Matematikk. 6 Klasse. Test 2. Alternativ 1 .

1. Lengden på rektangelet er 8 cm, bredden er 6 cm. Gitt et konstant område av dette rektangelet, finn ut hva lengden blir hvis bredden blir 4 cm.

EN) 14 cm; I) 10 cm; MED) 30 cm; D) 15 cm; E) 12 cm.

2 . Finn det ukjente proporsjonsleddet:

EN) 45;I) 6,5; MED) 4,5; D) 3,5; E) 1,5.

3 . Gi navnet på settet med punkter på planet like langt fra punkt O.

EN) torget; I) rektangel; MED) sirkel; D) sirkel; E) triangel.

4. Skriv ned settet med divisorer for tallet 24 ved å liste elementene.

EN) {1; 2; 8; 12; 24}; B) {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}; C) {1; 24}; D) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 12; 24}; E) {1; 4; 6; 8; 24}.

5 . Finn foreningen av settene A og B hvis: A=(-5; 0; 5; 13), B=(-5; 10; 13).

EN) {-5; 5}; B) {-5; 5; 13}; C) {10}; D) {-5; 13}; E) {-5; 0; 5; 10; 13}.

6. På koordinatlinjen er retningen... fra origo tatt som positiv retning.

EN) venstre; I) ned; MED) opp; D) Ikke sant; E) i hvilken som helst retning.

7 . Punktene A og B er markert på koordinatlinjen Finn koordinatene til hvert punkt.

EN) A(-3), B(2); I) A(-2), B(1,5); MED) A(-1), B(1,5); D) A(-4), B(2,5); E) A(-2), B(2).

8. Det motsatte av et negativt tall er tallet... .

EN) motsatt ; I) null; MED) negativ; D) motsatte; E) positivt.

9. Skriv ned et tall i stedet for en stjerne slik at likheten holder: - (*)=10.

EN) 10;I) -10; MED) -2;D) -5; E) -100.

10 . Fra følgende tall: -3; -1; 0; 1; 1,2; 3; 6 velg helt naturlig.

EN) -3; -1; 1; 6; B) 1; 6;C) 1; 3; 6; D) -3; 1,2; E) -3; -1; 0.

11. ... tall navngir avstanden (i enhetssegmenter) på koordinatlinjen fra origo til punktet som representerer tallet.

EN) torget; I) kube; MED) holdning; D) modul; E) normen.

12. Utfør handlinger: |-64|:|1.6|.

EN) -40; B) 40; C) 4; D) -4; E) 400.

Svar på prøvene finner du på siden " Svar " .

• Koordinere en rett linje er en rett linje som er gitt positiv retning, opprinnelse(punkt O) og et enhetssegment.
• Hvert punkt på koordinatlinjen tilsvarer et visst tall, som kalles koordinaten til dette punktet. For eksempel, A(5). De leser: punkt A med koordinat fem. AT 3). De leser: punkt B med koordinat minus tre.

Eksempel 1. Tegn punktene A(-7), B(-3), C(2), D (5) på koordinatlinjen.

La oss tegne en rett linje, vise den positive retningen med en pil, sette et punkt O(0) - origo og velge en enhet segment 1 celle. Merk de gitte punktene på den resulterende koordinatlinjen. Punkt A(-7) ligger 7 enhetssegmenter (7 celler) fra origo - punkt O til venstre. Merk punkt B(-3) 3 celler til venstre for startpunktet. Punkt C (2) vil være plassert 2 celler til høyre for null, og merke punkt D (5) 5 celler til høyre for startpunktet.

Eksempel 2. Tegn punktene A(-4.5), B(-2), C(2.5) og D (6) på koordinatlinjen.

La oss tegne en koordinatlinje og ta 1 celle som et enhetssegment. Fra begynnelsen av nedtellingen vil vi flytte fire og en halv celle til venstre og plassere punkt A. Punkt C vil være plassert til høyre for null i en avstand på to og en halv celle. Merk punkt B 2 celler til venstre for punkt O, og punkt D 6 celler til høyre for punkt O.

Eksempel 3. Tegn tallene på koordinatlinjen: 5; -4; -1; 3; -6; 7. Sammenlign med en koordinatlinje: a) 0 og 5; b) -1 og 7; c) -6 og -4; d) 5 og -6; e) 0 og -6; e) -4 og 3. Trekk konklusjoner.

Etter å ha valgt et enhetssegment lik 1 celle, merk tallene -6, -4 og -1 til venstre for null, og tallene 3, 5 og 7 til høyre for null. Mindre nummeret er plassert til venstre på koordinatlinjen, og mer er til høyre.

EN) 0<5 ; b) -1<7 ; V) -6<-4 ; G) 5>-6 ; d) 0>-6 ; e) -4<3 .

Null er større enn ethvert negativt tall, men mindre enn ethvert positivt tall. Ethvert negativt tall er mindre enn ethvert positivt tall.

Side 1 av 1 1

Koordinatlinje kalt en rett linje med origo (null), enhetssegment og retning valgt på. Hvert naturlig tall kan knyttes til et enkelt punkt på koordinatlinjen.

For å sammenligne to tall plassert på en koordinatlinje, må du være oppmerksom på hvordan de er plassert i forhold til hverandre.

Hvis nummer a er plassert til venstre for nummer b, så a< b

Hvis nummer a er plassert til høyre for nummer b, så a > b

I OGE er det flere typer oppgaver knyttet til plassering av tall på en koordinatlinje. For å begynne å løse eksempler, la oss huske noen flere konsepter.

Den absolutte verdien av et tall

| en | = ( a , a > 0 0 , a = 0 − a , a< 0

Modulen velger tegn fra tall.

Hvis nummeret positivt

Hvis nummeret lik null, så når man tar modulen til null, blir resultatet null.

Hvis nummeret negativ , så når man tar modulen til dette tallet, er resultatet et positivt tall.

Eksempler:

| − 1 | = 1 ; | − 5 | = 5 ; | 7 | = 7 ; | 0 | = 0 .

Du har sikkert et spørsmål: hvorfor i modulutvidelsesformelen | en | = − a , hvis   a< 0 ? Ведь после взятия модуля отрицательные числа становятся положительными.

For å svare på dette spørsmålet, la oss tenke på hvordan du fjerner minustegnet fra et negativt tall? Hvis et negativt tall multipliseres med − 1, blir det positivt.

Eksempler:

| − 1 | = − (− 1) = 1

| − 5 | = − (− 5) = 5

Kvadratroten av et tall

en- aritmetisk kvadratrot av et ikke-negativt tall er et ikke-negativt tall hvis kvadrat er lik a.

Så et enhetssegment og dets tiende, hundredel og så videre deler tillater oss å komme til punktene på koordinatlinjen, som vil tilsvare de endelige desimalbrøkene (som i forrige eksempel). Imidlertid er det punkter på koordinatlinjen som vi ikke kan komme til, men som vi kan komme så nært vi vil, ved å bruke mindre og mindre ned til en uendelig brøkdel av et enhetssegment. Disse punktene tilsvarer uendelige periodiske og ikke-periodiske desimalbrøker. La oss gi noen eksempler. Ett av disse punktene på koordinatlinjen tilsvarer tallet 3.711711711...=3,(711) . For å nærme deg dette punktet, må du sette til side 3 enhetssegmenter, 7 tideler, 1 hundredel, 1 tusendel, 7 ti tusendeler, 1 hundre tusendel, 1 milliondel av et enhetssegment, og så videre. Og et annet punkt på koordinatlinjen tilsvarer pi (π=3,141592...).

Siden elementene i settet med reelle tall er alle tall som kan skrives i form av endelige og uendelige desimalbrøker, lar all informasjonen presentert ovenfor i dette avsnittet oss si at vi har tildelt et spesifikt reelt tall til hvert punkt av koordinatlinjen, og det er tydelig at forskjellige punktene tilsvarer forskjellige reelle tall.

Det er også ganske åpenbart at denne korrespondansen er en-til-en. Det vil si at vi kan tilordne et reelt tall til et spesifisert punkt på en koordinatlinje, men vi kan også ved hjelp av et gitt reelt tall angi et spesifikt punkt på en koordinatlinje som et gitt reelt tall tilsvarer. For å gjøre dette må vi sette av et visst antall enhetssegmenter, samt tideler, hundredeler og så videre, av brøkdeler av et enhetssegment fra begynnelsen av nedtellingen i ønsket retning. For eksempel tilsvarer tallet 703.405 et punkt på koordinatlinjen, som kan nås fra origo ved å plotte i positiv retning 703 enhetssegmenter, 4 segmenter som utgjør en tiendedel av en enhet, og 5 segmenter som utgjør en tusendel av en enhet .

Så til hvert punkt på koordinatlinjen er det et reelt tall, og hvert reelt tall har sin plass i form av et punkt på koordinatlinjen. Dette er grunnen til at koordinatlinjen ofte kalles nummer linje.

Koordinater til punkter på en koordinatlinje

Tallet som tilsvarer et punkt på en koordinatlinje kalles koordinaten til dette punktet.

I forrige avsnitt sa vi at hvert reelt tall tilsvarer et enkelt punkt på koordinatlinjen, derfor bestemmer koordinaten til et punkt unikt posisjonen til dette punktet på koordinatlinjen. Med andre ord, koordinaten til et punkt definerer unikt dette punktet på koordinatlinjen. På den annen side tilsvarer hvert punkt på koordinatlinjen et enkelt reelt tall - koordinaten til dette punktet.

Alt som gjenstår å si er om den aksepterte notasjonen. Koordinaten til punktet er skrevet i parentes til høyre for bokstaven som representerer punktet. For eksempel, hvis punkt M har koordinat -6, så kan du skrive M(-6), og notasjon av formen betyr at punktet M på koordinatlinjen har koordinat.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematikk: lærebok for 5. klasse. utdanningsinstitusjoner.
• Vilenkin N.Ya. og andre Matematikk. 6. klasse: lærebok for allmennutdanningsinstitusjoner.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lærebok for 8. klasse. utdanningsinstitusjoner.

Koordinatlinje.

La oss ta en vanlig rett linje. La oss kalle det rett linje x (fig. 1). La oss velge et referansepunkt O på denne rette linjen, og også angi med en pil den positive retningen til denne rette linjen (fig. 2). Dermed vil vi ha positive tall til høyre for punkt O, og negative tall til venstre. La oss velge en skala, det vil si størrelsen på et rett linjesegment, lik en. Vi gjorde det koordinatlinje(Fig. 3). Hvert tall tilsvarer et spesifikt enkeltpunkt på denne linjen. Dessuten kalles dette tallet koordinaten til dette punktet. Det er derfor linjen kalles en koordinatlinje. Og referansepunktet O kalles opprinnelsen.

For eksempel, i fig. 4 punkt B ligger i en avstand på 2 til høyre for origo. Punkt D ligger i en avstand på 4 til venstre for origo. Følgelig har punkt B koordinat 2, og punkt D har koordinat -4. Selve punktet O, som er et referansepunkt, har koordinat 0 (null). Dette skrives vanligvis slik: O(0), B(2), D(-4). Og for ikke å hele tiden si "punkt D med koordinat slik og slik," sier de enklere: "punkt 0, punkt 2, punkt -4." Og i dette tilfellet er det nok å utpeke selve punktet ved dets koordinat (fig. 5).

Når vi kjenner koordinatene til to punkter på en koordinatlinje, kan vi alltid beregne avstanden mellom dem. La oss si at vi har to punkter A og B med henholdsvis koordinatene a og b. Da vil avstanden mellom dem være |a - b|. Notasjon |a - b| leses som "a minus b modulo" eller "modul for forskjellen mellom tallene a og b."

Hva er en modul?

Algebraisk sett er modulen til et tall x et ikke-negativt tall. Angitt med |x|. Videre, hvis x > 0, så |x| = x. Hvis x< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

Geometrisk er modulen til et tall x avstanden mellom et punkt og origo. Og hvis det er to punkter med koordinatene x1 og x2, så |x1 - x2| er avstanden mellom disse punktene.

Modulen kalles også absolutt verdi.

Hva annet kan vi si når det gjelder koordinatlinjen? Selvfølgelig om numeriske intervaller.

Typer numeriske intervaller.

La oss si at vi har to tall a og b. Dessuten, b > a (b er større enn a). På en koordinatlinje betyr dette at punkt b er til høyre for punkt a. La oss erstatte b i vår ulikhet med variabelen x. Det vil si x > a. Da er x alle tallene som er større enn a. På koordinatlinjen er disse henholdsvis alle punktene til høyre for punkt a. Denne delen av linjen er skyggelagt (fig. 6). Et slikt sett med punkter kalles åpen stråle, og dette numeriske intervallet er angitt med (a; +∞), der tegnet +∞ leses som "pluss uendelig". Vær oppmerksom på at selve punktet a ikke er inkludert i dette intervallet og er indikert med en lys sirkel.

La oss også vurdere tilfellet når x ≥ a. Da er x alle tall som er større enn eller lik a. På koordinatlinjen er disse alle punkter til høyre for a, samt selve punktet a (i fig. 7 er punkt a allerede indikert med en mørk sirkel). Et slikt sett med punkter kalles lukket stråle(eller ganske enkelt en stråle), og dette numeriske intervallet er angitt .

Koordinatlinjen kalles også koordinataksen. Eller bare x-aksen.

I denne leksjonen vil vi bli kjent med konseptet med en koordinatlinje, vi vil utlede dens hovedegenskaper og egenskaper. La oss formulere og lære å løse hovedproblemene. La oss løse flere eksempler på å kombinere disse problemene.

Fra geometrikurset vet vi hva en rett linje er, men hva må til med en vanlig rett linje for at den skal bli en koordinatlinje?

1) Velg startpunktet;

2) Velg en retning;

3) Velg skala;

Figur 1 viser en vanlig linje, og figur 2 viser en koordinatlinje.

En koordinatlinje er en linje l der startpunktet O er valgt - referanseopprinnelsen, skalaen er et enhetssegment, det vil si et segment hvis lengde anses som lik en, og en positiv retning.

Koordinatlinjen kalles også koordinataksen eller X-aksen.

La oss finne ut hvorfor koordinatlinjen er nødvendig; for å gjøre dette vil vi definere hovedegenskapen. Koordinatlinjen etablerer en en-til-en-korrespondanse mellom settet med alle tall og settet med alle punkter på denne linjen. Her er noen eksempler:

To tall er gitt: (“+”-tegnet, modulen er tre) og (“-”-tegnet, modulen er tre). La oss skildre disse tallene på koordinatlinjen:

Her kalles tallet koordinat A, tallet kalles koordinat B.

De sier også at bildet av et tall er punkt C med koordinat , og bildet av et tall er punkt D med koordinat:

Så siden hovedegenskapen til koordinatlinjen er etableringen av en en-til-en-korrespondanse mellom punkter og tall, oppstår to hovedoppgaver: å indikere et punkt med et gitt tall, har vi allerede gjort dette ovenfor, og å indikere et tall ved et gitt punkt. La oss se på et eksempel på den andre oppgaven:

La punkt M gis:

For å bestemme et tall fra et gitt punkt, må du først bestemme avstanden fra origo til punktet. I dette tilfellet er avstanden to. Nå må du bestemme tegnet på tallet, det vil si i hvilken stråle av den rette linjen punktet M ligger. I dette tilfellet ligger punktet til høyre for origo, i den positive strålen, som betyr at tallet vil har et "+"-tegn.

La oss ta et annet poeng og bruke det til å bestemme tallet:

Avstanden fra origo til punktet er lik det forrige eksempelet, lik to, men i dette tilfellet ligger punktet til venstre for origo, på den negative strålen, noe som betyr at punkt N karakteriserer tallet

Alle typiske problemer knyttet til koordinatlinjen er på en eller annen måte knyttet til dens hovedegenskap og de to hovedproblemene som vi formulerte og løste.

Typiske oppgaver inkluderer:

-kunne plassere punkter og deres koordinater;

-forstå sammenligning av tall:

uttrykket betyr at punkt C med koordinat 4 ligger til høyre for punkt M med koordinat 2:

Og omvendt, hvis vi får plassering av punkter på en koordinatlinje, må vi forstå at deres koordinater er relatert til et visst forhold:

La punktene M(x M) og N(x N) gis:

Vi ser at punktet M ligger til høyre for punktet n, noe som betyr at deres koordinater er relatert som

-Bestemme avstanden mellom punktene.

Vi vet at avstanden mellom punktene X og A er lik modulen til tallet. la to poeng gis:

Da vil avstanden mellom dem være lik:

En annen svært viktig oppgave er geometrisk beskrivelse av tallsett.

Tenk på en stråle som ligger på koordinataksen, inkluderer ikke opprinnelsen, men inkluderer alle andre punkter:

Så vi får et sett med punkter plassert på koordinataksen. La oss beskrive settet med tall som er preget av dette settet med punkter. Det er utallige slike tall og poeng, så denne oppføringen ser slik ut:

La oss gi en forklaring: i det andre opptaksalternativet, hvis du setter en parentes "(", er det ekstreme tallet - i dette tilfellet tallet 3, ikke inkludert i settet, men hvis du setter en firkantet parentes "[ ”, så er det ekstreme tallet inkludert i settet.

Så vi har skrevet analytisk et numerisk sett som karakteriserer et gitt sett med punkter. analytisk notasjon, som vi sa, utføres enten i form av en ulikhet eller i form av et intervall.

Et sett med poeng er gitt:

I dette tilfellet er punktet a=3 inkludert i settet. La oss beskrive sett med tall analytisk:

Vær oppmerksom på at en parentes alltid plasseres etter eller foran uendelighetstegnet, siden vi aldri vil nå uendelig, og det kan være enten en parentes eller en hakeparentes ved siden av tallet, avhengig av oppgavens forutsetninger.

La oss se på et eksempel på et omvendt problem.

En koordinatlinje er gitt. Tegn på den et sett med punkter som tilsvarer det numeriske settet og:

Koordinatlinjen etablerer en en-til-en-korrespondanse mellom et hvilket som helst punkt og et tall, og derfor mellom numeriske sett og sett med punkt. Vi så på stråler rettet i både positive og negative retninger, inkludert toppunktet og ikke inkludert det. La oss nå se på segmentene.

Eksempel 10:

Et sett med tall er gitt. Tegn det tilsvarende settet med punkter

Eksempel 11:

Et sett med tall er gitt. Tegn et sett med punkter:

Noen ganger, for å vise at endene av et segment ikke er inkludert i settet, tegnes piler:

Eksempel 12:

Et tallsett er gitt. Konstruer sin geometriske modell:

Finn det minste tallet fra intervallet:

Finn det største tallet i intervallet hvis det finnes:

Vi kan trekke et vilkårlig lite tall fra åtte og si at resultatet blir det største tallet, men vi vil umiddelbart finne et enda mindre tall, og resultatet av subtraksjonen vil øke, slik at det er umulig å finne det største tallet i dette intervallet.

La oss ta hensyn til det faktum at det er umulig å velge det nærmeste tallet til et hvilket som helst tall på koordinatlinjen, fordi det alltid er et nummer enda nærmere.

Hvor mange naturlige tall er det i et gitt intervall?

Fra intervallet velger vi følgende naturlige tall: 4, 5, 6, 7 - fire naturlige tall.

Husk at naturlige tall er tall som brukes til å telle.

La oss ta et sett til.

Eksempel 13:

Gitt et sett med tall

Konstruer sin geometriske modell: