karakteristika probabilističkog eksperimenta, koja je funkcija elementarnih ishoda. Ako je , , ¼, skup elementarnih ishoda, tada je slučajna varijabla funkcija od . Pogodnije je, međutim, karakterizirati slučajnu varijablu navođenjem svih njezinih mogućih vrijednosti i vjerojatnosti s kojima uzima tu vrijednost.

Takva se tablica naziva zakon raspodjele slučajne varijable. Budući da događaji čine potpunu skupinu, zakon probabilističke normalizacije je zadovoljen

Matematičko očekivanje ili prosječna vrijednost slučajne varijable je broj jednak zbroju umnožaka vrijednosti slučajne varijable i odgovarajućih vjerojatnosti.

Disperzija (stupanj širenja vrijednosti oko matematičkog očekivanja) slučajne varijable je matematičko očekivanje slučajne varijable,

Može se pokazati da

Veličina

naziva se srednje kvadratno odstupanje slučajne varijable.

Funkcija distribucije za slučajnu varijablu je vjerojatnost pada u skup, tj

To je nenegativna, neopadajuća funkcija koja uzima vrijednosti od 0 do 1. Za slučajnu varijablu koja ima konačan skup vrijednosti, to je djelomično konstantna funkcija koja ima diskontinuitete druge vrste u točkama stanja. Štoviše, i kontinuirano je na lijevoj strani.

Problem 5.4. Bacaju se dvije kocke jedna za drugom. Ako se na jednoj kockici pojavi jedan, tri ili pet bodova, igrač gubi 5 rubalja. Ako se bace dva ili četiri boda, igrač dobiva 7 rubalja. Ako padne šest bodova, igrač gubi 12 rubalja. Slučajna vrijednost x je isplata igrača za dva bacanja kocke. Pronađite zakon raspodjele x, nacrtati funkciju distribucije, pronaći matematičko očekivanje i varijancu x.

Riješenje. Razmotrimo prvo čemu su jednaki dobici igrača prilikom bacanja kocke. Neka događaj bude da se baca 1, 3 ili 5 bodova. Tada će dobitak biti rubalja. Neka događaj bude da su bačena 2 ili 4 boda. Tada će dobitak biti rubalja. Konačno, neka događaj znači bacanje 6. Tada su dobici jednaki rubljima.

Razmotrimo sada sve moguće kombinacije događaja, i s dva bacanja kocke, i odredimo pobjedničke vrijednosti za svaku takvu kombinaciju.

Ako se događaj dogodio, onda, u isto vrijeme.

Ako se događaj dogodio, onda, u isto vrijeme.

Slično, kada dobijemo , .

Sva pronađena stanja i ukupne vjerojatnosti tih stanja upisujemo u tablicu:

Provjeravamo ispunjenje zakona probabilističke normalizacije: na realnoj crti morate biti u mogućnosti odrediti vjerojatnost da slučajna varijabla padne u ovaj interval 1) i brzo opada na, ¼,

“Nesreće nisu slučajne”... Zvuči kao nešto što je rekao neki filozof, ali zapravo je proučavanje slučajnosti sudbina velike znanosti matematike. U matematici se slučajnošću bavi teorija vjerojatnosti. U članku će biti predstavljene formule i primjeri zadataka, kao i glavne definicije ove znanosti.

Što je teorija vjerojatnosti?

Teorija vjerojatnosti je jedna od matematičkih disciplina koja proučava slučajne događaje.

Da bi bilo malo jasnije, dajmo mali primjer: ako bacite novčić uvis, on može pasti na glavu ili rep. Dok je novčić u zraku, moguće su obje ove vjerojatnosti. Odnosno, vjerojatnost mogućih posljedica je 1:1. Ako je jedna izvučena iz špila od 36 karata, tada će vjerojatnost biti označena kao 1:36. Čini se da se ovdje nema što istraživati ​​i predviđati, pogotovo uz pomoć matematičkih formula. Međutim, ako određenu radnju ponavljate mnogo puta, možete identificirati određeni obrazac i na temelju njega predvidjeti ishod događaja u drugim uvjetima.

Sumirajući sve navedeno, teorija vjerojatnosti u klasičnom smislu proučava mogućnost pojavljivanja jednog od mogućih događaja u brojčanoj vrijednosti.

Sa stranica povijesti

Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri prvih zadataka pojavili su se u dalekom srednjem vijeku, kada su se prvi put pojavili pokušaji predviđanja ishoda kartaških igara.

U početku teorija vjerojatnosti nije imala nikakve veze s matematikom. Opravdano je empirijskim činjenicama ili svojstvima događaja koji se mogu reproducirati u praksi. Prvi radovi na ovom području kao matematičke discipline javljaju se u 17. stoljeću. Osnivači su bili Blaise Pascal i Pierre Fermat. Dugo su proučavali kockanje i uočili određene obrasce o kojima su odlučili govoriti javnosti.

Istu tehniku ​​izumio je Christiaan Huygens, iako nije bio upoznat s rezultatima istraživanja Pascala i Fermata. On je uveo pojam “teorije vjerojatnosti”, formule i primjere koji se smatraju prvima u povijesti discipline.

Radovi Jacoba Bernoullija, Laplaceov i Poissonov teorem također su od ne male važnosti. Učinili su teoriju vjerojatnosti sličnijom matematičkoj disciplini. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri osnovnih zadataka dobili su današnji oblik zahvaljujući Kolmogorovljevim aksiomima. Kao rezultat svih promjena, teorija vjerojatnosti postala je jedna od matematičkih grana.

Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti. Događaji

Glavni koncept ove discipline je “događaj”. Postoje tri vrste događaja:

• Pouzdan. Oni koji će se ipak dogoditi (novčić će pasti).
• Nemoguće. Događaji koji se neće dogoditi ni pod kojim uvjetima (novčić će ostati visjeti u zraku).
• Slučajno. One koje će se dogoditi ili se neće dogoditi. Na njih mogu utjecati različiti čimbenici koje je vrlo teško predvidjeti. Ako govorimo o novčiću, onda postoje slučajni čimbenici koji mogu utjecati na rezultat: fizičke karakteristike novčića, njegov oblik, izvorni položaj, sila bacanja itd.

Svi događaji u primjerima označeni su velikim latiničnim slovima, osim P, koje ima drugačiju ulogu. Na primjer:

• A = "studenti su došli na predavanje."
• Ā = “studenti nisu došli na predavanje.”

U praktičnim zadacima događaji se obično zapisuju riječima.

Jedna od najvažnijih karakteristika događaja je njihova jednaka mogućnost. Odnosno, ako bacite novčić, moguće su sve varijante početnog pada dok on ne padne. Ali događaji također nisu jednako mogući. To se događa kada netko namjerno utječe na ishod. Na primjer, "označene" karte za igranje ili kocke, u kojima je težište pomaknuto.

Događaji također mogu biti kompatibilni i nekompatibilni. Kompatibilni događaji ne isključuju međusobno pojavljivanje. Na primjer:

• A = "student je došao na predavanje."
• B = “student je došao na predavanje.”

Ti su događaji neovisni jedan o drugome i pojava jednog od njih ne utječe na pojavu drugog. Nespojivi događaji definirani su činjenicom da pojava jednog isključuje pojavu drugog. Ako govorimo o istom novčiću, tada gubitak "repova" onemogućuje pojavu "glava" u istom eksperimentu.

Radnje na događajima

Događaji se mogu množiti i zbrajati, sukladno tome u disciplinu se uvode logički veznici “I” i “ILI”.

Količina je određena činjenicom da se događaj A ili B, ili dva, mogu dogoditi istovremeno. Ako su nekompatibilni, posljednja opcija je nemoguća; bacit će se A ili B.

Umnožavanje događaja sastoji se u pojavljivanju A i B u isto vrijeme.

Sada možemo dati nekoliko primjera kako bismo bolje zapamtili osnove, teoriju vjerojatnosti i formule. Primjeri rješavanja problema u nastavku.

Vježba 1: Tvrtka sudjeluje u natječaju za dobivanje ugovora za tri vrste radova. Mogući događaji koji se mogu dogoditi:

• A = "tvrtka će dobiti prvi ugovor."
• A 1 = "tvrtka neće primiti prvi ugovor."
• B = "tvrtka će dobiti drugi ugovor."
• B 1 = "tvrtka neće dobiti drugi ugovor"
• C = "tvrtka će dobiti treći ugovor."
• C 1 = "tvrtka neće dobiti treći ugovor."

Koristeći akcije na događaje, pokušat ćemo izraziti sljedeće situacije:

• K = "tvrtka će dobiti sve ugovore."

U matematičkom obliku, jednadžba će imati sljedeći oblik: K = ABC.

• M = "tvrtka neće dobiti niti jedan ugovor."

M = A 1 B 1 C 1.

Zakomplicirajmo zadatak: H = "tvrtka će dobiti jedan ugovor." Budući da se ne zna koji će ugovor tvrtka dobiti (prvi, drugi ili treći), potrebno je zabilježiti cijeli niz mogućih događaja:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 BC 1 je niz događaja u kojima tvrtka ne prima prvi i treći ugovor, ali prima drugi. Ostali mogući događaji zabilježeni su odgovarajućom metodom. Simbol υ u disciplini označava veznik “ILI”. Ako gornji primjer prevedemo na ljudski jezik, tvrtka će dobiti ili treći ugovor, ili drugi, ili prvi. Na sličan način možete zapisati i druge uvjete u disciplini “Teorija vjerojatnosti”. Gore navedene formule i primjeri rješavanja problema pomoći će vam da to učinite sami.

Zapravo, vjerojatnost

Možda je u ovoj matematičkoj disciplini vjerojatnost događaja središnji koncept. Postoje 3 definicije vjerojatnosti:

• klasični;
• statistički;
• geometrijski.

Svaki ima svoje mjesto u proučavanju vjerojatnosti. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri (9. razred) uglavnom koriste klasičnu definiciju, koja zvuči ovako:

• Vjerojatnost situacije A jednaka je omjeru broja ishoda koji pogoduju njenom nastanku prema broju svih mogućih ishoda.

Formula izgleda ovako: P(A)=m/n.

A je zapravo događaj. Ako se pojavi padež suprotan A, može se napisati kao Ā ili A 1 .

m je broj mogućih povoljnih slučajeva.

n - svi događaji koji se mogu dogoditi.

Na primjer, A = "izvucite kartu boje srca." Postoji 36 karata u standardnom špilu, od kojih su 9 srca. Prema tome, formula za rješavanje problema izgledat će ovako:

P(A)=9/36=0,25.

Kao rezultat toga, vjerojatnost da će karta boje srca biti izvučena iz špila bit će 0,25.

Prema višoj matematici

Sada je postalo malo poznato što je teorija vjerojatnosti, formule i primjeri rješavanja problema koji se nalaze u školskom kurikulumu. Međutim, teorija vjerojatnosti također se nalazi u višoj matematici, koja se predaje na sveučilištima. Najčešće operiraju geometrijskim i statističkim definicijama teorije i složenim formulama.

Teorija vjerojatnosti vrlo je zanimljiva. Bolje je početi proučavati formule i primjere (viša matematika) malo - sa statističkom (ili frekvencijskom) definicijom vjerojatnosti.

Statistički pristup nije u suprotnosti s klasičnim, već ga malo proširuje. Ako je u prvom slučaju bilo potrebno odrediti s kojom vjerojatnošću će se događaj dogoditi, onda je u ovoj metodi potrebno naznačiti koliko često će se dogoditi. Ovdje se uvodi novi koncept "relativne frekvencije", koji se može označiti s W n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:

Ako se klasična formula izračunava za predviđanje, onda se statistička izračunava prema rezultatima eksperimenta. Uzmimo za primjer mali zadatak.

Odjel tehnološke kontrole provjerava kvalitetu proizvoda. Od 100 proizvoda, 3 su nekvalitetna. Kako pronaći vjerojatnost učestalosti kvalitetnog proizvoda?

A = “izgled kvalitetnog proizvoda.”

Wn(A)=97/100=0,97

Dakle, frekvencija kvalitetnog proizvoda je 0,97. Odakle ti 97? Od 100 pregledanih proizvoda, 3 su nekvalitetna. Od 100 oduzmemo 3 i dobijemo 97, to je količina kvalitetne robe.

Malo o kombinatorici

Druga metoda teorije vjerojatnosti naziva se kombinatorika. Njegovo osnovno načelo je da ako se određeni izbor A može napraviti na m različitih načina, a izbor B može se napraviti na n različitih načina, tada se izbor A i B može napraviti množenjem.

Na primjer, postoji 5 cesta koje vode od grada A do grada B. Od grada B do grada C vode 4 staze. Na koliko načina možete doći iz grada A u grad C?

Jednostavno je: 5x4=20, odnosno na dvadeset različitih načina možete doći od točke A do točke C.

Zakomplicirajmo zadatak. Na koliko načina postoji raspored karata u pasijansu? U špilu je 36 karata - ovo je početna točka. Da biste saznali broj načina, morate "oduzimati" jednu po jednu kartu od početne točke i množiti.

Odnosno, 36x35x34x33x32...x2x1= rezultat ne stane na zaslon kalkulatora, tako da se jednostavno može označiti s 36!. Znak "!" pored broja označava da je cijeli niz brojeva pomnožen zajedno.

U kombinatorici postoje pojmovi kao što su permutacija, postavljanje i kombinacija. Svaki od njih ima svoju formulu.

Uređen skup elemenata skupa naziva se raspored. Postavljanje se može ponavljati, odnosno jedan element se može koristiti više puta. I bez ponavljanja, kada se elementi ne ponavljaju. n su svi elementi, m su elementi koji sudjeluju u postavljanju. Formula za postavljanje bez ponavljanja izgledat će ovako:

A n m =n!/(n-m)!

Veze od n elemenata koji se razlikuju samo po redoslijedu postavljanja nazivaju se permutacijama. U matematici to izgleda ovako: P n = n!

Kombinacije n elemenata od m su oni spojevi u kojima je važno koji su elementi bili i koliki im je ukupan broj. Formula će izgledati ovako:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoullijeva formula

U teoriji vjerojatnosti, kao iu svakoj disciplini, postoje radovi izvrsnih istraživača u svom području koji su ga podigli na novu razinu. Jedno od tih djela je Bernoullijeva formula, koja vam omogućuje određivanje vjerojatnosti da će se određeni događaj dogoditi u neovisnim uvjetima. Ovo sugerira da pojavljivanje A u eksperimentu ne ovisi o pojavljivanju ili nepojavljivanju istog događaja u ranijim ili sljedećim ispitivanjima.

Bernoullijeva jednadžba:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Vjerojatnost (p) pojave događaja (A) je konstantna za svaki pokušaj. Vjerojatnost da će se situacija dogoditi točno m puta u n broj eksperimenata izračunat će se gore prikazanom formulom. Sukladno tome, postavlja se pitanje kako saznati broj q.

Ako se događaj A dogodi p broj puta, prema tome, možda se neće dogoditi. Jedinica je broj koji se koristi za označavanje svih ishoda situacije u disciplini. Stoga je q broj koji označava mogućnost da se događaj ne dogodi.

Sada znate Bernoullijevu formulu (teorija vjerojatnosti). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema (prva razina).

Zadatak 2: Posjetitelj trgovine će kupiti s vjerojatnošću 0,2. U trgovinu je samostalno ušlo 6 posjetitelja. Koja je vjerojatnost da će posjetitelj obaviti kupnju?

Rješenje: Budući da je nepoznato koliko posjetitelja treba obaviti kupnju, jedan ili svih šest, potrebno je izračunati sve moguće vjerojatnosti pomoću Bernoullijeve formule.

A = "posjetitelj će obaviti kupnju."

U ovom slučaju: p = 0,2 (kako je navedeno u zadatku). Prema tome, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (budući da u trgovini ima 6 kupaca). Broj m će varirati od 0 (niti jedan kupac neće kupiti) do 6 (svi posjetitelji trgovine će nešto kupiti). Kao rezultat, dobivamo rješenje:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Niti jedan kupac neće obaviti kupnju s vjerojatnošću 0,2621.

Kako se inače koristi Bernoullijeva formula (teorija vjerojatnosti)? Primjeri rješavanja problema (druga razina) u nastavku.

Nakon gornjeg primjera postavljaju se pitanja gdje su nestali C i r. U odnosu na p, broj na potenciju 0 bit će jednak jedan. Što se tiče C, može se pronaći po formuli:

C n m = n! /m!(n-m)!

Budući da je u prvom primjeru m = 0, odnosno C = 1, što u načelu ne utječe na rezultat. Koristeći novu formulu, pokušajmo saznati koja je vjerojatnost da dva posjetitelja kupe robu.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teorija vjerojatnosti nije tako komplicirana. Bernoullijeva formula, čiji su primjeri gore navedeni, izravan je dokaz za to.

Poissonova formula

Poissonova jednadžba koristi se za izračun slučajnih situacija male vjerojatnosti.

Osnovna formula:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

U ovom slučaju λ = n x p. Ovdje je jednostavna Poissonova formula (teorija vjerojatnosti). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema.

Zadatak 3: Tvornica je proizvela 100.000 dijelova. Pojava neispravnog dijela = 0,0001. Kolika je vjerojatnost da će u seriji biti 5 neispravnih dijelova?

Kao što vidite, brak je malo vjerojatan događaj, pa se za izračun koristi Poissonova formula (teorija vjerojatnosti). Primjeri rješavanja zadataka ove vrste ne razlikuju se od ostalih zadataka u disciplini, potrebne podatke zamjenjujemo u zadanu formulu:

A = "nasumično odabrani dio bit će neispravan."

p = 0,0001 (prema uvjetima zadatka).

n = 100000 (broj dijelova).

m = 5 (neispravni dijelovi). Zamjenjujemo podatke u formulu i dobivamo:

100 000 R (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Baš kao i Bernoullijeva formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješenja koja koriste gore napisani, Poissonova jednadžba ima nepoznatu e. Zapravo, može se pronaći formulom:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Međutim, postoje posebne tablice koje sadrže gotovo sve vrijednosti e.

De Moivre-Laplaceov teorem

Ako je u Bernoullijevoj shemi broj pokušaja dovoljno velik, a vjerojatnost pojavljivanja događaja A u svim shemama ista, tada se vjerojatnost pojavljivanja događaja A određeni broj puta u nizu testova može pronaći pomoću Laplaceova formula:

R n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Da biste bolje zapamtili Laplaceovu formulu (teorija vjerojatnosti), u nastavku su navedeni primjeri problema koji će vam pomoći.

Prvo, pronađimo X m, zamijenimo podatke (svi su gore navedeni) u formulu i dobijemo 0,025. Pomoću tablica nalazimo broj ϕ(0,025) čija je vrijednost 0,3988. Sada možete zamijeniti sve podatke u formulu:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Dakle, vjerojatnost da će letak raditi točno 267 puta je 0,03.

Bayesova formula

Bayesova formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješavanja problema uz pomoć kojih će biti navedeni u nastavku, jednadžba je koja opisuje vjerojatnost događaja na temelju okolnosti koje bi mogle biti povezane s njim. Osnovna formula je sljedeća:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A i B su određeni događaji.

P(A|B) je uvjetna vjerojatnost, odnosno događaj A se može dogoditi pod uvjetom da je događaj B istinit.

P (B|A) - uvjetna vjerojatnost događaja B.

Dakle, završni dio kratkog tečaja "Teorija vjerojatnosti" je Bayesova formula, primjeri rješenja problema s kojima su u nastavku.

Zadatak 5: U skladište su dopremljeni telefoni tri firme. Istovremeno, udio telefona koji se proizvode u prvoj tvornici je 25%, u drugoj - 60%, u trećoj - 15%. Također je poznato da je prosječni postotak neispravnih proizvoda u prvoj tvornici 2%, u drugoj 4%, au trećoj 1%. Morate pronaći vjerojatnost da će nasumično odabrani telefon biti neispravan.

A = "nasumično odabran telefon."

B 1 - telefon koji je proizvela prva tvornica. Sukladno tome pojavit će se uvodni B 2 i B 3 (za drugu i treću tvornicu).

Kao rezultat dobivamo:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - tako smo pronašli vjerojatnost svake opcije.

Sada trebate pronaći uvjetne vjerojatnosti željenog događaja, odnosno vjerojatnost neispravnih proizvoda u tvrtkama:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Sada zamijenimo podatke Bayesovom formulom i dobijemo:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Članak predstavlja teoriju vjerojatnosti, formule i primjere rješavanja problema, no to je samo vrh ledenog brijega goleme discipline. I nakon svega napisanog, logično će biti postaviti pitanje je li teorija vjerojatnosti potrebna u životu. Običnoj osobi je teško odgovoriti, bolje je pitati nekoga tko je više puta osvojio jackpot.