Algoritme for å løse en invers matrise. Hvordan finne inversen til en matrise. Finne den inverse matrisen ved hjelp av adjoint matrise-metoden

Til invers matrise Det er en relevant analogi med det inverse av et tall. For hvert tall en, ikke lik null, det er et slikt tall b at arbeidet en Og b tilsvarer en: ab= 1 . Antall b kalt invers av et tall b. For eksempel, for tallet 7 er gjensidigheten 1/7, siden 7*1/7=1.

Invers matrise , som må finnes for en gitt kvadratisk matrise EN, en slik matrise kalles

produktet som matrisene har EN til høyre er identitetsmatrisen, dvs.
. (1)

En identitetsmatrise er en diagonal matrise der alle diagonale elementer er lik en.

Finne den inverse matrisen- et problem som ofte løses på to måter:

• metoden for algebraiske addisjoner, som krever å finne determinanter og transponere matriser;
• den gaussiske metoden for å eliminere ukjente, som krever å utføre elementære transformasjoner av matriser (legge til rader, multiplisere rader med samme tall, etc.).

For de som er spesielt nysgjerrige, finnes det andre metoder, for eksempel metoden for lineære transformasjoner. I denne leksjonen skal vi analysere de tre nevnte metodene og algoritmene for å finne den inverse matrisen ved hjelp av disse metodene.

Teorem.For hver ikke-entall (ikke-degenerert, ikke-entall) kvadratisk matrise, kan man finne en invers matrise, og bare én. For en spesiell (degenerert, entall) kvadratisk matrise eksisterer ikke den inverse matrisen.

Den kvadratiske matrisen kalles ikke spesielt(eller ikke-degenerert, ikke-entall), hvis determinanten ikke er null, og spesiell(eller utarte, entall) hvis determinanten er null.

Inversen til en matrise kan bare finnes for en kvadratisk matrise. Naturligvis vil den inverse matrisen også være kvadratisk og av samme rekkefølge som den gitte matrisen. En matrise som en invers matrise kan bli funnet for, kalles en inverterbar matrise.

Finne den inverse matrisen ved å bruke den Gaussiske ukjente elimineringsmetoden

Det første trinnet for å finne inversen til en matrise ved å bruke den Gaussiske elimineringsmetoden er å tilordne til matrisen EN identitetsmatrise av samme rekkefølge, som skiller dem med en vertikal strek. Vi vil få en dobbel matrise. La oss multiplisere begge sider av denne matrisen med , så får vi

,

Algoritme for å finne den inverse matrisen ved bruk av Gaussisk ukjent eliminasjonsmetode

1. Til matrisen EN tilordne en identitetsmatrise av samme rekkefølge.

2. Transformer den resulterende doble matrisen slik at du på venstre side får en enhetsmatrise, deretter får du på høyre side, i stedet for identitetsmatrisen, automatisk en invers matrise. Matrise EN på venstre side omdannes til identitetsmatrisen ved elementære matrisetransformasjoner.

2. Hvis i ferd med matrisetransformasjon EN i identitetsmatrisen vil det bare være nuller i en hvilken som helst rad eller i hvilken som helst kolonne, da er determinanten til matrisen lik null, og følgelig matrisen EN vil være entall, og den har ikke en invers matrise. I dette tilfellet stopper videre bestemmelse av den inverse matrisen.

Eksempel 2. For matrise

finn den inverse matrisen.

og vi vil transformere den slik at vi på venstre side får en identitetsmatrise. Vi begynner transformasjonen.

Multipliser den første raden i venstre og høyre matrise med (-3) og legg den til den andre raden, og multipliser deretter den første raden med (-4) og legg den til den tredje raden, så får vi

.

For å sikre at det ikke er brøktall i påfølgende transformasjoner, la oss først lage en enhet i den andre raden på venstre side av den doble matrisen. For å gjøre dette, multipliser den andre linjen med 2 og trekk den tredje linjen fra den, så får vi

.

La oss legge til den første linjen med den andre, og deretter multiplisere den andre linjen med (-9) og legge den til med den tredje linjen. Så får vi

.

Del den tredje linjen med 8, da

.

Multipliser den tredje linjen med 2 og legg den til den andre linjen. Det viser seg:

.

La oss bytte den andre og tredje linjen, så får vi endelig:

.

Vi ser at på venstre side har vi identitetsmatrisen, derfor har vi på høyre side den inverse matrisen. Dermed:

.

Du kan kontrollere riktigheten av beregningene ved å multiplisere den opprinnelige matrisen med den funnet inverse matrisen:

Resultatet skal være en invers matrise.

online kalkulator for å finne den inverse matrisen .

Eksempel 3. For matrise

finn den inverse matrisen.

Løsning. Kompilere en dobbel matrise

og vi vil forvandle det.

Vi multipliserer den første linjen med 3, og den andre med 2, og trekker fra den andre, og deretter multipliserer vi den første linjen med 5, og den tredje med 2 og trekker fra den tredje linjen, så får vi

.

Vi multipliserer den første linjen med 2 og legger den til den andre, og trekker deretter den andre fra den tredje linjen, så får vi

.

Vi ser at i den tredje linjen på venstre side er alle elementene lik null. Derfor er matrisen entall og har ingen invers matrise. Vi slutter å finne den omvendte maritzen.

Du kan sjekke løsningen ved hjelp av

Den opprinnelige i henhold til formelen: A^-1 = A*/detA, hvor A* er den tilknyttede matrisen, detA er den opprinnelige matrisen. Den tilstøtende matrisen er en transponert matrise av tillegg til elementene i den opprinnelige matrisen.

Først av alt, finn determinanten til matrisen; den må være forskjellig fra null, siden determinanten senere vil bli brukt som en divisor. La for eksempel få en matrise av den tredje (bestående av tre rader og tre kolonner). Som du kan se, er determinanten til matrisen ikke lik null, så det er en invers matrise.

Finn komplementene til hvert element i matrisen A. Komplementet til A er determinanten til delmatrisen som er hentet fra originalen ved å slette i-te rad og j-te kolonne, og denne determinanten tas med et fortegn. Tegnet bestemmes ved å multiplisere determinanten med (-1) til i+j potens. Dermed vil for eksempel komplementet til A være determinanten som er omtalt i figuren. Tegnet ble slik: (-1)^(2+1) = -1.

Som et resultat vil du få matrise tillegg, implementer det nå. Transponering er en operasjon som er symmetrisk om hoveddiagonalen til en matrise; kolonnene og radene byttes. Dermed har du funnet den tilstøtende matrisen A*.

Metoder for å finne den inverse matrisen. Tenk på en kvadratisk matrise

La oss betegne Δ = det A.

Kvadratmatrisen A kalles ikke-degenerert, eller ikke spesielt, hvis determinanten ikke er null, og degenerert, eller spesiell, HvisΔ = 0.

En kvadratisk matrise B er for en kvadratisk matrise A av samme rekkefølge hvis produktet deres er A B = B A = E, der E er identitetsmatrisen av samme rekkefølge som matrisene A og B.

Teorem . For at matrise A skal ha en invers matrise, er det nødvendig og tilstrekkelig at dens determinant er forskjellig fra null.

Den inverse matrisen til matrise A, betegnet med A- 1, så B = A - 1 og beregnes med formelen

, (1)

hvor A i j er algebraiske komplementer av elementene a i j av matrise A..

Å beregne A -1 ved hjelp av formel (1) for matriser av høy orden er svært arbeidskrevende, så i praksis er det praktisk å finne A -1 ved å bruke metoden for elementære transformasjoner (ET). Enhver ikke-singular matrise A kan reduseres til identitetsmatrisen E ved hjelp av ED-er med kun kolonner (eller bare rader). Hvis ED-ene perfeksjonert over matrise A brukes i samme rekkefølge på identitetsmatrisen E, blir resultatet en invers matrise. Det er praktisk å utføre EP på matrisene A og E samtidig, og skrive begge matrisene side om side gjennom en linje. La oss merke igjen at når du søker etter den kanoniske formen til en matrise, for å finne den, kan du bruke transformasjoner av rader og kolonner. Hvis du trenger å finne inversen til en matrise, bør du bare bruke rader eller bare kolonner under transformasjonsprosessen.

Eksempel 1. For matrise finn A -1.

Løsning.Først finner vi determinanten til matrise A
Dette betyr at den inverse matrisen eksisterer, og vi kan finne den ved å bruke formelen: , hvor A i j (i,j=1,2,3) er algebraiske addisjoner av elementene a i j av den opprinnelige matrisen.

Hvor .

Eksempel 2. Bruk metoden for elementære transformasjoner, finn A -1 for matrisen: A = .

Løsning.Vi tildeler den opprinnelige matrisen til høyre en identitetsmatrise av samme rekkefølge: . Ved å bruke elementære transformasjoner av kolonnene vil vi redusere den venstre "halvdelen" til identiteten, samtidig som vi utfører nøyaktig de samme transformasjonene på den høyre matrisen.
For å gjøre dette, bytt den første og andre kolonnen: ~ . Til den tredje kolonnen legger vi til den første, og til den andre - den første, multiplisert med -2: . Fra den første kolonnen trekker vi den andre doblet, og fra den tredje - den andre multiplisert med 6; . La oss legge til den tredje kolonnen til den første og andre: . Multipliser den siste kolonnen med -1: . Den kvadratiske matrisen til høyre for den vertikale stolpen er den inverse matrisen til den gitte matrisen A. Så,
.

1. Finn determinanten til den opprinnelige matrisen. Hvis , så er matrisen entall og det er ingen invers matrise. Hvis det eksisterer en ikke-degenerert og invers matrise.

2. Finn matrisen transponert til.

3. Finn de algebraiske komplementene til elementene og komponer den tilstøtende matrisen fra dem.

4. Vi komponerer den inverse matrisen ved hjelp av formelen.

5. Vi sjekker riktigheten av beregningen av den inverse matrisen, basert på dens definisjon:.

Eksempel. Finn matrisen invers av dette: .

Løsning.

1) Matrisedeterminant

.

2) Finn de algebraiske komplementene til matriseelementene og komponer den tilstøtende matrisen fra dem:

3) Regn ut den inverse matrisen:

,

4) Sjekk:

№4Matrix rangering. Lineær uavhengighet av matriserader

For å løse og studere en rekke matematiske og anvendte problemer er begrepet matriserangering viktig.

I en matrise av størrelse, ved å slette eventuelle rader og kolonner, kan du isolere kvadratiske submatriser av th orden, hvor. Determinantene til slike submatriser kalles mindreårige i matriseordenen .

For eksempel, fra matriser kan du få delmatriser av 1., 2. og 3. orden.

Definisjon. Rangeringen av en matrise er den høyeste rekkefølgen av mindreårige som ikke er null i den matrisen. Betegnelse: eller.

Fra definisjonen følger det:

1) Rangeringen av matrisen overskrider ikke den minste av dens dimensjoner, dvs.

2) hvis og bare hvis alle elementene i matrisen er lik null, dvs.

3) For en kvadratisk matrise av n-te orden hvis og bare hvis matrisen er ikke-singular.

Siden det er vanskelig (tidkrevende) å direkte telle alle mulige mindreårige i matrisen, med utgangspunkt i den største størrelsen, bruker de elementære matrisetransformasjoner som bevarer rangeringen til matrisen.

Elementære matrisetransformasjoner:

1) Kassering av nullraden (kolonnen).

2) Multiplisere alle elementene i en rad (kolonne) med et tall.

3) Endre rekkefølgen på rader (kolonner) i matrisen.

4) Legge til hvert element i en rad (kolonne) de tilsvarende elementene i en annen rad (kolonne), multiplisert med et hvilket som helst tall.

5) Matrisetransponering.

Definisjon. En matrise hentet fra en matrise ved bruk av elementære transformasjoner kalles ekvivalent og betegnes EN I.

Teorem. Rangeringen av matrisen endres ikke under elementære matrisetransformasjoner.

Ved å bruke elementære transformasjoner kan du redusere matrisen til den såkalte trinnformen, når det ikke er vanskelig å beregne rangeringen.

En matrise kalles echelon hvis den har formen:

Det er klart at rangeringen av en trinnmatrise er lik antall rader som ikke er null, siden det er en mindre rekkefølge som ikke er lik null:

.

Eksempel. Bestem rangeringen av en matrise ved hjelp av elementære transformasjoner.

Rangeringen av matrisen er lik antall rader som ikke er null, dvs. .

№5Lineær uavhengighet av matriserader

Gitt en størrelsesmatrise

La oss betegne radene i matrisen som følger:

De to linjene kalles lik , hvis deres tilsvarende elementer er like. .

La oss introdusere operasjonene med å multiplisere en streng med et tall og legge til strenger som operasjoner utført element-for-element:

Definisjon. En rad kalles en lineær kombinasjon av rader i en matrise hvis den er lik summen av produktene til disse radene med vilkårlige reelle tall (alle tall):

Definisjon. Radene i matrisen kalles lineært avhengig , hvis det er tall som ikke samtidig er lik null, slik at en lineær kombinasjon av matriserader er lik nullraden:

Hvor . (1.1)

Lineær avhengighet av matriserader betyr at minst 1 rad av matrisen er en lineær kombinasjon av resten.

Definisjon. Hvis en lineær kombinasjon av rader (1.1) er lik null hvis og bare hvis alle koeffisienter er , kalles radene lineært uavhengig .

Matriserangeringsteorem . Rangeringen til en matrise er lik det maksimale antallet av dens lineært uavhengige rader eller kolonner som alle andre rader (kolonner) er lineært uttrykt gjennom.

Teoremet spiller en grunnleggende rolle i matriseanalyse, spesielt i studiet av systemer av lineære ligninger.

№6Løse et system av lineære ligninger med ukjente

Systemer med lineære ligninger er mye brukt i økonomi.

Systemet med lineære ligninger med variabler har formen:

,

hvor () kalles vilkårlige tall koeffisienter for variabler Og frie termer av ligningene , henholdsvis.

Kort oppføring: ().

Definisjon. Løsningen av systemet er et slikt sett med verdier, ved substitusjon som hver ligning i systemet blir til en ekte likhet.

1) Ligningssystemet kalles ledd , hvis den har minst én løsning, og ikke-ledd, hvis det ikke har noen løsninger.

2) Det samtidige ligningssystemet kalles sikker , hvis den har en unik løsning, og usikker , hvis den har mer enn én løsning.

3) To ligningssystemer kalles tilsvarende (tilsvarende ) , hvis de har samme sett med løsninger (for eksempel én løsning).