Forelesning: linjer på et plan og deres ligninger. Definisjon av ligningen til en linje, eksempler på en linje på et plan En linje på et plan er gitt av ligningen

Denne artikkelen er en fortsettelse av avsnittet om rette linjer på et plan. Her går vi videre til den algebraiske beskrivelsen av en rett linje ved å bruke ligningen til en rett linje.

Materialet i denne artikkelen er et svar på spørsmålene: "Hvilken ligning kalles likningen til en linje og hvilken form har likningen til en linje på et plan?"

Sidenavigering.

Ligning av en rett linje på et plan - definisjon.

La Oxy festes på planet og en rett linje spesifiseres i det.

Rett, som alle andre geometrisk figur, består av prikker. I et fast rektangulært koordinatsystem har hvert punkt på en linje sine egne koordinater - abscisse og ordinat. Så forholdet mellom abscissen og ordinaten til hvert punkt på en linje i et fast koordinatsystem kan gis av en ligning, som kalles ligningen til en linje på et plan.

Med andre ord, ligning av en linje i et plan i det rektangulære koordinatsystemet Oxy er det en ligning med to variabler x og y, som blir en identitet når koordinatene til et hvilket som helst punkt på denne linjen erstattes med den.

Det gjenstår å forholde seg til spørsmålet om hvilken form ligningen til en rett linje på et plan har. Svaret på dette finnes i neste avsnitt av artikkelen. Når vi ser fremover, legger vi merke til at det er forskjellige former for å skrive ligningen til en rett linje, som forklares av spesifikasjonene til problemene som løses og metoden for å definere en rett linje på et plan. Så la oss begynne med en gjennomgang av hovedtypene av ligninger av en rett linje på et plan.

Generell ligning for en rett linje.

Formen til ligningen til en rett linje i det rektangulære koordinatsystemet Oxy på planet er gitt ved følgende teorem.

Teorem.

Enhver ligning av første grad med to variabler x og y av formen, der A, B og C er noen reelle tall, og A og B ikke er lik null samtidig, definerer en rett linje i det rektangulære koordinatsystemet Oksy på planet, og hver rett linje på planet er gitt av ligningstypen .

Ligning ringte generell likning av linjen på et fly.

La oss forklare betydningen av teoremet.

Gitt en ligning av formen tilsvarer en rett linje på et plan i et gitt koordinatsystem, og en rett linje på et plan i et gitt koordinatsystem tilsvarer en rettlinjeligning av formen .

Se på tegningen.

På den ene siden kan vi si at denne linjen bestemmes av den generelle ligningen til linjen i formen , siden koordinatene til ethvert punkt på den avbildede linjen tilfredsstiller denne ligningen. På den annen side, settet med punkter i planet definert av ligningen , gi oss den rette linjen vist på tegningen.

Den generelle ligningen for en rett linje kalles fullstendig, hvis alle tallene A, B og C er forskjellige fra null, ellers kalles den generelle ligningen til en linje ufullstendig. En ufullstendig ligning av en linje av formen bestemmer en linje som går gjennom origo for koordinater. Når A=0 ligningen spesifiserer en rett linje parallelt med abscisseaksen Ox, og når B=0 – parallell med ordinataksen Oy.

Dermed kan enhver rett linje på et plan i et gitt rektangulært koordinatsystem Oxy beskrives ved å bruke den generelle ligningen av en rett linje for et visst sett med verdier av tallene A, B og C.

Normalvektor for en linje gitt av en generell ligning for linjen i formen , har koordinater .

Alle linjelikninger, som er gitt i de følgende avsnittene i denne artikkelen, kan hentes fra den generelle ligningen til en linje, og kan også reduseres tilbake til den generelle ligningen til en linje.

Vi anbefaler denne artikkelen for videre studier. Der er teoremet formulert i begynnelsen av dette avsnittet av artikkelen bevist, grafiske illustrasjoner er gitt, løsninger på eksempler for å kompilere en generell ligning av en linje analyseres i detalj, overgangen fra en generell ligning av en linje til ligninger av en annen type og rygg vises, og andre karakteristiske problemer vurderes også.

Ligning av en rett linje i segmenter.

En rettlinjeligning av formen , der a og b er noen andre reelle tall enn null, kalles ligning av en rett linje i segmenter. Dette navnet er ikke tilfeldig, siden de absolutte verdiene til tallene a og b er lik lengdene på segmentene som den rette linjen avskjærer på henholdsvis koordinataksene Ox og Oy (segmentene måles fra origo) . Dermed gjør ligningen av en linje i segmenter det enkelt å konstruere denne linjen i en tegning. For å gjøre dette bør du markere punktene med koordinater og i et rektangulært koordinatsystem på planet, og bruke en linjal for å koble dem med en rett linje.

La oss for eksempel konstruere en rett linje gitt av en ligning i segmenter av formen . Merking av punktene og koble dem til.

Du kan få detaljert informasjon om denne typen ligninger for en linje på et plan i artikkelen.

Ligning av en rett linje med en vinkelkoeffisient.

En rettlinjeligning av formen, der x og y er variabler, og k og b er noen reelle tall, kalles ligning av en rett linje med helning(k er skråningen). Vi er godt klar over likningene til en rett linje med en vinkelkoeffisient fra et algebrakurs på videregående skole. Denne typen linjeligning er veldig praktisk for forskning, siden variabelen y er en eksplisitt funksjon av argumentet x.

Definisjonen av vinkelkoeffisienten til en rett linje er gitt ved å bestemme helningsvinkelen til den rette linjen til den positive retningen til Ox-aksen.

Definisjon.

Helningsvinkelen til den rette linjen til den positive retningen til abscisseaksen i et gitt rektangulært kartesisk koordinatsystem er Oxy vinkelen målt fra den positive retningen til Ox-aksen til den gitte rette linjen mot klokken.

Hvis den rette linjen er parallell med x-aksen eller faller sammen med den, regnes dens helningsvinkel som lik null.

Definisjon.

Direkte skråning er tangensen til helningsvinkelen til denne rette linjen, det vil si .

Hvis den rette linjen er parallell med ordinataksen, så går skråningen til uendelig (i dette tilfellet sier de også at skråningen ikke eksisterer). Vi kan med andre ord ikke skrive en ligning av en linje med helning for en linje parallelt med eller sammenfallende med Oy-aksen.

Legg merke til at den rette linjen definert av ligningen går gjennom et punkt på ordinataksen.

Således definerer ligningen av en rett linje med en vinkelkoeffisient på planet en rett linje som går gjennom et punkt og danner en vinkel med den positive retningen til abscisseaksen, og .

Som et eksempel, la oss skildre en rett linje definert av en ligning av formen . Denne linjen går gjennom et punkt og har en helning radianer (60 grader) til den positive retningen til Ox-aksen. Hellingen er lik .

Merk at det er veldig praktisk å søke nøyaktig i form av en likning av en rett linje med en vinkelkoeffisient.

Kanonisk ligning av en linje på et plan.

Kanonisk ligning av en linje på et plan i et rektangulært kartesisk koordinatsystem har Oxy formen , hvor og er noen reelle tall, og samtidig er de ikke lik null.

Det er klart at den rette linjen definert av den kanoniske ligningen til linjen går gjennom punktet. På sin side representerer tallene og i nevnerne til brøkene koordinatene til retningsvektoren til denne linjen. Dermed tilsvarer den kanoniske ligningen til en linje i det rektangulære koordinatsystemet Oxy på planet til en linje som går gjennom et punkt og har en retningsvektor.

La oss for eksempel tegne en rett linje på planet som tilsvarer den kanoniske rettlinjeligningen til formen . Det er klart at punktet tilhører linjen, og vektoren er retningsvektoren til denne linjen.

Den kanoniske rettlinjeligningen brukes selv når ett av tallene eller er lik null. I dette tilfellet anses oppføringen som betinget (siden den inneholder en null i nevneren) og skal forstås som . Hvis , tar den kanoniske ligningen formen og definerer en rett linje parallelt med ordinataksen (eller sammenfallende med den). Hvis , så tar den kanoniske ligningen til linjen formen og definerer en rett linje parallelt med x-aksen (eller sammenfallende med den).

Detaljert informasjon om ligningen til en rett linje i kanonisk form, samt detaljerte løsninger på typiske eksempler og problemer, er samlet i artikkelen.

Parametriske ligninger for en linje på et plan.

Parametriske ligninger for en linje på et plan se ut , hvor og er noen reelle tall, og samtidig ikke er lik null, og er en parameter som tar noen reelle verdier.

Parametriske linjeligninger etablerer et implisitt forhold mellom abscissen og ordinatene til punkter på en rett linje ved å bruke en parameter (derav navnet på denne typen linjeligning).

Et tallpar som beregnes ut fra de parametriske ligningene til en linje for en eller annen reell verdi av parameteren, representerer koordinatene til et bestemt punkt på linjen. For eksempel når vi har , det vil si at punktet med koordinater ligger på en rett linje.

Det skal bemerkes at koeffisientene og for parameteren i de parametriske ligningene til en rett linje er koordinatene til retningsvektoren til denne rette linjen.

Hovedspørsmål i forelesningen: likninger av en linje på et plan; ulike former for ligningen til en linje på et plan; vinkel mellom rette linjer; forhold for parallellitet og perpendikularitet av linjer; avstand fra et punkt til en linje; andreordenskurver: sirkel, ellipse, hyperbel, parabel, deres ligninger og geometriske egenskaper; ligninger av et plan og en linje i rommet.

En ligning av formen kalles en ligning av en linje inn generelt syn.

Hvis vi uttrykker det i denne ligningen, får vi etter erstatningen en ligning som kalles ligningen til en rett linje med en vinkelkoeffisient, og hvor er vinkelen mellom den rette linjen og den positive retningen til abscisseaksen. Hvis i generell ligning rett linje, overføre den frie koeffisienten til høyre side og dele på den, får vi en ligning i segmenter

Hvor og er skjæringspunktene for linjen med henholdsvis abscissen og ordinataksen.

To linjer i et plan kalles parallelle hvis de ikke skjærer hverandre.

Linjer kalles perpendikulære hvis de skjærer hverandre i rette vinkler.

La to linjer og bli gitt.

For å finne skjæringspunktet for linjene (hvis de skjærer hverandre), er det nødvendig å løse systemet med disse ligningene. Løsningen på dette systemet vil være skjæringspunktet mellom linjene. La oss finne betingelsene for den relative plasseringen av to linjer.

Siden er vinkelen mellom disse rette linjene funnet av formelen

Fra dette kan vi konkludere at når linjene vil være parallelle, og når de vil være vinkelrette. Hvis linjene er gitt i generell form, så er linjene parallelle under tilstanden og vinkelrette under tilstanden

Avstanden fra et punkt til en rett linje kan bli funnet ved hjelp av formelen

Normal ligning for en sirkel:

En ellipse er det geometriske stedet for punkter på et plan, summen av avstandene til to gitt poeng, kalt foci, er en konstant størrelse.

Den kanoniske ligningen til en ellipse har formen:

hvor er semi-major-aksen, er semi-minor-aksen og. Fokuspunktene er på punktene. Toppene til en ellipse er punktene. Eksentrisiteten til en ellipse er forholdet

En hyperbel er stedet for punkter på et plan, modulen til forskjellen i avstander som til to gitte punkter, kalt foci, er en konstant verdi.

Den kanoniske ligningen til en hyperbel har formen:

hvor er semi-major-aksen, er semi-minor-aksen og. Fokuspunktene er på punktene. Toppunktene til en hyperbel er punktene. Eksentrisiteten til en hyperbel er forholdet

De rette linjene kalles asymptoter til hyperbelen. Hvis, så kalles hyperbelen likesidet.

Fra ligningen får vi et par kryssende linjer og.

En parabel er det geometriske stedet for punkter på et plan, fra hvert av dem avstanden til et gitt punkt, kalt fokus, er lik avstanden til en gitt rett linje, kalt retningslinjen, og er en konstant verdi.

Kanonisk parabelligning

10.1. Grunnleggende konsepter

En linje på et plan betraktes (spesifisert) som et sett med punkter som har en eller annen geometrisk egenskap som bare er iboende for dem. For eksempel er en sirkel med radius R settet av alle punkter i planet som ligger i avstand - R fra et fast punkt O (sentrum av sirkelen).

Innføringen av et koordinatsystem på et plan lar deg bestemme posisjonen til et punkt på planet ved å spesifisere to tall - dets koordinater, og bestemme posisjonen til en linje på planet ved hjelp av en ligning (dvs. en likhet som forbinder koordinatene av punkter på linjen).

Linjeligning(eller kurve) på Oxy-planet er en slik ligning F(x;y) = 0 med to variabler, som tilfredsstilles av x- og y-koordinatene til hvert punkt på linjen og ikke tilfredsstilles av koordinatene til et punkt som ikke ligger på denne linjen.

x- og y-variablene i linjeligningen kalles de nåværende koordinatene til linjepunktene.

Ligningen til en linje gjør at studiet av de geometriske egenskapene til en linje kan erstattes av studiet av ligningen.

Så for å fastslå om punktet A(x 0 ; y 0) ligger på en gitt linje, er det nok å sjekke (uten å ty til geometriske konstruksjoner) om koordinatene til punktet A tilfredsstiller ligningen til denne linjen i den valgte koordinaten system.

Problemet med å finne skjæringspunktene til to linjer, gitt av ligningene F 1 (x 1 ;y 1) = 0 og F 2 (x 2 ;y) = 0, reduseres til å finne punkter hvis koordinater tilfredsstiller likningene til begge linjer, dvs. det er redusert til å løse et system med to ligninger med to ukjente:

Hvis dette systemet ikke har noen reelle løsninger, så krysser ikke linjene hverandre.

Konseptet med ligningen til en linje i et polart koordinatsystem introduseres på lignende måte.

Ligningen F(r; φ)=O kalles ligningen til en gitt linje i det polare koordinatsystemet hvis koordinatene til et punkt som ligger på denne linjen, og bare de, tilfredsstiller denne ligningen.

En linje på et plan kan defineres ved hjelp av to ligninger:

hvor x og y er koordinatene til et vilkårlig punkt M(x; y) som ligger på en gitt linje, og t er en variabel kalt en parameter; parameteren t bestemmer posisjonen til punktet (x; y) på planet.

For eksempel, hvis x = t + 1, y = t 2, tilsvarer verdien av parameteren t = 1 punktet (3; 4) på ​​planet, siden x = 1 + 1 = 3, y = 22 - 4.

Hvis parameteren t endres, beveger punktet på planet seg, som beskriver denne linjen. Denne metoden for å definere en linje kalles parametrisk, og ligninger (10.1) - parametriske ligninger linjer.

For å gå fra parametriske ligninger for en linje til en ligning på formen F(x;y) = 0, er det nødvendig å på en eller annen måte eliminere parameteren t fra de to ligningene.

For eksempel fra ligningene ved å erstatte t = x

inn i den andre ligningen er det lett å få ligningen y = x 2 ; eller y-x 2 = 0, dvs. av formen F(x; y) = 0. Vær imidlertid oppmerksom på at en slik overgang ikke er alltid mulig.

En linje på et plan kan spesifiseres med en vektorligning r =r(t), hvor t er en skalar variabel parameter. Hver verdi t 0 tilsvarer en spesifikk vektor r =r(t) flyet. r =r(t) Når parameteren t endres, vil slutten av vektoren

vil beskrive en bestemt linje (se fig. 31). r =r(t) i Oxy-koordinatsystemet tilsvarer det to skalarlikninger (10.1), dvs. likningene av projeksjoner på koordinataksene til vektorligningen til en linje er dens parametriske ligninger. I Vektorligningen og de parametriske ligningene til I-linjen har en mekanisk betydning. Hvis et punkt beveger seg på et plan, kalles de indikerte ligningene bevegelsesligninger, og linjen kalles punktets bane parameteren t er tid. Så en hvilken som helst linje på planet tilsvarer en ligning på formen F(x; y) = 0.

Til enhver ligning av formen F(x; y) = 0 tilsvarer det, generelt sett, en viss linje, hvis egenskaper bestemmes av denne ligningen (uttrykket "generelt sett" betyr at ovennevnte tillater unntak. ligning (x-2) 2 + (y- 3) 2 =0 tilsvarer ikke linjen, men til punktet (2; 3); på flyet).

I analytisk geometri på planet oppstår to hovedproblemer. For det første: å kjenne til de geometriske egenskapene til kurven, finn dens ligning) for det andre: å kjenne til ligningen til kurven, studere dens form og egenskaper.

Figurene 32-40 viser eksempler på noen kurver og deres ligninger.

10.2. Ligninger av en linje på et plan

Den enkleste av linjer er en rett linje. På forskjellige måter rette linjetilordninger samsvarer i et rektangulært koordinatsystem forskjellige typer ligningene hennes.

Ligning av en rett linje med helning

La en vilkårlig rett linje gis på Oxy-planet, ikke parallelt med aksenÅh.

Dens posisjon er fullstendig bestemt av ordinaten b til punktet N(0; b) i skjæringspunktet med Oy-aksen og vinkelen a mellom Ox-aksen og den rette linjen (se fig. 41).

I en vinkel a (0

Fra definisjonen av tangenten til en vinkel følger det at

(10.2)

La oss introdusere notasjonen tg a=k , vi får ligningen

som er tilfredsstilt av koordinatene til ethvert punkt M(x;y) på linjen. Du kan forsikre deg om at koordinatene til ethvert punkt P(x;y) som ligger utenfor denne linjen ikke tilfredsstiller ligning (10.2).

Tallet k = tga kalles stigningstallet til linjen, og likning (10.2) er likningen av linjen med stigningstallet.

Hvis en linje går gjennom origo, er b = 0, og derfor vil ligningen til denne linjen ha formen y=kx.

Hvis den rette linjen er parallell med Ox-aksen, så er a = 0, derfor k = tga = 0 og ligning (10.2) har formen y = b. Hvis den rette linjen er parallell med Oy-aksen, mister ligning (10.2) sin betydning, siden vinkelkoeffisienten for den

finnes ikke.

I dette tilfellet vil linjens ligning ha formen Hvor- abscisse av skjæringspunktet mellom den rette linjen og okseaksen. Merk at likningene (10.2) og (10.3) er likninger av første grad.

Generell ligning for en rett linje.

La oss vurdere en førstegradsligning for x og y i generell form

(10.4)

hvor A, B, C er vilkårlige tall, og A og B ikke er lik null på samme tid.

La oss vise at likning (10.4) er likningen til en rett linje. Det er to mulige tilfeller.

Hvis B = 0, så har ligning (10.4) formen Ax + C = O, og A ¹ 0, dvs.

Dette er ligningen av en rett linje parallelt med Oy-aksen og som går gjennom punktet Hvis B ¹ 0, får vi fra ligning (10.4). |.

. Dette er ligningen av en rett linje med en vinkelkoeffisient.

Så, ligning (10.4) er ligningen til en rett linje, kalles den

generell likning av linjen

Noen spesielle tilfeller av den generelle ligningen til en linje:

1) hvis A = 0, reduseres ligningen til formen.

Dette er ligningen til en rett linje parallelt med okseaksen;

2) hvis B = 0, så er den rette linjen parallell med Oy-aksen;

(10.5)

3) hvis C = 0, får vi . Ligningen er tilfredsstilt av koordinatene til punktet O(0;0), den rette linjen går gjennom origo.

Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt i en gitt retning

La en rett linje passere gjennom et punkt og retningen bestemmes av helningen k. Ligningen til denne linjen kan skrives på formen , hvor b er en foreløpig ukjent mengde. Siden linjen går gjennom punktet, tilfredsstiller koordinatene til punktet linjens ligning:.

(10.6)

Herfra.

Ved å erstatte verdien av b i ligningen får vi den ønskede ligningen til linjen: , dvs. Ligning (10.5) med forskjellige verdier av k kalles også ligningene til en blyant av linjer med et senter i punktet. Fra denne blyanten er det umulig å bestemme bare en rett linje parallelt med Oy-aksen.

(10.7)

Ligning av en linje som går gjennom to punkter

La linjen gå gjennom punktene og . Ligningen til linjen som går gjennom punktet M 1 har formen

hvor k er en fortsatt ukjent koeffisient. Siden den rette linjen går gjennom punktet, må koordinatene til dette punktet tilfredsstille ligning (10.6): . Her finner vi den. Ved å erstatte den funnet verdien av k i ligning (10.6), får vi ligningen for den rette linjen som går gjennom punktene

M 1 og M 2.

Det antas at i denne ligningen

Hvis x 2 = x 1 er en rett linje som går gjennom punktene og parallelt med ordinaten. Dens ligning ser ut som . ligning av en rett linje i segmenter, siden tallene α og b indikerer hvilke segmenter den rette linjen avskjærer på koordinataksene.

Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor

La oss finne ligningen til en rett linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor som ikke er null.

La oss ta et vilkårlig punkt M(x;y) på linjen og vurdere vektoren (se fig. 43).

Siden vektorene og er vinkelrette, er deres skalarprodukt lik null: , altså Ligning (10.8) kalles

likning av en rett linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor.

(10.9)

En vektor vinkelrett på en linje kalles normalvektoren til denne linjen. Ligning (10.8) kan skrives om som

hvor A og B er koordinatene til normalvektoren, og er frileddet.

Ligning (10.9) er den generelle ligningen for en rett linje (se (10.4)). Polar ligning av en linje La oss finne ligningen til en rett linje i polare koordinater. Posisjonen kan bestemmes ved å angi avstanden ρ fra polen O til en gitt rett linje og vinkelen α mellom polaraksen OP og aksen

l

, som går gjennom polen O vinkelrett på denne linjen (se fig. 44).

For ethvert punkt på en gitt linje har vi:

(10.10)

På den andre siden,

Derfor,

Den resulterende ligningen (10.10) er ligningen til en rett linje i polare koordinater.

Normal ligning av en linje

(10.11)

La den rette linjen bestemmes ved å spesifisere p og α (se fig. 45). Tenk på et rektangulært koordinatsystem. La oss introdusere polarsystemet, ta polen og polaraksen. Ligningen til en rett linje kan skrives som Men på grunn av formlene som forbinder rektangulære og polare koordinater, har vi: , . Følgelig har ligningen (10.10) av en rett linje i et rektangulært koordinatsystem formen.

Ligning (10.11) kalles

normal ligning av en linje La oss vise hvordan vi reduserer likning (10.4) av en rett linje til formen (10.11). La oss multiplisere alle ledd i ligningen (10.4) med en eller annen faktor. Vi får det. Denne ligningen skal bli til ligning (10.11). Derfor må likestillingene tilfredsstilles: , , . Fra de to første likhetene finner vi, d.v.s. e.

.

Faktoren λ kalles normaliserende faktor)=0. (2.1)

Et tallpar som tilfredsstiller (2.1) er ikke vilkårlig: if X gitt, da på kan ikke være noe, mening på assosiert med X. Ved endring X endringer på, og et punkt med koordinater ( x,y) beskriver denne linjen. Hvis koordinatene til punktet M 0 ( X 0 ,på 0) tilfredsstille ligning (2.1), dvs. F( X 0 ,på 0)=0 er en sann likhet, så ligger punktet M 0 på denne linjen. Det motsatte er også sant.

Definisjon. En ligning av en linje på et plan er en ligning som er tilfredsstilt av koordinatene til et hvilket som helst punkt som ligger på denne linjen, og ikke tilfredsstilt av koordinatene til punktene som ikke ligger på denne linjen.

Hvis ligningen til en viss linje er kjent, kan studiet av de geometriske egenskapene til denne linjen reduseres til studiet av ligningen - dette er en av hovedideene til analytisk geometri. For å studere ligninger finnes det velutviklede metoder for matematisk analyse som forenkler studiet av linjers egenskaper.

Når man vurderer linjer, brukes begrepet nåværende punkt linje – variabelt punkt M( x,y), beveger seg langs denne linjen. Koordinater X Og på nåværende punkt kalles nåværende koordinater linjepunkter.

Hvis fra ligning (2.1) kan vi uttrykke eksplisitt på
gjennom X, det vil si skriv ligning (2.1) på formen , så kalles kurven definert av en slik ligning rute funksjoner f(x).

1. Ligningen er gitt: , eller . Hvis X tar vilkårlige verdier, da på tar verdier lik X. Følgelig består linjen definert av denne ligningen av punkter like langt fra koordinataksene Ox og Oy - dette er halveringslinjen til koordinatvinklene I–III (rett linje i fig. 2.1).

Ligningen, eller, bestemmer halveringslinjen til II–IV-koordinatvinklene (rett linje i fig. 2.1).

0 x 0 x C 0 x

ris. 2.1 fig. 2.2 fig. 2.3

2. Ligningen er gitt: , hvor C er en konstant. Denne ligningen kan skrives annerledes: . Denne ligningen er tilfredsstilt av disse og bare disse punktene, ordinatene på som er lik C for enhver abscisseverdi X. Disse punktene ligger på en rett linje parallelt med Ox-aksen (fig. 2.2). På samme måte definerer ligningen en rett linje parallelt med Oy-aksen (fig. 2.3).

Ikke hver ligning på formen F( normaliserende faktor)=0 definerer en linje på planet: ligningen er tilfredsstilt med et enkelt punkt – O(0,0), og ligningen er ikke tilfredsstilt av noe punkt på planet.

I eksemplene som er gitt, brukte vi en gitt ligning for å konstruere en linje bestemt av denne ligningen. La oss vurdere det omvendte problemet: konstruer ligningen ved hjelp av en gitt linje.

3. Lag en ligning for en sirkel med sentrum i punktet P( a,b) Og
radius R .

○ En sirkel med sentrum i punktet P og radius R er et sett med punkter plassert i en avstand R fra punktet P. Dette betyr at for ethvert punkt M som ligger på sirkelen, er MP = R, men hvis punktet M ikke ligger på sirkelen, deretter MP ≠ R.. ●

I det forrige materialet undersøkte vi hovedpunktene angående emnet for en rett linje på et plan. La oss nå gå videre til å studere likningen til en rett linje: la oss vurdere hvilken likning som kan kalles likningen til en rett linje, samt hvilken form likningen til en rett linje har på et plan.

Bestemme ligningen til en rett linje på et plan

La oss anta at det er en rett linje, som er spesifisert i et rektangulært kartesisk koordinatsystem O x y.

Definisjon 1

Rett linje er en geometrisk figur som består av punkter. Hvert punkt har sine egne koordinater langs abscissen og ordinataksene. En ligning som beskriver avhengigheten av koordinatene til hvert punkt på en linje i det kartesiske systemet O x y kalles ligningen til en linje på et plan.

Faktisk er ligningen til en linje på et plan en ligning med to variabler, som er betegnet som x og y. Ligningen blir til en identitet når verdiene til noen av punktene på den rette linjen erstattes med den.

La oss se hvordan ligningen til en rett linje på et plan vil se ut. Hele den neste delen av artikkelen vår vil bli viet til dette. Merk at det er flere alternativer for å skrive ligningen til en rett linje. Dette forklares av tilstedeværelsen av flere måter å definere en rett linje på et plan, og også av de forskjellige spesifikasjonene til oppgavene.

La oss bli kjent med teoremet, som spesifiserer formen til ligningen til en rett linje på et plan i det kartesiske koordinatsystemet O x y.

Teorem 1

En ligning av formen A x + B y + C = 0, hvor x og y er variabler, og A, B og C er noen reelle tall, hvorav A og B ikke er lik null, definerer en rett linje i Kartesisk koordinatsystem O x y. På sin side kan enhver rett linje på planet spesifiseres med en ligning av formen A x + B y + C = 0.

Dermed har den generelle ligningen for en rett linje på et plan formen A x + B y + C = 0.

La oss forklare noen viktige aspekter ved emnet.

Eksempel 1

Se på bildet.

Linjen på tegningen bestemmes av en ligning på formen 2 x + 3 y - 2 = 0, siden koordinatene til ethvert punkt som utgjør denne linjen, tilfredsstiller den gitte ligningen. Samtidig gir et visst antall punkter på planet, definert av ligningen 2 x + 3 y - 2 = 0, oss den rette linjen som vi ser i figuren.

Den generelle ligningen til en linje kan være fullstendig eller ufullstendig. I den komplette ligningen er alle tallene A, B og C ikke-null. I alle andre tilfeller anses ligningen som ufullstendig. En ligning av formen A x + B y = 0 definerer en rett linje som går gjennom origo. Hvis A er lik null, spesifiserer ligningen A x + B y + C = 0 en rett linje parallelt med abscisseaksen O x. Hvis B er lik null, er linjen parallell med ordinataksen O y.

Konklusjon: for et visst sett med verdier av tallene A, B og C, ved å bruke den generelle ligningen til en rett linje, kan du skrive ned en hvilken som helst rett linje på et plan i det rektangulære koordinatsystemet O x y.

En linje definert av en ligning av formen A x + B y + C = 0 har en normal linjevektor med koordinatene A, B.

Alle de gitte linjelikningene, som vi vil vurdere nedenfor, kan fås fra den generelle ligningen til en linje. Den omvendte prosessen er også mulig når enhver av ligningene som vurderes kan reduseres til den generelle ligningen for den rette linjen.

Du kan forstå alle nyansene til emnet i artikkelen "Generell ligning av en rett linje." I materialet gir vi et bevis på teoremet med grafiske illustrasjoner og detaljert analyse av eksempler. Spesiell oppmerksomhet i artikkelen rettes mot overganger fra den generelle likningen av en linje til likninger av andre typer og omvendt.

Ligningen til en rett linje i segmenter har formen x a + y b = 1, der a og b er noen reelle tall som ikke er lik null. De absolutte verdiene til tallene a og b er lik lengden på segmentene som er avskåret av en rett linje på koordinataksene. Lengden på segmentene måles fra origo.

Takket være ligningen kan du enkelt tegne en rett linje i tegningen. For å gjøre dette må du markere punktene a, 0 og 0, b i et rektangulært koordinatsystem, og deretter koble dem med en rett linje.

Eksempel 2

La oss konstruere en rett linje, som er gitt av formelen x 3 + y - 5 2 = 1. Vi markerer to punkter på grafen 3, 0, 0, - 5 2, og kobler dem sammen.

Disse ligningene, som har formen y = k · x + b, burde være godt kjent for oss fra algebraforløpet. Her er x og y variabler, k og b er noen reelle tall, hvorav k representerer helningen. I disse ligningene er variabelen y en funksjon av argumentet x.

La oss definere vinkelkoeffisienten ved å bestemme helningsvinkelen til den rette linjen til den positive retningen til O x-aksen.

Definisjon 2

For å betegne helningsvinkelen til den rette linjen til den positive retningen til O x-aksen i det kartesiske koordinatsystemet, introduserer vi verdien av vinkelen α. Vinkelen måles fra den positive retningen av x-aksen til den rette linjen mot klokken. Vinkel α regnes som lik null hvis linjen er parallell med O x-aksen eller sammenfaller med den.

Helningen til en linje er tangenten til helningsvinkelen til denne linjen. Dette skrives som følger: k = t g α. For en rett linje som er parallell med O y-aksen eller sammenfaller med den, er det ikke mulig å skrive ligningen til den rette linjen med en vinkelkoeffisient, siden vinkelkoeffisienten i dette tilfellet blir til uendelig (finnes ikke).

Den rette linjen, som er gitt av ligningen y = k x + b, går gjennom punktet 0, b på ordinaten. Dette betyr at ligningen til en rett linje med en vinkelkoeffisient y = k x + b definerer en rett linje på planet som går gjennom punktet 0, b og danner en vinkel α med den positive retningen til O x-aksen, og k = t g α.

Eksempel 3

La oss tegne en rett linje, som bestemmes av en ligning på formen y = 3 · x - 1.

Denne linjen må gå gjennom punktet (0, - 1). Hellingsvinkelen α = a r c t g 3 = π 3 er lik 60 grader til den positive retningen til O x-aksen. Hellingen er 3

Vær oppmerksom på at ved å bruke ligningen til en rett linje med en helningskoeffisient er det veldig praktisk å søke etter ligningen til en tangent til grafen til en funksjon i et punkt.

Mer materiale om emnet kan bli funnet i artikkelen "Equation of a Line with an Angle Coefficient." I tillegg til teorien er det et stort antall grafiske eksempler og en detaljert problemanalyse.

Denne typen likninger har formen x - x 1 a x = y - y 1 a y, hvor x 1, y 1, a x, a y er noen reelle tall, hvorav a x og a y ikke er lik null.

En rett linje, definert av den kanoniske ligningen til en linje, går gjennom punktet M 1 (x 1, y 1). Tallene a x og a y i nevnerne til brøkene representerer koordinatene til retningsvektoren til den rette linjen. Dette betyr at den kanoniske ligningen til en rett linje x - x 1 a x = y - y 1 a y i det kartesiske koordinatsystemet O x y tilsvarer en linje som går gjennom punktet M 1 (x 1, y 1) og har en retningsvektor a → = (a x, a y) .

Eksempel 4

La oss tegne en rett linje i O x y koordinatsystemet, som er gitt av ligningen x - 2 3 = y - 3 1. Punkt M 1 (2, 3) tilhører den rette linjen, vektor a → (3, 1) er retningsvektoren til denne rette linjen.

Den kanoniske rette linjelikningen av formen x - x 1 a x = y - y 1 a y kan brukes i tilfeller hvor a x eller a y er lik null. Tilstedeværelsen av en null i nevneren gjør oppføringen x - x 1 a x = y - y 1 a y betinget. Ligningen kan skrives slik: a y (x - x 1) = a x (y - y 1) .

I tilfellet når a x = 0, har den kanoniske ligningen til en linje formen x - x 1 0 = y - y 1 a y og spesifiserer en rett linje som er parallell med ordinataksen eller sammenfaller med denne aksen.

Den kanoniske ligningen for en rett linje, forutsatt at a y = 0, har formen x - x 1 a x = y - y 1 0. Denne ligningen definerer en rett linje plassert parallelt med eller sammenfallende med x-aksen.

Se mer materiale om temaet den kanoniske linjens ligning her. I artikkelen gir vi en rekke løsninger på problemer, samt en rekke eksempler som lar deg mestre emnet bedre.

Parametriske ligninger for en linje på et plan

Disse ligningene har formen x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ, hvor x 1, y 1, a x, a y er noen reelle tall, hvorav a x og a y ikke kan være lik null. tid. En ekstra parameter λ er introdusert i formelen, som kan ha en hvilken som helst reell verdi.

Hensikten med en parametrisk ligning er å etablere implisitte forhold mellom koordinatene til punkter på en rett linje. Dette er grunnen til at parameteren λ introduseres.

Tallene x, y representerer koordinatene til et punkt på linjen. De beregnes ved å bruke de parametriske ligningene til linjen for en viss reell verdi av parameteren λ.

Eksempel 5

La oss anta at λ = 0.

Da hører x = x 1 + a x 0 y = y 1 + a y 0 ⇔ x = x 1 y = y 1, dvs. punktet med koordinater (x 1, y 1) tilhører linjen.

Vi gjør oppmerksom på at koeffisientene a x og a y for parameteren λ i denne typen ligninger representerer koordinatene til retningsvektoren til den rette linjen.

Eksempel 6

La oss vurdere parametriske ligninger av en rett linje av formen x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ. Den rette linjen definert av ligningene i det kartesiske koordinatsystemet går gjennom punktet (x 1, y 1) og har en retningsvektor a → = (3, 1).

Finn mer informasjon i artikkelen "Parametriske ligninger for en linje på et plan."

Normalligningen til en linje har formen A x + B y + C = 0, hvor tallene A, B og C er slik at lengden på vektoren n → = (A, B) er lik én, og C ≤ 0.

Normalvektoren til en linje definert av normalligningen til en linje i et rektangulært koordinatsystem O x y er vektoren n → = (A, B). Denne linjen passerer i en avstand C fra origo i retning av vektoren n → = (A, B).

En annen måte å skrive normalligningen til en rett linje på er cos α x + cos β y - p = 0, der cos α og cos β er to reelle tall som representerer retningen cosinus til en normallinjevektor med lengdeenhet. Dette betyr at n → = (cos α, cos β), likheten n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 er sann, verdien p ≥ 0 og er lik avstanden fra origo til den rette linjen.

Eksempel 7

Tenk på den generelle ligningen til linjen - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0. Denne generelle ligningen av en linje er en normal ligning av en linje, siden n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 og C = - 3 ≤ 0.

Ligningen definerer en rett linje i det kartesiske koordinatsystemet 0xy, hvor normalvektoren har koordinater - 1 2, 3 2. Linjen fjernes fra origo med 3 enheter i retning av normalvektoren n → = - 1 2, 3 2.

Vi gjør oppmerksom på det faktum at normalligningen til en linje på et plan lar deg finne avstanden fra et punkt til en linje på et plan.

Hvis i den generelle ligningen til linjen A x + B y + C = 0 tallene A, B og C er slik at ligningen A x + B y + C = 0 ikke er en normal ligning for linjen, så kan det reduseres til normal form. Les mer om dette i artikkelen "Normal likning av en linje."

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter