Planet som en algebraisk overflate av første orden. Algebraiske overflater av første orden. §2. Sylindriske flater med generatriser parallelle med en av koordinataksene

I verdensrommet studerer analytisk geometri overflater som er bestemt i rektangulære kartesiske koordinater av algebraiske ligninger først, andre osv. grader i forhold til X,Y,Z:

Axe+By+Cz+D=0 (1)

ENx²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)

og så videre. Rekkefølgen til en ligning kalles rekkefølgen på overflaten den definerer. Vi har allerede sett at ligningen første orden(lineær) (1) spesifiserer alltid flyet er den eneste førsteordens overflaten. Det er allerede mange andreordens overflater. La oss se på de viktigste av dem.

§2. Sylindriske flater med generatriser parallelle med en av koordinataksene.

La for eksempel en viss linje L gis i XОY-planet, dens ligning er F(x,y)=0 (1) . Deretter danner settet med rette linjer parallelt med oz-aksen (generatorer) og som går gjennom punkter på L en overflate S kalt sylindrisk overflate.

La oss vise at ligning (1), som ikke inneholder variabelen z, er ligningen til denne sylindriske overflaten S. Ta et vilkårlig punkt M(x,y,z) som tilhører S. La generatrisen som går gjennom M skjære L ved punkt N. Punkt N har koordinater N(x,y,0), de tilfredsstiller ligning (1), fordi (·)N tilhører L. Men da tilfredsstiller også koordinatene (x,y,z,) (1), fordi den inneholder ikke z. Dette betyr at koordinatene til ethvert punkt på den sylindriske overflaten S tilfredsstiller ligning (1). Dette betyr at F(x,y)=0 er ligningen til denne sylindriske overflaten. Kurve L kalles guide (kurve) sylindrisk overflate. Merk at i romsystemet skal L generelt gis av to ligninger F(x,y)=0, z=0, som en skjæringslinje.

Eksempler:

Guidene i howe-planet er ellipse, parabel, hyperbel. Det er klart at ligningene F=(y,z)=0 og F(x,z)=0 definerer henholdsvis sylindriske overflater med generatorer parallelle med OX- og OY-aksene. Guidene deres ligger i henholdsvis YOZ- og XOZ-flyene.

Kommentar. En sylindrisk overflate er ikke nødvendigvis en annenordens overflate. For eksempel er det en sylindrisk overflate av 3. orden, og ligningen y=sin(x) spesifiserer en sinusformet sylinder, som ingen rekkefølge er tilordnet; dette er ikke en algebraisk overflate i det hele tatt.

§3. Ligning av en revolusjonsflate.

Noen 2. ordens overflater er overflater av revolusjon. La en eller annen kurve L F(y,z)=0(1) ligge i YOZ-planet. La oss finne ut hva ligningen til overflaten S vil være, dannet ved å rotere kurven (1) rundt oz-aksen.

La oss ta et vilkårlig punkt M(x,y,z) på overflaten S. Den kan betraktes som hentet fra (.) N som tilhører L, da er applikatene til punktene M og N like (=z). Ordinaten til punktet N er her rotasjonsradiusen, fordi .Men C(0,0,z) og pga. . Men punktet N ligger på kurven og derfor tilfredsstiller koordinatene den. Midler (2) . Ligning (2) er tilfredsstilt av koordinatene til overflaten av omdreining S. Dette betyr (2) er ligningen for omdreiningsoverflaten. Tegnene "+" eller "-" tas avhengig av hvilken del av YOZ-plankurven (1) som befinner seg, hvor y>0 eller .

Så, regelen: For å finne ligningen til overflaten som dannes ved å rotere kurven L rundt OZ-aksen, må du erstatte variabelen y i ligningen til kurven

Ligningene for omdreiningsflater rundt OX- og OY-aksene er konstruert på lignende måte.

Flate

En overflate definert av en viss ligning i et gitt koordinatsystem er stedet for punkter hvis koordinater tilfredsstiller den gitte ligningen F(x; y; z) = 0.

Linje i rommet

Hvis ligningene F(x; y; z) = 0 og Ф (x; y; z) = 0 definerer en viss overflate, så kan linjen L (x; y; z) = 0 defineres som lokuset til punktene felles for begge overflater (skjæringslinje mellom overflater)

Plan som en overflate av første orden

Det er minst tre definisjoner av et fly:

1) Et plan er en overflate som fullt hver rett linje som forbinder to av punktene.

2) Et plan er et sett med punkter i rommet like langt fra gitte to punkter.

Og nå om en av formene til planligningen.

For det første har det vært kjent siden skoletiden; "Alle tre punkter som ikke sammenfaller og ikke ligger på samme rette linje definerer et plan, og et unikt." Det er ingen tilfeldighet at en stol med tre ben er absolutt stabil (dvs. «svinger ikke») og en stol med to eller flere enn tre ben ikke er stabil («gynger»). For det andre orienterer normalvektoren til planet det i rommet (se fig. 31)

La det ønskede planet p passere gjennom punktet M 0 vinkelrett på vektoren, da

For det første er vektoren resultatet av vektorproduktet av vektoren M 0 M 2 av vektoren M 0 M 1

For det andre er vektoren vinkelrett på både vektoren M 0 M 2 og vektoren M 1 M 2. Hvor fra betingelser for vektorortogonalitet finner vi at skalarproduktet ved vektoren M 0 M 2 (eller ved vektoren M 0 M 1) er lik null. Hvis punktet M 2 har koordinater (x; y; z), må skalarproduktet av vektoren og vektoren M 0 M 2 være lik null. Ta i betraktning det faktum at vektoren M 0 M 2 er definert som

det skjønner vi

Ligning av et plan som går gjennom et gitt punkt og vinkelrett på en gitt vektor

Eksempel 30 (oppnå ligningen til et plan)

Finn ligningen til planet som går gjennom punktet M 0 (1; 1; 1) vinkelrett på vektoren

Løsning

I vårt tilfelle

A=1, B=1 og C=1;

x 0 = 2, y 0 = 2, z 0 = 3,

derfor har likningen til planet formen

Eller, til slutt,

Svar

Det ønskede planet bestemmes av ligningen

Generell planligning

Generelt, enhver ligning av formen

A x + B y + C z + D = 0

definerer et plan (der A, B og C er koordinatene til normalvektoren til planet). Denne formen for planligningen kalles "generell planligning."

Ufullstendige planligninger

La planet være definert av dens generelle ligning

A x + B y + C z + D = 0, (*)

1) hvis D = 0, definerer (*) planet som går gjennom origo;

2) hvis A = 0, så B y + C z + D = 0 og vi har et plan, parallelt med okseaksen(fordi);

3) hvis B = 0, så A x + C z + D = 0 og vi har et plan, parallelt med Oy-aksen(fordi);

4) hvis C = 0, så A x + B y + D = 0 og vi har et plan, parallelt med Oz-aksen(fordi);

5) A = 0; B = 0, så C z + D = 0 og vi har et plan parallelt med Oxy-planet;

6) A = 0; C = 0, så B y + D = 0 og vi har et plan parallelt med Oxz-planet;

7) B = 0; C = 0, så A x + D = 0 og vi har et plan parallelt med Oyz-planet;

8) A = 0, B = 0, D = 0, så er Cz = 0 oksyplanet;

9) A = 0, C = 0, D = 0, så er B y = 0 Oxz-planet;

10) B = 0, C = 0, D = 0, så er A z = 0 Oyz-planet.

Akkurat det samme som det var før med generell ligning av en rett linje på et plan, kan andre former for planligningen fås fra den generelle ligningen. En av disse formene er ligningen av et plan i segmenter.

Fra den generelle ligningen til flyet

A x + B y + C z + D = 0

Ligningen til planet i segmenter oppnås

Det siste uttrykket kalles "ligningen av et plan i segmenter"

Ligning av et plan i segmenter

hvor a, b og c er mengder segmenter avskåret av et plan på henholdsvis Ox-, Oy- og Oz-aksene.

La to plan defineres av deres generelle ligninger

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 og

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Det vil si at normale vektorer har koordinater

For fly

For fly

Og la flyene ikke falle sammen og ikke være parallelle (se fig. 32)

Vinkel mellom to plan

Vinkelen mellom plan bestemmes av vinkelen mellom normalvektorer, og hvordan man finner vinkel mellom vektorer vi vet allerede:

hvis q er vinkelen mellom vektorene, så er dette også vinkelen mellom planene p 1 og p 2

Hvor kommer to viktige konsekvenser (forhold) fra?

Betingelse for perpendikularitet av to plan

To plan er vinkelrette forutsatt at

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0.

§7. Plan som en overflate av første orden. Generell ligning for flyet. Ligning av et plan som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor La oss introdusere et rektangulært kartesisk koordinatsystem Oxyz i rommet og vurdere en ligning av første grad (eller lineær ligning) for x, y, z: (7.1) Axe  Ved  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . Teorem 7.1. Ethvert plan kan spesifiseres i et vilkårlig rektangulært kartesisk koordinatsystem ved en ligning av formen (7.1). På nøyaktig samme måte som når det gjelder en linje på et plan, er det motsatte av setning 7.1 gyldig. Teorem 7.2. Enhver ligning av formen (7.1) definerer et plan i rommet. Beviset for teoremene 7.1 og 7.2 kan utføres på samme måte som beviset for teoremene 2.1, 2.2. Av teoremene 7.1 og 7.2 følger det at planet og bare det er en overflate av første orden. Ligning (7.1) kalles den generelle planligningen. Dens -koeffisienter A, B, C tolkes geometrisk som koordinatene til vektoren n vinkelrett på planet definert av denne ligningen. Denne vektoren  n(A, B, C) kalles normalvektoren til det gitte planet. Ligning (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 for alle mulige verdier av koeffisientene A, B, C definerer alle plan som går gjennom punktet M 0 ( x0, y0, z0). Det kalles ligningen til en haug med fly. Valget av spesifikke verdier av A, B, C i (7.2) betyr valget av planet P fra koblingen som går gjennom punktet M 0 vinkelrett på den gitte vektoren n(A, B, C) (fig. 7.1) ). Eksempel 7.1. Skriv likningen til planet P som går gjennom punktet   A(1, 2, 0) parallelt med vektorene a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) .    Normalvektoren n til P er ortogonal til de gitte vektorene a og b (Fig. 7.2),   derfor kan vi for n ta deres vektor n-produkt: A    P i j k      1 1   2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n      a  k. La oss erstatte koordinatene til fig. 7.2. For eksempel, 7.1 P M0  punkt M 0 og vektor n inn i ligning (7.2), får vi Fig. 7.1. Til likningen av planet til en bunt av plan P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 eller P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ 1s Hvis to av koeffisientene A, B, C i ligningen (7.1) er lik null, den spesifiserer et plan parallelt med et av koordinatplanene. For eksempel, når A  B  0, C  0 – plan P1: Cz  D  0 eller P1: z   D / C (fig. 7.3). Den er parallell med Oxy-planet, fordi normalvektoren  n1(0, 0, C) er vinkelrett på dette planet. For A  C  0, B  0 eller B  C  0, A  0, ligning (7. 1) definerer planene P2: Ved  D  0 og P3: Axe  D  0, parallelt med koordinatplanene Oxz og Oyz, siden   deres normalvektorer n2(0, B, 0) og n3(A, 0) , 0 ) er vinkelrett på dem (fig. 7.3). Hvis bare én av koeffisientene A, B, C i ligning (7.1) er lik null, spesifiserer den et plan parallelt med en av koordinataksene (eller inneholder den hvis D  0). Dermed er plan P: Axe  By  D  0 parallelt med Oz-aksen, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x Fig. 7.4. Plan P: Akse  B y  D  0, parallelt med Oz-aksen Fig. 7.3. Planene er parallelle med koordinatplanene  siden normalvektoren n(A, B, 0) er vinkelrett på Oz-aksen. Merk at den går gjennom den rette linjen L: Axe  Ved  D  0 som ligger i Oxy-planet (fig. 7.4). For D  0 spesifiserer ligning (7.1) et plan som går gjennom origo. Eksempel 7.2. Finn verdiene til parameteren  som ligningen x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 definerer planet med P: a) av koordinatplanene; b) parallelt med en av koordinataksene; c) passerer gjennom origo for koordinater. La oss skrive det ned gitt ligning i formen x  (  2) y  (  2)(  1) z    3  0 . (7.3) For enhver verdi , definerer ligning (7.3) et visst plan, siden koeffisientene til x, y, z i (7.3) ikke forsvinner samtidig. a) For   0 definerer ligning (7.3) et plan P parallelt med planet Oxy, P: z  3 / 2, og for   2 definerer det et plan P 2 parallelt med planet Oyz, P: x  5/ 2. For ingen verdier av  er planet P definert av ligning (7.3) parallelt med planet Oxz, siden koeffisientene til x, z i (7.3) ikke forsvinner samtidig. b) For   1 definerer ligning (7.3) et plan P parallelt med Oz-aksen, P: x  3y  2  0. For andre verdier av parameteren  definerer den ikke et plan parallelt med bare en av koordinataksene. c) For   3 definerer likning (7.3) planet P som går gjennom origo, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ Eksempel 7.3. Skriv likningen til planet P som går gjennom: a) punkt M (1,  3, 2) parallelt med planaksen Oxy; b) Okseaksen og punktet M (2, – 1, 3).   a) For normalvektoren n til P her kan vi ta vektoren k (0, 0,1) - enhetsvektoren til Oz-aksen, siden den er vinkelrett på Oxy-planet. Sett inn koordinatene til punktet  M (1,  3, 2) og vektoren n i ligning (7.2), vi får likningen til planet P: z 3  0.   b) Normalvektoren n til P er ortogonal til vektorene i (1, 0, 0) og OM (2,  1, 3) ,  derfor kan vi ta deres vektorprodukt som n:    i j k        i  OM  1 0 0   j 12 03  k 12 01   3 j  k . 2 1 3  Sett inn koordinatene til punkt O og vektor n i ligning (7.2), vi får ligningen til planet P:  3(y  0)  (z  0)  0 eller P: 3 y  z  0 .◄ 3

Forelesning 2. Planet som overflate av første orden. Planligninger og deres studie. En rett linje i rommet, den relative posisjonen til rette linjer i rommet, et plan og en rett linje i rommet. En rett linje på et plan, likninger av en rett linje på et plan, avstanden fra et punkt til en rett linje på et plan. Andre ordens kurver; utledning av kanoniske ligninger, studie av ligninger og konstruksjon av kurver. Overflater av andre orden, studie av kanoniske ligninger av overflater. Seksjonsmetode. 1

Elementer i analytisk geometri § 1. Plan. Vi har OXYZ og noen overflate S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y Definisjon 1: en likning med tre variabler kalles en likning av overflaten S i rommet hvis denne likningen er tilfredsstilt av koordinatene til hver punkt som ligger på overflaten og ikke tilfredsstilt av koordinatene ikke et eneste punkt som ligger på det. 2

Eksempel. Ligning (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) vi definerer en kule med sentrum i punktet C(a, b, c) og radius R. M M (x , y, z) – variabelt punkt M ϵ (S) |CM| = RC 3

Definisjon 2: En overflate S kalles en overflate av n-te orden hvis den i et kartesisk koordinatsystem er gitt ved en algebraisk ligning av n-te grad F(x, y, z) = 0 (1) I eksemplet (S) - en sirkel, en overflate av andre orden . Hvis S er en overflate av n-te orden, så er F(x, y, z) et polynom av n-te grad med hensyn til (x, y, z.) Tenk på den eneste overflaten av 1. orden - et plan. La oss lage en ligning for et plan som går gjennom punktet M (x, y, z), med en normalvektor 4

La M(x, y, z) være et vilkårlig (gjeldende) punkt i planet. MM 0 O α eller i koordinatform: (2) Ligning (2) er ligningen til planet som går gjennom punktet M med en gitt normalvektor. 5

D (*) (3) - fullstendig likning av planet Ufullstendig likning av planet. Hvis i ligning (3) flere koeffisienter (men ikke A, B, C samtidig) = 0, kalles ligningen ufullstendig og planet α har funksjoner i sin plassering. For eksempel, hvis D = 0, så går α gjennom origo. 6

Avstanden fra punktet M 1 til planet α M 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 påføres punktet M 0 K 7

- avstand fra punkt M 1 til plan α Ligning av planet "i segmenter" La oss lage en ligning av planet som avskjærer segmenter som ikke er null på koordinataksene med C(0, 0, c) verdier a, b, c. La oss ta B(0, b, 0) som verdien. La oss lage en ligning for punkt A med A(a, 0, 0) 8

-ligning av planet α "i segmenter" -ligning av planet som går gjennom punkt A, vinkelrett på normalvektoren 9

§ 2. Generell likning av en rett linje. En rett linje i rommet kan defineres ved skjæringspunktet mellom 2 plan. (1) likning av en rett linje Et system av typen (1) definerer en rett linje i rommet hvis koeffisientene A 1, B 1, C 1 samtidig er uforholdsmessige med A 2, B 2, C 2. 10

Parametriske og kanoniske ligninger for en rett linje - vilkårlig punkt for et rett linjepunkt M M 0 Parametrisk ligning t - parameter 11

Eliminerer t får vi: - kanonisk ligning System (3) bestemmer bevegelsen materiell poeng, rettlinjet og ensartet fra startposisjonen M 0(x 0, y 0, z 0) med hastighet i vektorens retning. 12

Vinkelen mellom rette linjer i rommet. Betingelser for parallellitet og perpendikularitet. La det være to linjer L 1, L 2 i rommet gitt av deres kanoniske ligninger: Da reduseres oppgaven med å bestemme vinkelen mellom disse linjene til å bestemme vinkelen

retningsvektorene deres: Ved å bruke definisjonen av skalarproduktet og uttrykket i koordinater for det spesifiserte skalarproduktet og lengdene til vektorene q 1 og q 2, får vi til å finne: 15

Betingelsen for parallellitet av rette linjer l 1 og l 2 tilsvarer kollineariteten til q 1 og q 2, ligger i proporsjonaliteten til koordinatene til disse vektorene, dvs. den har formen: Betingelsen for perpendikularitet følger av definisjonen av skalarproduktet og dets lik null (ved cos = 0) og har formen: l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

Vinkel mellom en rett linje og et plan: betingelser for parallellitet og perpendikularitet til en rett linje og et plan Betrakt planet P, definert av den generelle ligningen: Ax + By + Cz + D = 0, og den rette linjen L, definert av den kanoniske ligningen: 17

Siden vinkelen mellom den rette linjen L og planet P er komplementær til vinkelen mellom retningsvektoren til den rette linjen q = (l, m, n) og normalvektoren til planet n = (A, B, C) , så fra definisjonen av skalarproduktet q n = q n cos og likheten cos = sin (= 90 -), får vi: 18

Parallellitetsbetingelsen til den rette linjen L og planet П (inkludert det faktum at L tilhører П) er ekvivalent med betingelsen for perpendikularitet til vektorene q og n og uttrykkes med = 0 skalarprodukt av disse vektorene: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. Betingelsen for perpendikularitet til den rette linjen L og planet P er ekvivalent med betingelsen for parallellitet til vektorene n og q og uttrykkes ved proporsjonaliteten til koordinatene til disse vektorene: 19

Betingelser for at to linjer skal tilhøre samme plan To linjer i rommet L 1 og L 2 kan: 1) krysse hverandre; 2) være parallell; 3) interbreed. I de to første tilfellene ligger linjene L 1 og L 2 i samme plan. La oss etablere betingelsen for at to rette linjer definert av kanoniske ligninger skal tilhøre samme plan: 20

For at de to angitte linjene skal tilhøre samme plan, er det åpenbart nødvendig og tilstrekkelig at tre vektorer = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) og q 2 = (l 2, m 2, n 2), var koplanære, for hvilket det igjen er nødvendig og tilstrekkelig at det blandede produktet av disse tre vektorene = 0. 21

Ved å skrive de blandede produktene til de indikerte vektorene i koordinater, får vi en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at to rette linjer L 1 og L 2 skal tilhøre samme plan: 22

Betingelse for at en rett linje skal tilhøre et plan La det være en rett linje og et plan Ax + Bi + Cz + D = 0. Disse betingelsene har formen: Ax1 + Bi1 + Cz 1 + D = 0 og Al + Bm + Cn = 0, hvorav den første betyr at punktet M 1(x1, y1, z 1) som linjen går gjennom tilhører planet, og den andre er betingelsen for parallellitet til linjen og planet. 23

Andre ordens kurver. § 1. Begrepet likningen av en linje på et plan. Ligningen f (x, y) = 0 kalles ligningen til linje L i det valgte koordinatsystemet hvis den er tilfredsstilt av koordinatene til et punkt som ligger på linjen og ikke tilfredsstilt av koordinatene til et punkt som ikke ligger på den. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Eksempel: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

En linje L kalles en linje av n-te orden hvis den i et kartesisk koordinatsystem er gitt av en algebraisk likning av n-te grad med hensyn til x og y. Vi kjenner den eneste linjen av 1. orden - en rett linje: Ax + By + D = 0 Vi vil vurdere kurver av 2. orden: ellipse, hyperbel, parabel. Den generelle ligningen for 2. ordens linjer er: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

Ellipse (E) Definisjon. Ellipse er settet av alle punkter i planet, summen av avstandene til to faste punkter i planet F 1 og F 2, kalt foci, er en konstant verdi og en stor avstand mellom brennpunktene. La oss betegne konstanten som 2 a, avstanden mellom brennpunktene som 2 c. Tegn X-aksen gjennom brennpunktene, (a > c, a > 0, c > 0). Y-aksen gjennom midten av brennvidden. La M være et vilkårlig punkt på ellipsen, t. M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), der r 1, r 2 er fokale 27 radier til E.

La oss skrive (1) i koordinatform: (2) Dette er ligningen til en ellipse i det valgte koordinatsystemet. Forenklet (2) får vi: b 2 = a 2 - c 2 (3) – den kanoniske ligningen til ellipsen. Det kan vises at (2) og (3) er ekvivalente: 28

Studie av formen til en ellipse ved hjelp av den kanoniske ligningen 1) Ellipse er en kurve av 2. orden 2) Symmetri av ellipsen. siden x og y inngår i (3) kun i partaller, har ellipsen 2 akser og 1 symmetrisenter, som i det valgte koordinatsystemet sammenfaller med de valgte koordinataksene og punktet O. 29

3) Plassering av ellipsen Det vil si at hele E er plassert inne i et rektangel, hvis sider er x = ± a og y = ± b. 4) Kryss med akser. A 1(-a; 0); A2(a; 0); C OX: hjørner av ellipsen C OU: B 1(0; b); B 2(0; -b); På grunn av symmetrien til ellipsen, vil vi vurdere dens oppførsel (↓) bare i første kvartal. tretti

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt=" Løsning (3) med hensyn til y får vi: i første kvartal x > 0 og ellipsen avtar."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

Hyperbel (Г) Definisjon: Г er settet av alle punkter i planet, modulen for forskjellen i avstander til 2 faste punkter i planet F 1, F 2 er en konstant verdi og

Forenklet (1): (2) er den kanoniske ligningen til G. (1) og (2) er ekvivalente. Studie av en hyperbel ved å bruke den kanoniske ligningen 1) Г er en linje av 2. orden 2) Г har to akser og ett symmetrisenter, som i vårt tilfelle sammenfaller med koordinataksene og origo. 3) Plassering av hyperbelen. 34

Hyperbelen er plassert utenfor stripen mellom linjene x = a, x = -a. 4) Skjæringspunkter med akser. OX: OY: har ingen løsninger A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – reelle toppunkter Г B 1(0; b); B 2(0; -b) – imaginære toppunkter Г 2 a – reell akse Г 2 b – imaginær akse Г 35

5) Asymptoter av en hyperbel. På grunn av symmetrien til Г, vurderer vi dens del i første kvartal. Etter å ha løst (2) med hensyn til y, får vi: ligning Г i første kvartal x ≥ 0 Betrakt den rette linjen: siden i første kvartal x>0, det vil si i første kvartal med samme abscisse, ordinaten av linjen > ordinere det tilsvarende punktet Г, dvs. i første kvartal Г ligger under denne rette linjen. Hele G ligger innenfor en vertikal vinkel med sidene 36

6) Det kan vises at i første del øker G 7) Plan for å konstruere G a) bygg et rektangel 2 a, 2 b b) tegn diagonalene c) merk A 1, A 2 - de reelle toppunktene til G og 38 skriv disse grenene

Parabol (P) Tenk på d (retningslinje) og F (fokus) på planet. Definisjon. П – sett med alle punkter i planet like langt fra linje d og punkt F (fokus) 39

d-directrix F-fokus XOY-punkt М П deretter |MF| = |MN| (1) likning av P, valgt i koordinatsystemet. Forenklet (1) får vi y 2 = 2 px (2) – kanonisk likning av P. (1) og (2) er ekvivalente 40

Studie av P ved å bruke den kanoniske ligningen x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. Sylindre. Sylindriske flater med generatriser parallelle med koordinataksene Gjennom punkt x på linje L trekker vi en rett linje parallelt med OZ-aksen. Overflaten som dannes av disse rette linjene kalles en sylindrisk overflate eller sylinder (C). Enhver rett linje parallelt med OZ-aksen kalles en generatrise. l er guiden til den sylindriske overflaten til XOY-planet. Z(x, y) = 0 (1) 42

La M(x, y, z) være et vilkårlig punkt på en sylindrisk overflate. La oss projisere det på L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0 som er , koordinatene M tilfredsstiller (1), er det åpenbart at hvis M C, så projiseres den ikke til punktet M 0 ϵ L og derfor vil koordinatene til M ikke tilfredsstille ligning (1), som bestemmer C med en generatriseparallell til OZ-aksen i verdensrommet. På samme måte kan det vises at: Ф(x, z) = 0 i rommet Г || OY 43 (y, z) = 0 definerer i rommet C || OKSE

Projeksjon av en romlig linje på et koordinatplan En linje i rommet kan defineres parametrisk og ved skjæringspunktet mellom overflater. Den samme linjen kan defineres som ∩ av forskjellige overflater. La romlinjen L gis ∩ av to flater α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 ligning L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 La oss finne projeksjonen av L på planet XOY fra ligning (1) og ekskludere Z. Vi får ligningen: Z(x, y) = 0 – i rommet er dette ligningen Ε med generatoren || OZ og guide L. 46

Projeksjon: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Andreordens flater Ellipsoid - den kanoniske ligningen til en overflate har formen: 1) Ellipsoide - en annenordens overflate. 2) X, Y, Z går inn i ligningen kun i partall => overflaten har 3 plan og 1 symmetrisenter, som i det valgte koordinatsystemet sammenfaller med koordinatplanene og origo. 47

3) Plassering av ellipsoiden Overflaten er innelukket mellom || plan med ligninger x = a, x = -a. Tilsvarende, dvs. hele overflaten er inneholdt i et rektangulært parallellepiped. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Vi vil undersøke overflaten ved å bruke snittmetoden - kryssende overflaten med koordinatplan || koordinere. I seksjonen vil vi få linjer, etter formen som vi vil bedømme formen på overflaten. 48

La oss krysse overflaten med XOY-planet. I avsnittet får vi en linje. - ellipse a og b – halvakser I likhet med YOZ-planet - ellipse med halvakser b og c Plane || XOY Hvis h(0, c), reduseres ellipseaksene fra a og b til 0. 49

a = b = c - sfære Paraboloider a) Hyperbolsk paraboloid - en overflate med en kanonisk ligning: 1) Andreordens overflate 2) Siden x, y kommer inn i ligningen kun i jevne potenser, har overflaten symmetriplan, som sammenfaller for et gitt valg av koordinater med 50 fly XOZ, YOZ.

3) vi undersøker overflaten ved å bruke sadelseksjonsmetoden. XOZ I tverrsnitt er parabelen symmetrisk til OZ-aksen, stigende. pl. YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt=" område ||XOY for h > 0 hyperbler, med ekte halvakse langs OX, for h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

b) To-ark hyperboloid 1) overflate av andre orden 2) har 3 plan og 1 symmetrisenter 3) overflateplassering x 2 ≥ a 2; |x| ≥ a; (a, b, c > 0) Overflaten består av to deler plassert utenfor stripen mellom planene med likningene x = a, x = -a 4) vi studerer metoden for snitt (På egen hånd!) 57

Andreordens kjegle En annenordens kjegle er en overflate hvis kanoniske ligning har formen: 1) en annenordens overflate 2) har 3 plan og 1 symmetrisenter 3) vi studerer metoden for snitt kvadrat. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt=" kvadrat ||XOY |h| –>∞ fra 0 til ∞ kvadrat YOZ par rette linjer, passerer gjennom"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

60

1.7.1. Fly.

Betrakt på kartesisk grunnlag et vilkårlig plan P og en normalvektor (vinkelrett) på det `n (A, B, C). La oss ta et vilkårlig fast punkt M0(x0, y0, z0) og et gjeldende punkt M(x, y, z) i dette planet.

Det er åpenbart at ?`n = 0 (1,53)

(se (1.20) for j = p /2). Dette er ligningen til et plan i vektorform. Går vi videre til koordinatene, får vi den generelle ligningen til planet

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ах + Ву + Сz + D = 0 (1,54).

(D = –Ах0– Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).

Det kan vises at i kartesiske koordinater er hvert plan bestemt av en ligning av første grad, og omvendt bestemmer hver ligning av første grad et plan (dvs. et plan er en overflate av første orden og en overflate av første ordre er et fly).

La oss vurdere noen spesielle tilfeller av plasseringen av flyet spesifisert av den generelle ligningen:

A = 0 – parallelt med Ox-aksen; B = 0 – parallelt med Oy-aksen; C = 0 – parallelt med Oz-aksen. (Slike plan vinkelrett på et av koordinatplanene kalles prosjekterende plan); D = 0 – går gjennom origo; A = B = 0 – vinkelrett på Oz-aksen (parallell med xOy-planet); A = B = D = 0 – sammenfaller med xOy-planet (z = 0). Alle andre saker analyseres på samme måte.

Hvis D? 0, så ved å dele begge sider av (1.54) med -D, kan vi bringe likningen til planet til formen: (1.55),

a = – D /A, b = –D/ B, c = –D /C. Relasjon (1.55) kalles likningen av planet i segmenter; a, b, c – abscisse, ordinat og applikat av skjæringspunktene til planet med Ox-, Oy-, Oz-aksene og |a|, |b|, |c| – lengdene på segmentene avskåret av planet på de tilsvarende aksene fra koordinatenes origo.

Multiplisere begge sider (1,54) med en normaliseringsfaktor (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1,56)

hvor cosa = Am, cosb = Bm, cosg = Cm er retningen cosinus til normalen til planet, p er avstanden til planet fra origo.

La oss vurdere de grunnleggende relasjonene som brukes i beregningene. Vinkelen mellom planene A1x + B1y + C1z + D1 = 0 og A2x + B2y + C2z + D2 = 0 kan enkelt defineres som vinkelen mellom normalene til disse planene `n1 (A1, B1, C1) og

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

Fra (1.57) er det enkelt å få perpendikularitetsbetingelsen

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1,58)

og parallellitet (1,59) fly og deres normaler.

Avstand fra et vilkårlig punkt M0(x0, y0, z0) til planet (1,54)

bestemmes av uttrykket: (1.60)

Ligning av et plan som går gjennom tre gitt poeng Det er mest hensiktsmessig å skrive M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) ved å bruke koplanaritetsbetingelsen (1.25) til vektorer hvor M(x, y, z) er det nåværende punktet på flyet.

(1.61)

La oss presentere ligningen for en bunt med fly (dvs.

Sett med fly som går gjennom en rett linje) - det er praktisk å bruke i en rekke problemer.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1,62)

Hvor l О R, og i parentes er ligningene til to av bjelkens plan.

Kontrollspørsmål.

1) Hvordan sjekke at et gitt punkt ligger på overflaten definert av denne ligningen?

2) Hva er det karakteristiske trekk som skiller likningen til et plan i det kartesiske koordinatsystemet fra likningen til andre flater?

3) Hvordan er planet plassert i forhold til koordinatsystemet hvis ligningen ikke inneholder: a) et fritt ledd; b) en av koordinatene; c) to koordinater; d) en av koordinatene og en ledig termin; d) to koordinater og en ledig termin?

1) Gitt punktene M1(0,-1,3) og M2(1,3,5). Skriv likningen til et plan som går gjennom punktet M1 og vinkelrett på vektoren Velg det riktige svaret:

EN) ; b) .

2) Finn vinkelen mellom planene og . Velg det riktige svaret:

a) 135o, b) 45o

1.7.2. Rett. Planer hvis normaler ikke er kollineære eller skjære, og entydig definere den rette linjen som linjen i skjæringspunktet deres, som er skrevet som følger:

Et uendelig antall plan kan trekkes gjennom denne linjen (bunten av fly (1.62)), inkludert de som projiserer den på koordinatplan. For å få ligningene deres er det nok å transformere (1.63), eliminere en ukjent fra hver ligning og redusere dem, for eksempel til formen (1.63`).

La oss sette oppgaven - å tegne gjennom punktet M0(x0,y0,z0) en rett linje parallelt med vektoren `S (l, m, n) (det kalles en retningslinje). La oss ta et vilkårlig punkt M(x,y,z) på ønsket linje. Vektorer og må være kollineær, hvorfra vi får de kanoniske ligningene til linjen.

(1,64) eller (1.64`)

der cosa, cosb, cosg er retningscosinusene til vektoren `S. Fra (1.64) er det lett å få ligningen for en rett linje som går gjennom gitte punkter M1(x1, y1, z1) og M2(x2, y2, z2) (den er parallell )

Eller (1,64``)

(Verdiene av brøkene i (1.64) er like for hvert punkt på linjen og kan betegnes med t, hvor t R. Dette lar deg legge inn de parametriske ligningene til linjen

Hver verdi av parameteren t tilsvarer et sett med koordinater x, y, z til et punkt på en linje eller (ellers) - verdier av ukjente som tilfredsstiller likningene til en linje).

Ved å bruke de allerede kjente egenskapene til vektorer og operasjoner på dem og de kanoniske ligningene til den rette linjen, er det enkelt å oppnå følgende formler:

Vinkel mellom rette linjer: (1.65)

Parallellismetilstand (1,66).

perpendikularitet l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1,67) rette linjer.

Vinkelen mellom den rette linjen og planet (enkelt oppnådd ved å finne vinkelen mellom den rette linjen og normalen til planet, som summerer seg til ønsket p/2)

(1.68)

Fra (1.66) får vi parallellitetsbetingelsen Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

og vinkelrett (1,70) av en rett linje og et plan. Den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for at to linjer skal være i samme plan kan enkelt fås fra koplanaritetstilstanden (1.25).

(1.71)

Kontrollspørsmål.

1) Hva er måtene å definere en rett linje i rommet?

1) Skriv likningene til en linje som går gjennom punktet A(4,3,0) og parallelt med vektoren Angi riktig svar:

EN) ; b) .

2) Skriv likningene til en rett linje som går gjennom punktene A(2,-1,3) og B(2,3,3). Angi riktig svar.

EN) ; b) .

3) Finn skjæringspunktet for linjen med planet: , . Angi riktig svar:

a) (6,4,5); b) (6,-4,5).

1.7.3. Overflater av andre orden. Hvis en lineær ligning i en tredimensjonal kartesisk basis unikt definerer et plan, beskriver enhver ikke-lineær ligning som inneholder x, y, z en annen overflate. Hvis ligningen er av formen

Ax2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, så beskriver den en andreordens overflate (generell ligning av en andreordens overflate). Ved å velge eller transformere kartesiske koordinater, kan ligningen forenkles så mye som mulig, noe som fører til en av følgende former som beskriver den tilsvarende overflaten.

1. Kanoniske ligninger av andreordens sylindere, hvis generatorer er parallelle med Oz-aksen, og de tilsvarende andreordenskurvene som ligger i xOy-planet, tjener som guider:

(1.72), (1,73), y2 = 2px (1,74)

henholdsvis elliptiske, hyperbolske og parabolske sylindre.

(Husk at en sylindrisk overflate er en overflate oppnådd ved å bevege en rett linje, kalt en generatrise, parallelt med seg selv. Skjæringslinjen mellom denne overflaten med et plan vinkelrett på generatrisen kalles en guide - den bestemmer formen til overflaten).

I analogi kan vi skrive ned likningene til de samme sylindriske flatene med generatriser parallelle med Oy-aksen og Ox-aksen. Styringen kan defineres som skjæringslinjen mellom overflaten til sylinderen og det tilsvarende koordinatplanet, dvs. ligningssystem av formen:

2. Ligninger av en andreordens kjegle med et toppunkt ved origo:

(1.75)

(kjeglens akser er henholdsvis Oz-, Oy- og Ox-aksene)

3. Kanonisk ligning for ellipsoiden: (1,76);

Spesielle tilfeller er ellipsoider av revolusjon, for eksempel – overflate oppnådd ved å rotere en ellipse rundt Oz-aksen (Kl

a > c ellipsoiden er komprimert, med a x2 + y2+ z2 + = r2 – ligningen til en kule med radius r med sentrum i origo).

4. Kanonisk ligning av en ettarks hyperboloid

(“–”-tegnet kan vises foran hvilket som helst av de tre leddene på venstre side - dette endrer bare posisjonen til overflaten i rommet). Spesielle tilfeller er revolusjonshyperboloider på enkelt ark, for eksempel – overflate oppnådd ved å rotere en hyperbel rundt Oz-aksen (hyperbelens imaginære akse).

5. Kanonisk ligning av en to-arks hyperboloid

(“–”-tegnet kan vises foran hvilket som helst av de tre leddene på venstre side).

Spesielle tilfeller er to-arks revolusjonshyperboloider, for eksempel en overflate oppnådd ved å rotere en hyperbel rundt Oz-aksen (hyperbelens virkelige akse).

6. Kanonisk ligning for en elliptisk paraboloid

(p >0, q >0) (1,79)

7. Kanonisk ligning av en hyperbolsk paraboloid

(p >0, q >0) (1,80)

(variabelen z kan bytte plass med hvilken som helst av variablene x og y - posisjonen til overflaten i rommet vil endre seg).

Legg merke til at en ide om egenskapene (formen) til disse overflatene lett kan oppnås ved å vurdere deler av disse overflatene ved plan vinkelrett på koordinataksene.

Kontrollspørsmål.

1) Hvilket sett med punkter i rommet bestemmer ligningen?

2) Hva er de kanoniske ligningene til andreordens sylindre; andre orden kjegle; ellipsoid; enkeltark hyperboloid; to-arks hyperboloid; elliptisk paraboloid; hyperbolsk paraboloid?

1) Finn senteret og radiusen til kulen og angi riktig svar:

a) C(1,5;-2,5;2), ; b) C(1,5;2,5;2), ;

2) Bestem typen overflate, gitt av ligningene: . Angi riktig svar:

a) enkeltark hyperboloid; hyperbolsk paraboloid; elliptisk paraboloid; Kjegle.

b) to-arks hyperboloid; hyperbolsk paraboloid; elliptisk paraboloid; Kjegle.