Марковские процессы. Элементы теории массового обслуживания. Дискретные цепи Маркова
Потоком событий называют последовательность однородных событий, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени. Примеры: поток вызовов на телефонной станции; поток сбоев ЭВМ; поток заявок на проведение расчетов в вычислительном центре и т.п.
Поток событий наглядно изображается рядом точек с абсциссами Q 1, Q 2 , ..., Q n , ... (рис. 6.15) с интервалами между ними: Т 1 = Q 2 - Q 1, T 2 = Q 3 -Q 2 , ..., Т п = Q n +1 - Q n . При его вероятностном описании поток событий может быть представлен как последовательность случайных величин:
Q 1 ; Q 2 = Q 1 + T 1 ; Q 3 = Q 1 + T 1 + T 2 ; и т.д.
На рисунке в виде ряда точек изображен не сам поток событий (он случаен), а только одна его конкретная реализация.
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от выбора начала отсчета или, более конкретно, если вероятность попадания того или другого числа событий на любой интервал времени зависит только от длины этого интервала и не зависит от того, где именно на оси 0-t он расположен.
Рисунок 6.15 – Реализация потока событий
Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный интервал времени двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.
Рисунок 6.16 – Поток событий как случайный процесс
Ординарный поток событий можно интерпретировать как случайный процесс Х(t) - число событий, появившихся до момента t(рис. 6.16). Случайный процесс Х(t) скачкообразно возрастает на одну единицу в точках Q ,Q 2 ,...,Q n .
Поток событий называется потоком без последействия, если число событий, попадающих на любой интервал времени , не зависит от того, сколько событий попало на любой другой не пересекающийся с ним интервал. Практически отсутствие последействия в потоке означает, что события, образующие поток, появляются в те или другие моменты времени независимо друг от друга.
Поток событий называется простейшим, если он стационарен, ординарен и не имеет последействия. Интервал времени T между двумя соседними событиями простейшего потока имеет показательное распределение
(при t>0 ); (6.21)
где / М [Т] -величина, обратная среднему значению интервала Т.
Ординарный поток событий без последействия называется пуассоновским. Простейший поток является частным случаем стационарного пуассоновского потока. Интенсивностью потока событий называется среднее число событий, приходящееся на единицу времени. Для стационарного потока ; для нестационарного потока она в общем случае зависит от времени: .
Марковские случайные процессы . Случайный процесс называют марковским , если он обладает следующим свойством: для любого момента времени t 0 вероятность любого состояния системы в будущем (при t >t 0 ) зависит только от ее состояния в настоящем (при t =t 0 ) и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.
В данной главе будем рассматривать только марковские процессы c дискретными состояниями S 1, S 2 , ...,S n . Такие процессы удобно иллюстрировать с помощью графа состояний (рис. 5.4), где прямоугольниками (или кружками) обозначены состояния S 1 , S 2 , … системы S, а стрелками - возможные переходы из состояния в состояние (на графе отмечаются только непосредственные переходы, а не переходы через другие состояния).
Рисунок 5.4 – Граф состояний случайного процесса
Иногда на графе состояний отмечают не только возможные переходы из состояния в состояние, но и возможные задержки в прежнем состоянии; это изображается стрелкой («петлей»), направленной из данного состояния в него же, но можно обходиться и без этого. Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным (но счетным).
Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем обычно называют марковской цепью. Для такого процесса моменты t 1 , t 2 ..., когда система S может менять свое состояние, удобно рассматривать как последовательные шаги процесса, а в качестве аргумента, от которого зависит процесс, рассматривать не время t, а номер шага: 1, 2, . . ., k;…. Случайный процесс в этом случае характеризуется последовательностью состояний
если S(0) - начальное состояние системы (перед первым шагом); S(1) - состояние системы непосредственно после первого шага; ...; S(k) - состояние системы непосредственно после k-го шага....
Событие S i , (i= 1,2,...) является случайным событием, поэтому последовательность состояний (5.6) можно рассматривать как последовательность случайных событий. Начальное состояние S(0) может быть как заданным заранее, так и случайным. О событиях последовательности (5.6) говорят, что они образуют марковскую цепь.
Рассмотрим процесс с n возможными состояниями S 1, S 2 , ..., S n . Если обозначить через Х(t) номер состояния, в котором находится система S в момент t, то процесс описывается целочисленной случайной функцией Х(t)>0 , возможные значения которой равны 1, 2,...,n . Эта функция совершает скачки от одного целочисленного значения к другому в заданные моменты t 1 , t 2 , ... (рис. 5.5) и является непрерывной слева, что отмечено точками на рис. 5.5.
Рисунок 5.5 – График случайного процесса
Рассмотрим одномерный закон распределения случайной функции Х(t). Обозначим через вероятность того, что после k -го шага [и до (k+1 )-го] система S будет в состоянии S i (i=1,2,...,n) . Вероятности р i (k) называются вероятностями состояний цепи Маркова. Очевидно, для любого k
. (5.7)
Распределение вероятностей состояний в начале процесса
p 1 (0) ,p 2 (0),…,p i (0),…,p n (0) (5.8)
называется начальным распределением вероятностей марковской цепи. В частности, если начальное состояние S(0) системы S в точности известно, например S(0)=S i , то начальная вероятность P i (0) = 1, а все остальные равны нулю.
Вероятностью перехода на k -м шаге из состояния S i в состояние S j называется условная вероятность того, что система после k -го шага окажется в состоянии S j при условии, что непосредственно перед этим (после k - 1 шагов) она находилась в состоянии S i . Вероятности перехода иногда называются также «переходными вероятностями».
Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности не зависят от номера шага, а зависят только от того, из какого состояния и в какое осуществляется переход:
Переходные вероятности однородной марковской цепи Р ij образуют квадратную таблицу (матрицу) размером n * n :
(5.10)
. (5.11)
Матрицу, обладающую таким свойством, называют стохастической. Вероятность Р ij есть не что иное, как вероятность того, что система, пришедшая к данному шагу в состояние S j , в нем же и задержится на очередном шаге.
Если для однородной цепи Маркова заданы начальное распределение вероятностей (5.8) и матрица переходных вероятностей (5.10), то вероятности состояний системы могут быть определены по рекуррентной формуле
(5.12)
Для неоднородной цепи Маркова вероятности перехода в матрице (5.10) и формуле (5.12) зависят от номера шага k .
Для однородной цепи Маркова, если все состояния являются существенными, а число состояний конечно, существует предел определяемый из системы уравнений и Сумма переходных вероятностей в любой строке матрицы равна единице.
При фактических вычислениях по формуле (5.12) надо в ней учитывать не все состояния S j , а только те, для которых переходные вероятности отличны от нуля, т.е. те, из которых на графе состояний ведут стрелки в состояние S i .
Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем иногда называют «непрерывной цепью Маркова» . Для такого процесса вероятность перехода из состояния S i в S j для любого момента времени равна нулю. Вместо вероятности перехода p ij рассматривают плотность вероятности перехода которая определяется как предел отношения вероятности перехода из состояния S i в состояние S j за малый промежуток времени , примыкающий к моменту t, к длине этого промежутка, когда она стремится к нулю. Плотность вероятности перехода может быть как постоянной (), так и зависящей от времени . В первом случае марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется однородным. Типичный пример такого процесса - случайный процесс Х(t), представляющий собой число появившихся до момента t событий в простейшем потоке (рис. 5.2).
При рассмотрении случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем удобно представлять переходы системы S из состояния в состояние как происходящие под влиянием некоторых потоков событий. При этом плотности вероятностей перехода получают смысл интенсивностей соответствующих потоков событий (как только происходит первое событие в потоке с интенсивностью , система из состояния S i скачком переходит в Sj) . Если все эти потоки пуассоновские, то процесс, протекающий в системе S, будет марковским.
Рассматривая марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем, удобно пользоваться графом состояний, на котором против каждой стрелки, ведущей из состояния S i , в S j проставлена интенсивность потока событий, переводящего систему по данной стрелке (рис.5.6). Такой граф состояний называют размеченным.
Вероятность того, что система S, находящаяся в состоянии S i , за элементарный промежуток времени () перейдет в состояние S j (элемент вероятности перехода из S i в S j ), есть вероятность того, что за это время dt появится хотя бы одно событие потока, переводящего систему S из S i в S j . С точностью до бесконечно малых высших порядков эта вероятность равна .
Потоком вероятности перехода из состояния Si в Sj называется величина (здесь интенсивность может быть как зависящей, так и независящей от времени).
Рассмотрим случай, когда система S имеет конечное число состояний S 1, S 2 ,..., S п. Для описания случайного процесса, протекающего в этой системе, применяются вероятности состояний
(5.13)
где р i (t) - вероятность того, что система S в момент t находится в состоянии S i:
. (5.14)
Очевидно, для любого t
Для нахождения вероятностей (5.13) нужно решить систему дифференциальных уравнений (уравнений Колмогорова), имеющих вид
(i=1,2,…,n),
или, опуская аргумент t у переменных р i ,
(i=1,2,…,n ). (5.16)
Напомним, что интенсивности потоков ij могут зависеть от времени .
Уравнения (5.16) удобно составлять, пользуясь размеченным графом состояний системы и следующим мнемоническим правилом: производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятности, переводящих из других состояний в данное, минус сумма всех потоков вероятности, переводящих из данного состояния в другие. Например, для системы S, размеченный граф состояний которой дан на рис. 10.6, система уравнений Колмогорова имеет вид
(5.17)
Так как для любого t выполняется условие (5.15), можно любую из вероятностей (5.13) выразить через остальные и таким образом уменьшить число уравнений на одно.
Чтобы решить систему дифференциальных уравнений (5.16) для вероятностей состояний р 1 (t) p 2 (t ), …, p n (t ), нужно задать начальное распределение вероятностей
p 1 (0),p 2 (0), …,p i (0), …,p n (0 ), (5.18)
сумма которых равна единице.
Если, в частности, в начальный момент t = 0 состояние системы S в точности известно, например, S(0) =S i , и р i (0) = 1, то остальные вероятноcти выражения (5.18) равны нулю.
Во многих случаях, когда процесс, протекающий в системе, длится достаточно долго, возникает вопрос о предельном поведении вероятностей р i (t) при . Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются простейшими (т.е. стационарными пуассоновскими с постоянными интенсивностями ), в некоторых случаях существуют финальные (или предельные) вероятности состояний
, (5.19)
независящие от того, в каком состоянии система S находилась в начальный момент. Это означает, что с течением времени в системе S устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого она переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются. В этом предельном режиме каждая финальная вероятность может быть истолкована как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии.
Систему, в которой существуют финальные вероятности, называют эргодической. Если система S имеет конечное число состояний S 1 , S 2 , . . . , S n , то для существования финальных вероятностей достаточно, чтобы из любого состояния системы можно было (за какое-то число шагов) перейти в любое другое. Если число состояний S 1 , S 2 , . . . , S n , бесконечно, то это условие перестает быть достаточным, и существование финальных вероятностей зависит не только от графа состояний, но и от интенсивностей .
Финальные вероятности состояний (если они существуют) могут быть получены решением системы линейных алгебраических уравнений, они получаются из дифференциальных уравнений Колмогорова, если положить в них левые части (производные) равными нулю. Однако удобнее составлять эти уравнения непосредственно по графу состояний, пользуясь мнемоническим правилом: для каждого состояния суммарный выходящий поток вероятности равен суммарному входящему. Например, для системы S, размеченный граф состояний которой дан на р ис. 5.7, уравнения для финальных вероятностей состояний имеют вид
(5.20)
Таким образом, получается (для системы S с п состояниями) система n однородных линейных алгебраических уравнений с n неизвестными р 1, р 2 , ..., р п. Из этой системы можно найти неизвестные р 1 , р 2 , . . . , р п с точностью до произвольного множителя. Чтобы найти точные значения р 1 ,..., р п, к уравнениям добавляют нормировочное условие p 1 + p 2 + … + p п =1, пользуясь которым можно выразить любую из вероятностей p i через другие (и соответственно отбросить одно из уравнений).
Вопросы для повторения
1 Что называют случайной функцией, случайным процессом, сечением случайного процесса, его реализацией?
2 Как различаются случайные процессы по своей структуре и характеру протекания во времени?
3 Какие законы распределения случайной функции применяют для описания случайной функции?
4 Что представляет собой функция математического ожидания случайной функции, в чем ее геометрический смысл?
5 Что представляет собой функция дисперсии случайной функции, в чем ее геометрический смысл?
6 Что представляет собой корреляционная функция случайного процесса, и что она характеризует?
7 Каковы свойства корреляционной функции случайного процесса?
8 Для чего введено понятие нормированной корреляционной функции?
9 Объясните как по опытным данным получить оценки функций характеристик случайного процесса?
10 В чем отличие взаимной корреляционной функции от автокорреляционной функции?
11 Какой случайный процесс относят к стационарным процессам в узком смысле и в широком?
12 В чем заключается свойство эргодичности стационарного случайного процесса?
13 Что понимают под спектральным разложением стационарного случайного процесса и в чем его необходимость?
14 Какова связь между корреляционной функцией и спектральной плотностью стационарной случайной функции?
15 Что называют простейшим потоком событий?
16 Какой случайный процесс называют марковской цепью? В чем заключается методика расчета ее состояний?
17 Что представляет собой марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем?
M(U)=10, D(U)=0.2 .
6.5 Найти нормированную взаимную корреляционную функцию случайных функций X(t)=t*U и Y(t)=(t+1)U , где U – случайная величина, причем дисперсия D(U)=10 .
Случайным процессом называется множество или семейство случайных величин, значения которых индексируются временным параметром. Например, число студентов в аудитории, атмосферное давление или температура в этой аудитории как функции времени являются случайными процессами.
Случайные процессы находят широкое применение при изучении сложных стохастических систем как адекватные математические модели процесса функционирования таких систем.
Основными понятиями для случайных процессов являются понятия состояния процесса иперехода его из одного состояния в другое.
Значения переменных, которые описывают случайный процесс, в данный момент времени называются состоянием случайного процесса . Случайный процесс совершает переход из одного состояния в другое, если значения переменных, задающих одно состояние, изменяются на значения, которые определяют другое состояние.
Число возможных состояний (пространство состояний) случайного процесса может быть конечным или бесконечным. Если число возможных состояний конечно или счетно (всем возможным состояниям могут быть присвоены порядковые номера), то случайный процесс называется процессом с дискретными состояниями . Например, число покупателей в магазине, число клиентов в банке в течение дня описываются случайными процессами с дискретными состояниями.
Если переменные, описывающие случайный процесс, могут принимать любые значения из конечного или бесконечного непрерывного интервала, а, значит, число состояний несчетно, то случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями . Например, температура воздуха в течение суток является случайным процессом с непрерывными состояниями.
Для случайных процессов с дискретными состояниями характерны скачкообразные переходы из одного состояния в другое, тогда, как в процессах с непрерывными состояниями переходы являются плавными. Далее будем рассматривать только процессы с дискретными состояниями, которых часто называют цепями .
Обозначим через g (t ) случайный процесс с дискретными состояниями, а возможные значенияg (t ), т.е. возможные состояния цепи, - через символыE 0 , E 1 , E 2 , … . Иногда для обозначения дискретных состояний используют числа 0, 1, 2,... из натурального ряда.
Случайный процесс g (t ) называетсяпроцессом с дискретным временем , если переходы процесса из состояния в состояние возможны только в строго определенные, заранее фиксированные моменты времениt 0 , t 1 , t 2 , … . Если переход процесса из состояния в состояние возможен в любой, заранее неизвестный момент времени, то случайный процесс называетсяпроцессом с непрерывным временем . В первом случае, очевидно, что интервалы времени между переходами являются детерминированными, а во втором - случайными величинами.
Процесс с дискретным временем имеет место либо, когда структура системы, которая описывается этим процессом, такова, что ее состояния могут изменяться только в заранее определенные моменты времени, либо когда предполагается, что для описания процесса (системы) достаточно знать состояния в определенные моменты времени. Тогда эти моменты можно пронумеровать и говорить о состоянии E i в момент времени t i .
Случайные процессы с дискретными состояниями могут изображаться в виде графа переходов (или состояний), в котором вершины соответствуют состояниям, а ориентированные дуги - переходам из одного состояния в другое. Если из состояния E i возможен переход только в одно состояниеE j , то этот факт на графе переходов отражается дугой, направленной из вершиныE i в вершинуE j (рис.1,а). Переходы из одного состояния в несколько других состояний и из нескольких состояний в одно состояние отражается на графе переходов, как показано на рис.1,б и 1,в.
МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС
Процесс без последействия, - случайный процесс ,
эволюция к-рого после любого заданного значения временного параметра tне зависит от эволюции, предшествовавшей t,
при условии, что значение процесса в этот фиксировано (короче: "будущее" н "прошлое" процесса не зависят друг от друга при известном "настоящем").
Определяющее М. п. свойство принято наз. марковским; впервые оно было сформулировано А. А. Марковым . Однако уже в работе Л. Башелье можно усмотреть попытку трактовать броуновское как М. п., попытку, получившую обоснование после исследований Н. Винера (N. Wiener, 1923). Основы общей теории М. п. с непрерывным временем были заложены А. Н. Колмогоровым .
Марковское свойство. Имеются существенно отличающиеся друг от друга определения М. п. Одним из наиболее распространенных является следующее. Пусть на вероятностном пространстве задан случайный процесс со значениями из измеримого пространства где Т -
подмножество действительной оси Пусть N t
(соответственно N t
).есть s-алгебра в
порожденная величинами X(s).при
где
Другими словами, N t
(соответственно N t
) - это совокупность событий, связанных с эволюцией процесса до момента t(начиная с t).
Процесс X(t).наз.
марковским процессом, если (почти наверное) для всех выполняется марковское свойство:
или, что то же самое, если для любых
М. п., для к-рого Тсодержится в множестве натуральных чисел, наз. Маркова цепью
(впрочем, последний термин чаще всего ассоциируется со случаем не более чем счетного Е).
Если Тявляется интервалом в а Ене более чем счетно, М. п. наз. цепью Маркова с непрерывным временем. Примеры М. п. с непрерывным временем доставляются диффузионными процессами и процессами с независимыми приращениями, в том числе пуассоновским и винеровским.
В дальнейшем для определенности речь будет идти только о случае Формулы (1) и (2) дают ясную интерпретацию принципа независимости "прошлого" и "будущего" при известном "настоящем", но основанное на них определение М. п. оказалось недостаточно гибким в тех многочисленных ситуациях, когда приходится рассматривать не одно, а набор условий типа (1) или (2), отвечающих различным, хотя и согласованным определенным образом, мерам Такого рода соображения привели к принятию следующего определения (см. , ).
Пусть заданы:
а) где s-алгебра содержит все одноточечные множества в Е;
б) измеримое снабженное семейством s-алгебр таких, что если
в) (" ") x t =x
t
(w),
определяющая при любых измеримое отображение
г) для каждых и вероятностная мера на s-алгебре такая, что функция измерима относительно если и
Набор наз. (необрывающимся) марковским процессом, заданным в если -почти наверное
каковы бы ни были Здесь - пространство элементарных событий, - фазовое пространство или пространство состояний, Р(s, x, t, В
) - переходная функция
или вероятность перехода процесса X(t).
Если Енаделено топологией, а - совокупность борелевских множеств в Е,
то принято говорить, что М. п. задан в Е.
Обычно в определение М. п. включают требование, чтобы и тогда истолковывается как вероятность при условии, что x s =x.
Возникает вопрос: всякую ли марковскую переходную функцию Р(s, x
; t, В
),
заданную в измеримом пространстве можно рассматривать как переходную функцию нек-рого М. п. Ответ положителен, если, напр., Еявляется сепарабельным локально компактным пространством, а - совокупностью борелевских множеств в Е.
Более того, пусть Е -
полное метрич. пространство и пусть
а - дополнение e-окрестности точки х. Тогда соответствующий М. п. можно считать непрерывным справа и имеющим пределы слева (т. е. таковыми можно выбрать его траектории). Существование же непрерывного М. п. обеспечивается условием при (см. , ). В теории М. п. основное внимание уделяется однородным (по времени) процессам. Соответствующее определение предполагает заданной систему объектов а) - г) с той разницей, что для фигурировавших в ее описании параметров sи u теперь допускается лишь значение 0. Упрощаются и обозначения:
Далее, постулируется однородность пространства W, т. е. требуется, чтобы для любых существовало такое что (w) при Благодаря этому на s-алгебре N,
наименьшей из s-алгебр в W, содержащих любое событие вида задаются операторы временного сдвига q t
, к-рые сохраняют операции объединения, пересечения и вычитания множеств и для к-рых
Набор наз. (необрывающимся) однородным марковским процессом, заданным в если -почти наверное
для Переходной функцией процесса X(t).считается Р(t, x, В
), причем, если нет специальных оговорок, дополнительно требуют, чтобы Полезно иметь в виду, что при проверке (4) достаточно рассматривать лишь множества вида где и что в (4) всегда F t
можно заменить s-алгеброй , равной пересечению пополнений F t
по всевозможным мерам Нередко в фиксируют вероятностную меру m ("начальное ") и рассматривают марковскую случайную функцию где - мера на заданная равенством
М. п. наз. прогрессивно измеримым, если при каждом t>0 функция индуцирует измеримое в где есть s-алгебра
борелевских подмножеств в . Непрерывные справа М. п. прогрессивно измеримы. Существует способ сводить неоднородный случай к однородному (см. ), и в дальнейшем речь будет идти об однородных М. п.
Строго .
Пусть в измеримом пространстве задан М. п.
Функция наз. марковским моментом,
если для всех
При этом относят к семейству F t , если при (чаще всего F t интерпретируют как совокупность событий, связанных с эволюцией X(t).до момента т). Для полагают
Прогрессивно измеримый М. п. Xназ. строго марковским процессом (с. м. п.), если для любого марковского момента т и всех и соотношение
(строго марковское свойство) выполняется -почти наверное на множестве W t . При проверке (5) достаточно рассматривать лишь множества вида где в этом случае С. м. п. является, напр., любой непрерывный справа феллеровский М. п. в топологич. пространстве Е.
М. п. наз. феллеровским марковским процессом, если функция
непрерывна всякий раз, когда f непрерывна и ограничена.
В классе с. м. п. выделяются те или иные подклассы. Пусть марковская Р(t, x, В
),
заданная в метрическом локально компактном пространстве Е,
стохастически непрерывна:
для любой окрестности Uкаждой точки Тогда если операторы переводят в себя непрерывных и обращающихся в 0 в бесконечности функций, то функции Р(t, х, В
).отвечает стандартный М. п. X,
т. е. непрерывный справа с. м. п., для к-рого
Обрывающийся марковский процесс.
Нередко физич. системы целесообразно описывать с помощью необрывающегося М. п., но лишь на временном интервале случайной длины. Кроме того, даже простые преобразования М. п. могут привести к процессу с траекториями, заданными на случайном интервале (см. Функционал
от марковского процесса). Руководствуясь этими соображениями, вводят понятие обрывающегося М. п.
Пусть - однородный М. п. в фазовом пространстве имеющий переходную функцию и пусть существуют точка и функция такие, что при и в противном случае (если нет специальных оговорок, считают ). Новая траектория x t
(w) задается лишь для ) посредством равенства a F t
определяется как в множестве
Набор где наз. обрывающимся марковским процессом (о. м. п.), полученным из с помощью обрыва (или убивания) в момент z. Величина z наз. моментом обрыва, или временем жизни, о. м. п. Фазовым пространством нового процесса служит где есть след s-алгебры в Е.
Переходная функция о. м. п.- это сужение на множество Процесс X(t).наз. строго марковским процессом, или стандартным марковским процессом, если соответствующим свойством обладает Необрывающийся М. п. можно рассматривать как о. м. п. с моментом обрыва Неоднородный о. м. п. определяется аналогичным образом. М.
Марковские процессы и .
М. п. типа броуновского движения тесно связаны с дифференциальными уравнениями параболич. типа. Переходная р(s, x, t, у
).диффузионного процесса удовлетворяет при нек-рых дополнительных предположениях обратному и прямому дифференциальным уравнениям Колмогорова:
Функция р(s, x, t, у
).есть функция Грина уравнений (6) - (7), и первые известные способы построения диффузионных процессов были основаны на теоремах существования этой функции для дифференциальных уравнений (6) - (7). Для однородного по времени процесса L(s, x
) = L
(x).на гладких функциях совпадает с характеристич. оператором М. п. (см. Переходных операторов полугруппа
).
Математич. ожидания различных функционалов от диффузионных процессов служат решениями соответствующих краевых задач для дифференциального уравнения (1). Пусть - математич. ожидание по мере Тогда функция удовлетворяет при s
Аналогично, функция
удовлетворяет при s
и условию и 2 ( Т, x
) = 0.
Пусть тt - момент первого достижения границы дD
области
траекторией процесса
Тогда при нек-рых условиях функция
удовлетворяет уравнению
и принимает значения ср на множестве
Решение 1-й краевой задачи для общего линейного параболич. уравнения 2-го порядка
при довольно общих предположениях может быть записано в виде
В случае, когда Lи функции с, f
не зависят от s,
аналогичное (9) представление возможно и для решения линейного эллиптич. уравнения. Точнее, функция
при нек-рых предположениях есть задачи
В случае, когдгг оператор Lвырождается (del b(s, х
) = 0
).или дD
недостаточно "хорошая", граничные значения могут и не приниматься функциями (9), (10) в отдельных точках или на целых множествах. Понятие регулярной граничной точки для оператора L
имеет вероятностную интерпретацию. В регулярных точках границы граничные значения достигаются функциями (9), (10). Решение задач (8), (11) позволяет изучать свойства соответствующих диффузионных процессов и функционалов от них.
Существуют методы построения М. п., не опирающиеся на построение решений уравнений (6), (7), напр. метод стохастических дифференциальных уравнений,
абсолютно непрерывная замена меры и др. Это обстоятельство вместе с формулами (9), (10) позволяет вероятностным путем строить и изучать свойства краевых задач для уравнения (8), а также свойства решении соответствующего эллиптич. уравнения.
Так как решение стохастического дифференциального уравнения нечувствительно к вырождению матрицы b(s, x
), то
вероятностные методы применялись для построения решений вырождающихся эллиптических и параболических дифференциальных уравнений. Распространение принципа усреднения Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова на стохастические дифференциальные уравнения позволило с помощью (9) получить соответствующие результаты для эллиптических и параболических дифференциальных уравнений. Нек-рые трудные задачи исследования свойств решений уравнений такого типа с малым параметром при старшей производной оказалось возможным решить с помощью вероятностных соображений. Вероятностный смысл имеет и решение 2-й краевой задачи для уравнения (6). Постановка краевых задач для неограниченной области тесно связана с возвратностью соответствующего диффузионного процесса.
В случае однородного по времени процесса (Lне зависит от s) положительное решение уравнения с точностью до мультипликативной постоянной совпадает при нек-рых предположениях со стационарной плотностью распределения М. п. Вероятностные соображения оказываются полезными и при рассмотрении краевых задач для нелинейных параболич. уравнений. Р. 3. Хасьминский.
Лит. : Марков А. А., "Изв. физ.-мат. об-ва Казан. ун-та", 1906, т. 15, №4, с. 135-56; В а с h e l i е r L., "Ann. scient. Ecole norm, super.", 1900, v. 17, p. 21-86; Колмогоров А. Н., "Math. Ann.", 1931, Bd 104, S. 415- 458; рус. пер.-"Успехи матем. наук", 1938, в. 5, с. 5-41; Ч ж у н К а й - л а й, Однородные цепи Маркова, пер. с англ., М., 1964; Р е 1 1 е r W., "Ann. Math.", 1954, v. 60, p. 417-36; Д ы н к и н Е. Б., Ю ш к е в и ч А. А., "Теория вероятн. и ее примен.", 1956, т. 1, в. 1, с. 149-55; X а н т Дж.-А., Марковские процессы и потенциалы, пер. с англ., М., 1962; Д е л л а ш е р и К., Емкости и случайные процессы, пер. с франц., М., 1975; Д ы н к и н Е. В., Основания теории марковских процессов, М., 1959; его же, Марковские процессы, М., 1963; Г и х м а н И. И., С к о р о х о д А. В., Теория случайных процессов, т. 2, М., 1973; Фрейдлин М. И., в кн.: Итоги науки. Теория вероятностей, - важный специальный вид случайных процессов. Примером марковского процесса может служить распад радиоактивного вещества, где вероятность распада данного атома за малый промежуток времени не зависит от течения процесса в предшествующий период.… … Большой Энциклопедический словарь
Марковский процесс случайный процесс, эволюция которого после любого заданного значения временного параметра не зависит от эволюции, предшествовавшей, при условии, что значение процесса в этот момент фиксировано («будущее» процесса не… … Википедия
Марковский процесс - 36. Марковский процесс Примечания: 1. Условную плотность вероятности называют плотностью вероятности перехода из состояния xn 1в момент времени tn 1 в состояние хпв момент времени tn. Через нее выражаются плотности вероятностей произвольного… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
марковский процесс - Markovo procesas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Markovprocess vok. Markovprozeß, m rus. марковский процесс, m; процесс Маркова, m pranc. processus markovien, m … Automatikos terminų žodynas
марковский процесс - Markovo vyksmas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Markov process; Markovian process vok. Markow Prozeß, m; Markowscher Prozeß, m rus. марковский процесс, m; процесс Маркова, m pranc. processus de Markoff, m; processus marcovien, m;… … Fizikos terminų žodynas
Важный специальный вид случайных процессов. Примером Марковского процесса может служить распад радиоактивного вещества, где вероятность распада данного атома за малый промежуток времени не зависит от течения процесса в предшествующий период.… … Энциклопедический словарь
Важный специальный вид случайных процессов (См. Случайный процесс), имеющих большое значение в приложениях теории вероятностей к различным разделам естествознания и техники. Примером М. п. может служить распад радиоактивного вещества.… … Большая советская энциклопедия
Выдающееся открытие в области математики, сделанное в 1906 русским ученым А.А. Марковым.
Марковские случайные процессы названы по имени выдающегося русского математика А.А. Маркова (1856-1922), впервые начавшего изучение вероятностной связи случайных величин и создавшего теорию, которую можно назвать “динамикой вероятностей”. В дальнейшем основы этой теории явились исходной базой общей теории случайных процессов, а также таких важных прикладных наук, как теория диффузионных процессов, теория надежности, теория массового обслуживания и т.д. В настоящее время теория Марковских процессов и ее приложения широко применяются в самых различных областях таких наук, как механика, физика, химия и др.
Благодаря сравнительной простоте и наглядности математического аппарата, высокой достоверности и точности получаемых решений особое внимание Марковские процессы приобрели у специалистов, занимающихся исследованием операций и теорией принятия оптимальных решений.
Несмотря на указанную выше простоту и наглядность, практическое применение теории Марковских цепей требует знания некоторых терминов и основных положений, на которых следует остановиться перед изложением примеров.
Как указывалось, Марковские случайные процессы относятся к частным случаям случайных процессов (СП). В свою очередь, случайные процессы основаны на понятии случайной функции (СФ).
Случайной функцией называется функция, значение которой при любом значении аргумента является случайной величиной (СВ). По- иному, СФ можно назвать функцию, которая при каждом испытании принимает какой-либо заранее неизвестный вид.
Такими примерами СФ являются: колебания напряжения в электрической цепи, скорость движения автомобиля на участке дороги с ограничением скорости, шероховатость поверхности детали на определенном участке и т.д.
Как правило, считают, что если аргументом СФ является время, то такой процесс называют случайным. Существует и другое, более близкое к теории принятия решений, определение случайных процессов. При этом под случайным процессом понимают процесс случайного изменения состояний какой-либо физической или технической системы по времени или какому-либо другому аргументу.
Нетрудно заметить, что если обозначить состояние и изобразить зависимость, то такая зависимость и будет случайной функцией.
Случайные процессы классифицируются по видам состояний и аргументу t. При этом случайные процессы могут быть с дискретными или непрерывными состояниями или временем.
Кроме указанных выше примеров классификации случайных процессов существует еще одно важное свойство. Это свойство описывает вероятностную связь между состояниями случайных процессов. Так, например, если в случайном процессе вероятность перехода системы в каждое последующее состояние зависит только от предыдущего состояния, то такой процесс называется процессом без последействия.
Отметим, во-первых, что случайный процесс с дискретными состояниями и временем называется случайной последовательностью.
Если случайная последовательность обладает Марковским свойством, то она называется цепью Маркова.
С другой стороны, если в случайном процессе состояния дискретны, время непрерывно и свойство последействия сохраняется, то такой случайный процесс называется Марковским процессом с непрерывным временем.
Марковский случайный процесс называется однородным, если переходные вероятности остаются постоянными в ходе процесса.
Цепь Маркова считается заданной, если заданы два условия.
1. Имеется совокупность переходных вероятностей в виде матрицы:
2. Имеется вектор начальных вероятностей
описывающий начальное состояние системы.
Кроме матричной формы модель Марковской цепи может быть представлена в виде ориентированного взвешенного графа (рис. 1).
Рис. 1
Множество состояний системы Марковской цепи, определенным образом классифицируется с учетом дальнейшего поведения системы.
1. Невозвратное множество (рис. 2).
Рис.2.
В случае невозвратного множества возможны любые переходы внутри этого множества. Система может покинуть это множество, но не может вернуться в него.
2. Возвратное множество (рис. 3).
Рис. 3.
В этом случае также возможны любые переходы внутри множества. Система может войти в это множество, но не может покинуть его.
3. Эргодическое множество (рис. 4).
Рис. 4.
В случае эргодического множества возможны любые переходы внутри множества, но исключены переходы из множества и в него.
4. Поглощающее множество (рис. 5)
Рис. 5.
При попадании системы в это множество процесс заканчивается.
В некоторых случаях, несмотря на случайность процесса, имеется возможность до определенной степени управлять законами распределения или параметрами переходных вероятностей. Такие Марковские цепи называются управляемыми. Очевидно, что с помощью управляемых цепей Маркова (УЦМ) особенно эффективным становится процесс принятия решений, о чем будет сказано впоследствии.
Основным признаком дискретной Марковской цепи (ДМЦ) является детерминированность временных интервалов между отдельными шагами (этапами) процесса. Однако часто в реальных процессах это свойство не соблюдается и интервалы оказываются случайными с каким-либо законом распределения, хотя марковость процесса сохраняется. Такие случайные последовательности называются полумарковскими.
Кроме того, с учетом наличия и отсутствия тех или иных, упомянутых выше, множеств состояний Марковские цепи могут быть поглощающими, если имеется хотя бы одно поглощающее состояние, или эргодическими, если переходные вероятности образуют эргодическое множество. В свою очередь, эргодические цепи могут быть регулярными или циклическими. Циклические цепи отличаются от регулярных тем, что в процессе переходов через определенное количество шагов (циклов) происходит возврат в какое-либо состояние. Регулярные цепи этим свойством не обладают.
Случайный процесс X (t), tÎT называется марковским, если любых t l < t 2 < ... < t n , принадлежащих области Т, условная функция распределения случайной величины X(t n) относительно X(t 1), . . ., X(t n -1) совпадает с условной функцией распределения X(t n) относительно X(t n -1) в том смысле, что для любого x n ÎX справедливо равенство
Рассмотрение определения (3.1.1) при последовательно увеличивающихся n позволяет установить, что для марковских случайных процессов n-мерная функция распределения может быть представлена в виде
Аналогично свойство марковости (3.1.1), (3.1.2) может быть записано и для плотностей вероятности
Таким образом, для марковского процесса функция распределения или плотность вероятности любой мерности n может быть найдена, если известна его одномерная плотность вероятности при t = t 1 и последовательность условных плотностей для моментов t i >t 1 , i = .Эта особенность по существу и определяет практическое удобство аппарата марковских случайных процессов.
Для марковских процессов полностью справедлива общая классификация, приведенная в параграфе 1.1. В соответствии с этой классификацией обычно выделяется четыре основных вида процессов Маркова :
- цепи Маркова - процессы, у которых как область значений X, так и область определения Т - дискретные множества;
- марковские последовательности - процессы, у которых область значений X - непрерывное, а область определения Т -дискретное множество;
- дискретные марковские процессы - процессы, у которых область значений X - дискретное, а область определения Т - непрерывное множество;
- непрерывнозначные марковские процессы - процессы, у которых как область значений X, так и область определения Т - непрерывные множества.
Возможны и более сложные виды марковских процессов, например дискретно-непрерывные, когда случайный процесс X (t) при некоторых значениях аргумента t имеет скачки, а в промежутках между ними ведет себя как непрерывнозначный. Подобные процессы называются смешанными. Похожая ситуация имеет место и для векторных процессов Маркова - отдельные составляющие такого процесса могут относиться к разным типам. Процессы таких сложных видов в дальнейшем не рассматриваются.
Отметим, что при изучении марковских процессов традиционно принято под аргументом t понимать время. Поскольку это предположение не ограничивает общности и способствует наглядности изложения, такая трактовка физического смысла аргумента t и принята в данной главе.
ЦЕПИ МАРКОВА
Пусть случайный процесс X (t) может принимать конечное (L < ) множество значений
{q l , l = } = С. Конкретное значениеq l ; Î С, которое принял процесс X (t) в момент t, определяет его состояние при данном значении аргумента. Таким образом,
в рассматриваемом случае процесс X (t) имеет конечное множество возможных состояний.
Естественно, что с течением времени процесс X (t)
будет случайным образом изменять свое состояние. Допустим, что такое изменение возможно не при любом t, а
лишь в некоторые дискретные моменты времени t 0
Два указанных признака определяют последовательность дискретных случайных величин X i - X (t i), i = 0.1, ... (дискретную случайную последовательность в терминах, параграфа 1.1), у которой область значений представляет собой дискретное конечное множество С ={q l , l = ], а область определения - дискретное бесконечное множество t i , i = 0,1, 2,...
Если для определенной таким образом дискретной случайной последовательности справедливо основное свойство (3.1.1) процессов Маркова, приобретающее в данном случае вид
то такая последовательность называется простой цепью Маркова.
Отметим, что из выражения (3.2.1) непосредственно вытекает
такое же равенство и для условных вероятностей нахождения
простой цепи Маркова в некотором состоянии
Р{х 1 /х 0 ,х 1 , ...,x i -1 } = Ρ{x i /x i -1 }, i = 1,2,....
Введенное определение допускает некоторое обобщение. Положим, что значение х i Î С рассматриваемого процесса X (t) зависит не от одного, а от m(l£ m < i ) непосредственно предшествующих ему значений. Тогда, очевидно, что
Процесс, определяемый соотношением (3.2.2), называется сложной цепью Маркова порядка т. Соотношение (3.2.1) вытекает из (3.2.2) как частный случай. В свою очередь, сложная цепь Маркова порядка т может быть сведена к простой цепи Маркова для m-мерного вектора. Для того чтобы показать это, положим, что состояние процесса в момент i i описывается с помощью m-мерного вектора.
(3.2.3)
На предыдущем шаге аналогичный вектор запишется как
Сравнение (3.2.3) и (3.2.4) показывает, что «средние» компоненты этих векторов (кроме X l в (3.2.3) и Х l - m в (3.2.4)) совпадают. Отсюда следует, что условная вероятность попадания процесса X (t) в состояние `X i в момент t 1 , если он находился в состоянии `X i -1 в момент t i -1 , может быть записана в виде
В (3.2.5) символ обозначает j-ю компоненту вектора `x i ; α (μ, ν) - символ Кронекера: α(μ, ν) = 1 при ν = μ и α(μ, ν) = ϋ при μ ¹ν. Возможность указанных обобщений позволяет ограничиться в дальнейшем рассмотрением только простых цепей Маркова.
Как система дискретных случайных величин простая цепь Маркова X i , i = 0, 1, 2, ... ,i, ... при любом фиксированном i может быть исчерпывающим образом описана i-мерной совместной вероятностью
ρ {θ 0 L , θ ίκ ,... , θ ί m ,} = P{Х 0 =θ L ,X 1 =θ k ,…,X j =θ m }, (3.2.6)
где индексы l , k,..., т принимают все значения от 1 до L независимо друг от друга. Выражение (3.2.6) определяет матрицу с L строками и i+1 столбцом, элементами которой являются вероятности совместного пребывания системы случайных величин Χ 0 ,Χ 1 ,...,Χ ί в некотором конкретном состоянии. Данная матрица по аналогии с рядом распределения скалярной дискретной случайной величины может быть названа матрицей распределения системы дискретных случайных величин
Χ 0 ,Χ 1 ,...,Χ ί .
На основании теоремы умножения вероятностей вероятность (3.2.6) может быть представлена в виде
Но согласно основному свойству (3.2.1) цепи Маркова
P{X l = m/X 0 = l ,X 1 = k ,…,X i -1 = r }=P{X i = m /X i -1 = r }
Повторение аналогичных рассуждений для входящей в (3.2.8) вероятности r } позволяет привести это выражение к виду
Отсюда окончательно получаем
(3.2.9)
Таким образом, полное вероятностное описание простой цепи Маркова достигается заданием вероятностей начального состояния цепи в момент t 0 , Ρ{Θ 0 l ,} = Р{Х 0 = Θ l }, l= и условных вероятностей
Ρ {X l = Θ k /X i-1 = Θ m }, i = 1 , 2, . .. · k, m =
Отметим, что поскольку возможные состояния Θ l Î`C цепи X (t) фиксированы и известны, для описания ее состояния в любой момент времени достаточно указать номер l этого состояния. Это позволяет ввести для безусловных вероятностей нахождения цепи в l -м состоянии в момент t i (на i -м шаге) упрощенное обозначение
Для этих вероятностей, очевидно, имеют место свойства неотрицательности и нормированности к единице
P l (i )>0,l = , i = 0, 1,2,...; (3.2.11)
При использовании матричных обозначений совокупность безусловных вероятностей записывается в виде матрицы-строки
(3.2.12)
Как следует из ранее изложенного, фундаментальную роль в теории цепей Маркова (и процессов Маркова вообще) играют условные вероятности вида В соответствии с физическим смыслом их принято называть вероятностями перехода и обозначать как
Выражение (3.2.13) определяет вероятность прихода цепи в состояние l , в момент t за ν - μ шагов при условии, что в момент t μ цепь находилась в состоянии A . Нетрудно видеть, что для вероятностей перехода также имеют место свойства неотрицательности и нормированности, поскольку на любом шаге цепь всегда будет находиться в одном из L возможных состояний
(3.2.14)
Упорядоченная совокупность вероятностей перехода для любой пары может быть представлена в виде квадратной матрицы
(3.2.15)
Как следует из выражения (3.2.14), все элементы этой матрицы неотрицательны и сумма элементов каждой строки равна единице. Квадратная матрица, обладающая указанными свойствами, называется стохастической.
Таким образом, вероятностное описание цепи Маркова может быть задано матрицей-строкой (3.2.12) и стохастической матрицей (3.2.15).
С использованием введенных обозначений решим основную задачу теории цепей Маркова - определим безусловную вероятность Ρ l (ί) того, что за i -μ шагов процесс придет в некоторое состояние l , l = . Очевидно, что в момент t m процесс может находиться в любом из L возможных состояний с вероятностью P k (m), k = . Вероятность же перехода из k-гo в l -е состояние задается вероятностью перехода p k l (m,i) . Отсюда на основании теоремы о полной вероятности получаем
; (3.2.16)
или в матричной форме
P(i )=P(m)P(m,i ); (3.2.17)
Рассмотрим в соотношении (3.2.16) вероятность перехода π kl (m,i
). Очевидно, что переход цепи из состояния k
в момент t m
в состояние l
в момент t i
за несколько шагов может осуществляться различными путями (через различные промежуточные состояния). Введем в рассмотрение промежуточный момент времени t m , t m
матричная форма которого имеет вид
П(m, ί) = П(μ, m) П(m,I) ; 0£m < m < I; (3.2.19)
Уравнения (3.2.18), (3.2.19) определяют характерное для цепей Маркова свойство вероятностей перехода, хотя справедливости (3.2.18) еще недостаточно, чтобы соответствующая цепь была марковской.
Расписывая последовательно формулу (3.2.19), получаем
П(μ, i ) = П (μ, i - 1) П (i - 1, ί) = П (μ, μ + 1) ... П (ί - 1, i ), (3.2.20)
где p(ν, μ), μ -n= 1- одношаговая вероятность перехода. Полагая теперь в выражении (3.2.17) μ =0, получаем
(3.2.21)
откуда следует, что полное вероятностное описание простой цепи Маркова достигается заданием вероятностей начального состояния и последовательности матриц вероятностей одношаговых переходов.
Очевидно, что свойства цепи Маркова в значительной мере определяются свойствами вероятностей перехода. С этой точки зрения, в частности, среди простых цепей Маркова выделяют однородные, для которых вероятности перехода зависят только от разности аргументов
p kl (m,i ) =p kl (i-m) ,i>m>0; (3.2.22)
и не зависят от номера шага. Все остальные виды простых цепей Маркова, не удовлетворяющие условию (3.2.22), относятся к классу неоднородных,.
Поскольку для однородной цепи вероятность перехода определяется лишь разностью аргументов и не зависит от номера шага, очевидно, что для произвольных пар (μ,m), (j ,i ), удовлетворяющих условиям т - μ = 1, ί- j = 1, m¹i, справедливо
p kl (m-m) =p kl (i-j)= p kl (1) =p kl ;
Отсюда следует, что для описания однородной марковской цепи достаточно задать вместе с вероятностями начального состояния не последовательность, а одну стохастическую матрицу одношаговых вероятностей перехода
(3.2.23)
Кроме того, очевидно, что
(3.4.7)
поскольку первый сомножитель под интегралом не зависит от переменной интегрирования, а интеграл от второго равен единице. Вычитание уравнения (3.4.7) из (3.4,6) дает
Предположим, что плотность вероятности перехода рассматриваемого процесса может быть разложена в ряд Тейлора. Тогда выражение в квадратных скобках под интегралом в уравнении (3.4.8) может быть представлено в виде
Подставив выражение (3.4.9) в (3.4.8), разделив обе части полученного выражения на ∆t и перейдя к пределу при Δt → 0, получим
Уравнение (3.4.10) определяет широкий класс непрерывных марковских процессов, причем нетрудно видеть, что совокупность коэффициентов А ν (x 0 ,t 0) определяет физические свойства каждого из них. Так, коэффициент A 1 (x 0 , t 0) может трактоваться как среднее значение локальной (в точке x (t 0)) скорости изменения процесса, коэффициент A 2 (x 0 , t 0) - как локальная скорость изменения дисперсии его приращения и т. д. Однако марковские процессы такого общего вида сравнительно редко рассматриваются в приложениях. Наибольшее практическое значение имеет подмножество марковских процессов, удовлетворяющее условию
A ν (x 0 , t 0)¹0; n=1,2, A ν (x 0 , t 0)=0, n³3; (3.4.12)
При исследовании марковских процессов первоначально было установлено, что уравнению (3.4.10) при условии (3.4.12) удовлетворяют законы движения (диффузии) броуновских частиц, вследствие чего соответствующие марковские процессы назвали диффузионными. Исходя из этого, коэффициент A 1 (x 0 , t 0)=a (x 0 , t 0) назвали коэффициентом сноса, о A 2 (x 0 , t 0)=b(x 0 , t 0) -- коэффициентом диффузии. В рамках (3.4.12) уравнение (3.4.10) приобретает окончательный вид
Это уравнение, в котором переменными являются х 0 и t 0 , носит название первого (обратного) уравнения Колмогорова.
Аналогичным образом может быть получено и второе уравнение
Это уравнение, в честь впервые исследовавших его ученых, называется уравнением Фоккера, - Планка - Колмогорова или прямым уравнением Колмогорова (поскольку в нем фигурирует производная по конечному моменту времени t>t 0).
Таким образом; показано, что плотности вероятности перехода диффузионных марковских процессов удовлетворяют уравнениям (3.4.13), (3.4.14), которые и являются основным инструментом их исследования. При этом- свойства конкретного процесса определяются «коэффициентами» a(x,tί) и b(x,t) которые, согласно уравнения (3.4.11), равны
Из выражений (3.4.15), (3.4.16) следует, что эти «коэффициенты» имеют смысл условных математических ожиданий, определяющих характер изменений реализаций процесса за бесконечно малый промежуток времени Δt. Допускаются весьма быстрые изменения процесса X (t) , но в противоположных направлениях, в результате чего среднее приращение процесса за малое время Δt конечно и имеет порядок .
Похожие статьи
-
Должностная инструкция воспитателя детского сада
Воспитатель дошкольного учреждения – человек, который одним из первых встречается ребенку вне дома. Организация его социальной роли в будущем намного зависит от того, какой человек его будет встречать, и учить в первые годы жизни. Именно в...
-
Кармическая задача по дате рождения Манипулирование личностью Георгий Грачев
Эта книга содержит нестандартный взгляд на проблемы женского счастья и предлагает новые пути их решения. Ее автор - практикующий кармапсихолог Галина Зубкова - опирается на опыт сотен женщин и мужчин, для того, чтобы доказать простую...
-
Рис с печенью: рецепты и особенности приготовления
Печень - один из богатейших источников железа в рационе человека. К тому же, этот продукт широко распространен в наших магазинах, быстро готовится и не дорого стоит. Вкусный рис с печенью по нашим рецептам порадует за трапезой вас и ваших...
-
Свиное сало: калорийность, польза и вред Калорийность сало свиное соленое
Сало – любимый многими продукт и отличная закуска. Он представляет собой засоленный или копченый свиной жир, иногда с мясными прослойками. Мягкое, хорошо приготовленное имеет очень насыщенный, приятный вкус. Однако калорийность этого...
-
Транспортный налог (2018): изменения Изменение ставки транспортного налога в году
Сегодня мы рассмотрим транспортный налог для Москвы. Проанализируем налоговые ставки по уплате транспортного налога и узнаем, какие существуют сроки по уплате налога. Также мы рассмотрим типичные ошибки при уплате транспортного налога и...
-
Современные молитвенники и старцы нашего времени
Православными старцами считаются люди, обладающие высокой духовностью и природной мудростью, чаще всего священнослужители. В древней Руси, истории о таких людях передавались из уст в уста, о них слагались легенды. Собиралась огромная...