Integrasjon av en brøk-rasjonell funksjon. Metode for ubestemte koeffisienter. Integrasjon av enkleste (elementære) brøker Integrasjon av enkleste brøker 1 3 typer

Som vi vil se nedenfor, har ikke alle elementære funksjoner et integral uttrykt i elementære funksjoner. Derfor er det veldig viktig å identifisere klasser av funksjoner hvis integraler uttrykkes gjennom elementære funksjoner. Den enkleste av disse klassene er klassen av rasjonelle funksjoner.

Enhver rasjonell funksjon kan representeres som en rasjonell brøk, det vil si som et forhold mellom to polynomer:

Uten å begrense generaliteten til argumentet, vil vi anta at polynomene ikke har felles røtter.

Hvis graden av telleren er lavere enn graden av nevneren, kalles brøken egen, ellers kalles brøken uegentlig.

Hvis brøken er uekte, kan du ved å dele telleren med nevneren (i henhold til regelen for å dele polynomer), representere denne brøken som summen av et polynom og en egen brøk:

her er et polynom, og a er en egenbrøk.

Eksempel t. La en upassende rasjonell brøk gis

Ved å dele telleren med nevneren (ved å bruke regelen for å dele polynomer), får vi

Siden integrering av polynomer ikke er vanskelig, er den største vanskeligheten med å integrere rasjonelle brøker å integrere riktige rasjonelle brøker.

Definisjon. Riktige rasjonelle fraksjoner av formen

kalles enkle brøker av type I, II, III og IV.

Integrering av de enkleste brøkene av typene I, II og III er ikke veldig vanskelig, så vi vil utføre integreringen deres uten ytterligere forklaring:

Mer komplekse beregninger krever integrasjon av enkle fraksjoner av type IV. La oss få en integral av denne typen:

La oss gjøre transformasjonene:

Den første integralen tas ved substitusjon

Det andre integralet - vi betegner det ved å skrive det i formen

Ved antagelse er røttene til nevneren komplekse, og derfor fortsetter vi som følger:

La oss transformere integralet:

Integrering av deler har vi

Ved å erstatte dette uttrykket med likhet (1), får vi

Høyre side inneholder et integral av samme type som, men eksponenten for nevneren til integranden er en lavere; derfor uttrykte vi det gjennom . Fortsetter vi langs samme vei, når vi det velkjente integralet.

Før du begynner å integrere enkle brøker for å finne det ubestemte integralet til en brøkrasjonell funksjon, anbefales det å friske opp avsnittet "Dekomponere brøker til enkle."

Eksempel 1

La oss finne det ubestemte integralet ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x .

Løsning

La oss velge hele delen ved å dele polynomet med polynomet med en kolonne, og ta hensyn til det faktum at graden av telleren til integranden er lik graden av nevneren:

Derfor 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x. Vi har fått riktig rasjonell brøk - 2 x + 3 x 3 + x, som vi nå skal dekomponere til enkle brøker - 2 x + 3 x 3 + x = 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. Derfor,

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x

Vi har fått integralet til den enkleste brøkdelen av den tredje typen. Du kan ta den ved å plassere den under differensialtegnet.

Siden d x 2 + 1 = 2 x d x, så er 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1. Derfor
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ d x x 2 + 1 = 3 2 ln x 2 + 1 + 2 a r c t g x + C 1

Derfor,
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x + C hvor C = - C1

La oss beskrive metoder for å integrere enkle brøker av hver av de fire typene.

Integrasjon av enkle brøker av den første typen A x - a

For å løse dette problemet bruker vi den direkte integreringsmetoden:

∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C

Eksempel 2

Finn settet med antideriverte av funksjonen y = 3 2 x - 1 .

Løsning

Ved å bruke integrasjonsregelen, egenskapene til antideriverten og tabellen over antideriverte finner vi den ubestemte integralen ∫ 3 d x 2 x - 1: ∫ f k · x + b d x = 1 k · F k · x + b + C

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Svar: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Integrasjon av enkle brøker av den andre typen A x - a n

Den direkte integreringsmetoden kan også brukes her: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

Eksempel 3

Det er nødvendig å finne det ubestemte integralet ∫ d x 2 x - 3 7 .

Løsning

∫ d x 2 x - 3 7 = ∫ d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 · - 6 · x - 3 2 6 + C = = 1 2 · - 6 · 2 6 · x - 3 2 6 + C = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Svar:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Integrasjon av de enkleste brøkene av den tredje typen M x + N x 2 + p x + q, D = p 2 - 4 q< 0

Det første trinnet er å presentere det ubestemte integralet ∫ M x + N x 2 + p x + q som en sum:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

For å ta det første integralet bruker vi metoden for å subsumere differensialtegnet:

∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q - p d x ⇒ M x d x = M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Derfor,
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Vi fikk integralet ∫ d x x 2 + p x + q . La oss forvandle nevneren:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Derfor,

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 · 2 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Formelen for å integrere enkle brøker av den tredje typen har formen:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

Eksempel 4

Det er nødvendig å finne det ubestemte integralet ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x .

Løsning

La oss bruke formelen:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Den andre løsningen ser slik ut:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 10 = = konvertibel verdi = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Svar: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Integrasjon av de enkleste brøkene av den fjerde typen M x + N (x 2 + p x + q) n, D = p 2 - 4 q< 0

Først av alt utfører vi subtraksjonen av differensialtegnet:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q) ) n + N - p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ d x ( x 2 + p x + q) n

Så finner vi et integral av formen J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n ved å bruke gjentakelsesformler. Informasjon om gjentaksformler finner du i emnet "Integrasjon ved hjelp av gjentaksformler."

For å løse problemet vårt, en tilbakevendende formel av formen J n = 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 4 q er passende - p 2 · J n - 1 .

Eksempel 5

Det er nødvendig å finne det ubestemte integralet ∫ d x x 5 x 2 - 1 .

Løsning

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

Vi vil bruke substitusjonsmetoden for denne typen integrand. La oss introdusere en ny variabel x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x

Vi får:

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = ∫ d z (z 2 + 1) 3

Vi kom til å finne integralet til en brøkdel av den fjerde typen. I vårt tilfelle har vi koeffisienter M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 og n = 3. Vi bruker den tilbakevendende formelen:

J 3 = ∫ d z (z 2 + 1) 3 = 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 · 1 - 0 · ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) · (4 · 1 - 0) · (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) +C

Etter omvendt erstatning z = x 2 - 1 får vi resultatet:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Svar:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Brøken kalles riktig, hvis den høyeste graden av telleren er mindre enn den høyeste graden av nevneren. Integralet til en riktig rasjonell brøk har formen:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Formelen for å integrere rasjonelle brøker avhenger av røttene til polynomet i nevneren. Hvis polynomet $ ax^2+bx+c $ har:

1. Bare komplekse røtter, da er det nødvendig å trekke ut et komplett kvadrat fra det: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Forskjellige reelle røtter $ x_1 $ og $ x_2 $, så må du utvide integralet og finne de ubestemte koeffisientene $ A $ og $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. En multiplum rot $ x_1 $, så utvider vi integralet og finner de ubestemte koeffisientene $ A $ og $ B $ for følgende formel: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Hvis brøken er feil, det vil si at den høyeste graden i telleren er større enn eller lik den høyeste graden av nevneren, så må den først reduseres til riktig dannes ved å dele polynomet fra telleren med polynomet fra nevneren. I dette tilfellet har formelen for å integrere en rasjonell brøk formen:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Eksempler på løsninger

Eksempel 1

Finn integralet til den rasjonelle brøken: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Løsning

Brøken er egen og polynomet har bare komplekse røtter. Derfor velger vi en komplett firkant: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Vi bretter en hel firkant og legger den under differensialtegnet $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Ved å bruke tabellen over integraler får vi: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Hvis du ikke kan løse problemet, send det til oss. Vi vil gi en detaljert løsning. Du vil kunne se fremdriften til beregningen og få informasjon. Dette vil hjelpe deg med å få karakteren din fra læreren din i tide!

Svar

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

Eksempel 2

Utfør integrasjon av rasjonelle brøker: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Løsning

La oss løse den kvadratiske ligningen: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Vi skriver ned røttene: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Med tanke på de oppnådde røttene, transformerer vi integralet: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Vi utfører utvidelsen av en rasjonell brøk: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Vi setter likhetstegn mellom tellerne og finner koeffisientene $ A $ og $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(cases) A+ B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(cases) $$ $$ \begin(cases) A ​​​​= \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(cases) $$ Vi erstatter de funnet koeffisientene i integralet og løser det: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Svar

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Eksempler på integrering av rasjonelle funksjoner (brøker) med detaljløsninger vurderes.

Innhold

Se også: Røttene til en andregradsligning

Her gir vi detaljerte løsninger på tre eksempler på integrering av følgende rasjonelle brøker:
, , .

Eksempel 1

Regn ut integralet:
.

Her, under integrertegnet, er det en rasjonell funksjon, siden integranden er en brøkdel av polynomer. Nevner polynom grad ( 3 ) er mindre enn graden av tellerpolynomet ( 4 ). Derfor må du først velge hele delen av brøken.

1. La oss velge hele delen av brøken. Del x 4 av x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Herfra
.

2. La oss faktorisere nevneren til brøken. For å gjøre dette må du løse kubikkligningen:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
La oss erstatte x = 1 :
.

1 . dividere med x - 1 :

Herfra
.
Løse en andregradsligning.
.
Røttene til ligningen er: , .
Deretter
.

3. La oss bryte ned brøken til sin enkleste form.

.

Så vi fant:
.
La oss integrere.

Eksempel 2

Regn ut integralet:
.

Her er telleren av brøken et polynom med grad null ( 1 = x 0). Nevneren er et polynom av tredje grad. Fordi det 0 < 3 , da er brøken riktig. La oss dele det opp i enkle brøker.

1. La oss faktorisere nevneren til brøken. For å gjøre dette må du løse tredjegradsligningen:
.
La oss anta at den har minst én hel rot. Da er det en divisor av tallet 3 (medlem uten x). Det vil si at hele roten kan være ett av tallene:
1, 3, -1, -3 .
La oss erstatte x = 1 :
.

Så vi har funnet én rot x = 1 . Del x 3 + 2 x - 3 på x - 1 :

Så,
.

Løse den andregradsligningen:
x 2 + x + 3 = 0.
Finn diskriminanten: D = 1 2 - 4 3 = -11. Siden D< 0 , så har ligningen ingen reelle røtter. Dermed fikk vi faktoriseringen av nevneren:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
La oss erstatte x = 1 . Så x - 1 = 0 ,
.

La oss bytte inn (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

La oss sidestille med (2.1) koeffisienter for x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. La oss integrere.
(2.2) .
For å beregne det andre integralet velger vi den deriverte av nevneren i telleren og reduserer nevneren til summen av kvadrater.

;
;
.

Regn ut I 2 .


.
Siden ligningen x 2 + x + 3 = 0 har ingen reelle røtter, da x 2 + x + 3 > 0. Derfor kan modultegnet utelates.

Vi leverer til (2.2) :
.

Eksempel 3

Regn ut integralet:
.

Her under integrertegnet er det en brøkdel av polynomer. Derfor er integranden en rasjonell funksjon. Graden av polynomet i telleren er lik 3 . Graden av polynomet til nevneren til brøken er lik 4 . Fordi det 3 < 4 , da er brøken riktig. Derfor kan det dekomponeres i enkle fraksjoner. Men for å gjøre dette må du faktorisere nevneren.

1. La oss faktorisere nevneren til brøken. For å gjøre dette må du løse fjerdegradsligningen:
.
La oss anta at den har minst én hel rot. Da er det en divisor av tallet 2 (medlem uten x). Det vil si at hele roten kan være ett av tallene:
1, 2, -1, -2 .
La oss erstatte x = -1 :
.

Så vi har funnet én rot x = -1 . dividere med x - (-1) = x + 1:


Så,
.

Nå må vi løse tredjegradsligningen:
.
Hvis vi antar at denne ligningen har en heltallsrot, så er den en divisor av tallet 2 (medlem uten x). Det vil si at hele roten kan være ett av tallene:
1, 2, -1, -2 .
La oss erstatte x = -1 :
.

Så vi fant en annen rot x = -1 . Det ville være mulig, som i forrige tilfelle, å dele polynomet med , men vi vil gruppere begrepene:
.

Siden ligningen x 2 + 2 = 0 har ingen reelle røtter, så får vi faktoriseringen av nevneren:
.

2. La oss bryte ned brøken til sin enkleste form. Vi ser etter en utvidelse i formen:
.
Vi kvitter oss med nevneren til brøken, ganger med (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
La oss erstatte x = -1 . Deretter x + 1 = 0 ,
.

La oss skille (3.1) :

;

.
La oss erstatte x = -1 og ta hensyn til at x + 1 = 0 :
;
; .

La oss bytte inn (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

La oss sidestille med (3.1) koeffisienter for x 3 :
;
1 = B + C;
.

Så vi har funnet nedbrytningen til enkle brøker:
.

3. La oss integrere.


.

Se også:

Utledningen av formler for å beregne integraler av de enkleste, elementære, brøkene av fire typer er gitt. Mer komplekse integraler, fra brøker av den fjerde typen, beregnes ved å bruke reduksjonsformelen. Et eksempel på å integrere en brøkdel av den fjerde typen er vurdert.

Innhold

Se også: Tabell over ubestemte integraler
Metoder for å beregne ubestemte integraler

Som kjent kan enhver rasjonell funksjon av en variabel x dekomponeres til et polynom og de enkleste elementære brøkene. Det er fire typer enkle brøker:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Her er a, A, B, b, c reelle tall. Ligning x 2 + bx + c = 0 har ingen reelle røtter.

Integrasjon av fraksjoner av de to første typene

Integrering av de to første brøkene gjøres ved å bruke følgende formler fra tabellen over integraler:
,
, n ≠ - 1 .

1. Integrering av fraksjoner av den første typen

En brøkdel av den første typen reduseres til en tabellintegral ved substitusjon t = x - a:
.

2. Integrasjon av fraksjoner av den andre typen

Brøkdelen av den andre typen reduseres til en tabellintegral med samme substitusjon t = x - a:

.

3. Integrasjon av brøker av den tredje typen

La oss vurdere integralet av en brøkdel av den tredje typen:
.
Vi vil beregne det i to trinn.

3.1. Trinn 1. Velg den deriverte av nevneren i telleren

La oss isolere den deriverte av nevneren i telleren av brøken. La oss betegne: u = x 2 + bx + c. La oss skille: u′ = 2 x + b. Deretter
;
.
Men
.
Vi har utelatt modultegnet fordi .

Deretter:
,
Hvor
.

3.2. Trinn 2. Beregn integralet med A = 0, B = 1

Nå beregner vi gjenværende integral:
.

Vi bringer nevneren til brøken til summen av kvadrater:
,
Hvor .
Vi tror at ligningen x 2 + bx + c = 0 har ingen røtter. Derfor .

La oss gjøre en erstatning
,
.
.

Så,
.

Dermed fant vi integralet av en brøkdel av den tredje typen:

,
Hvor .

4. Integrasjon av brøker av den fjerde typen

Og til slutt, vurder integralet av en brøkdel av den fjerde typen:
.
Vi beregner det i tre trinn.

4.1) Velg den deriverte av nevneren i telleren:
.

4.2) Regn ut integralet
.

4.3) Beregn integraler
,
ved å bruke reduksjonsformelen:
.

4.1. Trinn 1. Isolere den deriverte av nevneren i telleren

La oss isolere den deriverte av nevneren i telleren, slik vi gjorde i . La oss betegne u = x 2 + bx + c. La oss skille: u′ = 2 x + b. Deretter
.

.
Men
.

Endelig har vi:
.

4.2. Trinn 2. Regn ut integralet med n = 1

Regn ut integralet
.
Beregningen er skissert i .

4.3. Trinn 3. Utledning av reduksjonsformelen

Vurder nå integralen
.

Vi reduserer det kvadratiske trinomiet til summen av kvadrater:
.
Her .
La oss gjøre en erstatning.
.
.

Vi utfører transformasjoner og integrerer i deler.




.

Multipliser med 2(n - 1):
.
La oss gå tilbake til x og I n.
,
;
;
.

Så for jeg fikk vi reduksjonsformelen:
.
Ved å bruke denne formelen konsekvent reduserer vi integralet I n til I 1 .

Eksempel

Beregn integral

1. La oss isolere den deriverte av nevneren i telleren.
;
;


.
Her
.

2. Vi beregner integralet av den enkleste brøken.

.

3. Vi bruker reduksjonsformelen:

for integralen.
I vårt tilfelle b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Vi skriver ut denne formelen for n = 2 og n = 3 :
;
.
Herfra

.

Endelig har vi:

.
Finn koeffisienten for.
.

Se også: