Leksjon "proporsjonale segmenter i en rettvinklet trekant." Leksjon "proporsjonale segmenter i en rettvinklet trekant" Geometrisk middelverdi i en rettvinklet trekant bevis

Leksjon 40. Proporsjonale segmenter i en rettvinklet trekant. C.b. en. h. S. bc. N. ac. A. B. Høyden til en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til en rett vinkel deler trekanten i 2 like rettvinklede trekanter, som hver er lik den gitte trekanten. Likhetstest for rettvinklede trekanter. To rette trekanter er like hvis de hver har en lik spiss vinkel. Segmentet XY kalles proporsjonalt gjennomsnitt (geometrisk gjennomsnitt) for segmentene AB og CD hvis egenskap 1. Høyden til en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til en rett vinkel er proporsjonal gjennomsnitt mellom projeksjonene av bena på hypotenusen. Egenskap 2. Et ben i en rettvinklet trekant er det proporsjonale gjennomsnittet mellom hypotenusen og projeksjonen av dette beinet på hypotenusen.

Lysbilde 28 fra presentasjonen "Geometri "lignende trekanter"". Størrelsen på arkivet med presentasjonen er 232 KB.

Geometri 8. klasse

sammendrag andre presentasjoner

"Løse problemer på Pythagoras teorem" - Trekant ABC er likebenet. Praktisk bruk Pythagoras teorem. ABCD er en firkant. Arealet av en firkant. Finn solen. Bevis. Baser av en likebenet trapes. Tenk på Pythagoras teorem. Arealet av en firkant. Rette trekanter. Pythagoras teorem. Kvadraten på hypotenusen er lik summen av kvadratene på bena.

"Finne arealet til et parallellogram" - Base. Høyde. Bestemme høyden på et parallellogram. Tegn på likhet av rette trekanter. Arealet av et parallellogram. Finn arealet av trekanten. Egenskaper til områder. Muntlige øvelser. Finn arealet av parallellogrammet. Høyder på et parallellogram. Finn omkretsen av firkanten. Arealet av en trekant. Finn arealet av torget. Finn arealet av rektangelet. Arealet av en firkant.

""Square" 8. klasse" - Svart firkant. Oppgaver for muntlig arbeid rundt torgets omkrets. Arealet av en firkant. Tegn på en firkant. Torget er blant oss. Et kvadrat er et rektangel med alle sider like. Torget. Veske med firkantet bunn. Muntlige oppgaver. Hvor mange firkanter er vist på bildet? Egenskaper til et kvadrat. Rik kjøpmann. Oppgaver for muntlig arbeid på arealet til et torg. Omkretsen av en firkant.

"Definisjon av aksial symmetri" - Punkter som ligger på samme vinkelrett. Tegn to rette linjer. Konstruksjon. Tegn poengene. Clue. Figurer som ikke har aksial symmetri. Linjestykke. Mangler koordinater. Figur. Figurer som har mer enn to symmetriakser. Symmetri. Symmetri i poesi. Konstruer trekanter. Symmetriakser. Konstruksjon av et segment. Konstruksjon av et punkt. Figurer med to symmetriakser. Folk. Trekanter. Proporsjonalitet.

"Definisjon av lignende trekanter" - Polygoner. Proporsjonale segmenter. Forholdet mellom arealer av lignende trekanter. To trekanter kalles like. Forhold. Konstruer en trekant ved å bruke de gitte to vinklene og halveringslinjen ved toppunktet. La oss si at vi må bestemme avstanden til søylen. Det tredje tegnet på likhet av trekanter. La oss bygge en slags trekant. ABC. Trekanter ABC og ABC er like på tre sider. Bestemme høyden på et objekt.

"Løsning av Pythagoras teorem" - Deler av vinduer. Det enkleste beviset. Hammurabi. Diagonal. Fullstendig bevis. Bevis ved subtraksjonsmetode. pytagoreere. Bevis ved dekomponeringsmetode. Historien om teoremet. Diameter. Bevis ved addisjonsmetode. Epsteins bevis. Kantor. Trekanter. Følgere. Anvendelser av Pythagoras teorem. Pythagoras teorem. Uttalelse av teoremet. Perigals bevis. Anvendelse av teoremet.

Likhetstest for rettvinklede trekanter

La oss først introdusere likhetskriteriet for rettvinklede trekanter.

Teorem 1

Likhetstest for rettvinklede trekanter: to rette trekanter er like når de hver har én lik spiss vinkel (fig. 1).

Figur 1. Lignende rettvinklede trekanter

Bevis.

La oss få at $\vinkel B=\vinkel B_1$. Siden trekantene er rettvinklede, så $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Derfor er de like i henhold til det første kriteriet om likhet av trekanter.

Teoremet er bevist.

Høydesetning i rettvinklet trekant

Teorem 2

Høyden til en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til en rett vinkel deler trekanten i to like rettvinklede trekanter, som hver er lik den gitte trekanten.

Bevis.

La oss få en rettvinklet trekant $ABC$ med rett vinkel $C$. La oss tegne høyden $CD$ (fig. 2).

Figur 2. Illustrasjon av setning 2

La oss bevise at trekanter $ACD$ og $BCD$ ligner trekant $ABC$ og at trekanter $ACD$ og $BCD$ ligner hverandre.

Siden $\angle ADC=(90)^0$, så er trekanten $ACD$ rettvinklet. Trekanter $ACD$ og $ABC$ har en felles vinkel $A$, derfor, ved setning 1, er trekanter $ACD$ og $ABC$ like.

Siden $\angle BDC=(90)^0$, så er trekanten $BCD$ rettvinklet. Trekanter $BCD$ og $ABC$ har en felles vinkel $B$, derfor, ved setning 1, er trekanter $BCD$ og $ABC$ like.

La oss nå vurdere trekantene $ACD$ og $BCD$

\[\vinkel A=(90)^0-\vinkel ACD\] \[\vinkel BCD=(90)^0-\vinkel ACD=\vinkel A\]

Derfor, ved setning 1, er trekantene $ACD$ og $BCD$ like.

Teoremet er bevist.

Gjennomsnittlig proporsjonal

Teorem 3

Høyden til en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til en rett vinkel er gjennomsnittet proporsjonalt med segmentene som høyden deler hypotenusen til den gitte trekanten i.

Bevis.

Ved teorem 2 har vi at trekantene $ACD$ og $BCD$ er like, derfor

Teoremet er bevist.

Teorem 4

Benet til en rettvinklet trekant er gjennomsnittlig proporsjonal mellom hypotenusen og segmentet av hypotenusen som er innelukket mellom beinet og høyden trukket fra vinkelens toppunkt.

Bevis.

I beviset for teoremet vil vi bruke notasjonen fra figur 2.

Ved teorem 2 har vi at trekanter $ACD$ og $ABC$ er like, derfor

Teoremet er bevist.

Likhetstest for rettvinklede trekanter

La oss først introdusere likhetskriteriet for rettvinklede trekanter.

Teorem 1

Likhetstest for rettvinklede trekanter: to rette trekanter er like når de hver har én lik spiss vinkel (fig. 1).

Figur 1. Lignende rettvinklede trekanter

Bevis.

La oss få at $\vinkel B=\vinkel B_1$. Siden trekantene er rettvinklede, så $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Derfor er de like i henhold til det første kriteriet om likhet av trekanter.

Teoremet er bevist.

Høydesetning i rettvinklet trekant

Teorem 2

Høyden til en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til en rett vinkel deler trekanten i to like rettvinklede trekanter, som hver er lik den gitte trekanten.

Bevis.

La oss få en rettvinklet trekant $ABC$ med rett vinkel $C$. La oss tegne høyden $CD$ (fig. 2).

Figur 2. Illustrasjon av setning 2

La oss bevise at trekanter $ACD$ og $BCD$ ligner trekant $ABC$ og at trekanter $ACD$ og $BCD$ ligner hverandre.

Siden $\angle ADC=(90)^0$, så er trekanten $ACD$ rettvinklet. Trekanter $ACD$ og $ABC$ har en felles vinkel $A$, derfor, ved setning 1, er trekanter $ACD$ og $ABC$ like.

Siden $\angle BDC=(90)^0$, så er trekanten $BCD$ rettvinklet. Trekanter $BCD$ og $ABC$ har en felles vinkel $B$, derfor, ved setning 1, er trekanter $BCD$ og $ABC$ like.

La oss nå vurdere trekantene $ACD$ og $BCD$

\[\vinkel A=(90)^0-\vinkel ACD\] \[\vinkel BCD=(90)^0-\vinkel ACD=\vinkel A\]

Derfor, ved setning 1, er trekantene $ACD$ og $BCD$ like.

Teoremet er bevist.

Gjennomsnittlig proporsjonal

Teorem 3

Høyden til en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til en rett vinkel er gjennomsnittet proporsjonalt med segmentene som høyden deler hypotenusen til den gitte trekanten i.

Bevis.

Ved teorem 2 har vi at trekantene $ACD$ og $BCD$ er like, derfor

Teoremet er bevist.

Teorem 4

Benet til en rettvinklet trekant er gjennomsnittlig proporsjonal mellom hypotenusen og segmentet av hypotenusen som er innelukket mellom beinet og høyden trukket fra vinkelens toppunkt.

Bevis.

I beviset for teoremet vil vi bruke notasjonen fra figur 2.

Ved teorem 2 har vi at trekanter $ACD$ og $ABC$ er like, derfor

Teoremet er bevist.

Leksjonens mål:

1. introdusere konseptet med proporsjonal gjennomsnitt (geometrisk gjennomsnitt) av to segmenter;
2. vurdere problemet med proporsjonale segmenter i en rettvinklet trekant: egenskapen til høyden til en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til en rett vinkel;
3. å utvikle studentenes ferdigheter i å bruke det studerte emnet i prosessen med å løse problemer.

Leksjonstype: leksjon med å lære nytt materiale.

Plan:

1. org øyeblikk.
2. Oppdatering av kunnskap.
3. Å studere egenskapen til høyden til en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til en rett vinkel:
   – forberedende stadium;
   – introduksjon;
   - assimilering.
4. Introduksjon av konseptet med et gjennomsnitt proporsjonalt med to segmenter.
5. Mestre konseptet med gjennomsnittlig proporsjonal av to segmenter.
6. Bevis på konsekvensene:
   – Høyden til en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til en rett vinkel er gjennomsnittlig proporsjonal mellom segmentene som hypotenusen er delt i med denne høyden;
   – benet i en rettvinklet trekant er gjennomsnittlig proporsjonal mellom hypotenusen og segmentet av hypotenusen som er innelukket mellom benet og høyden.
7. Problemløsning.
8. Oppsummering.
9. Sette lekser.

I løpet av timene

I. ORGANISASJONSØYEBLIKK

- Hei folkens, sett deg. Er alle klare for timen?

La oss begynne arbeidet.

II. KUNNSKAP OPPDATERT

– Hvilket viktig matematisk konsept lærte du i tidligere leksjoner? ( med konseptet om likhet av trekanter)

– La oss huske hvilke to trekanter som kalles like? (to trekanter kalles like hvis vinklene deres er like store og sidene i den ene trekanten er proporsjonale med like sider i den andre trekanten)

– Hva bruker vi for å bevise likheten mellom to trekanter? (

– Formuler disse tegnene (formuler tre tegn på likhet mellom trekanter)

III. STUDERE EGENSKAPERNE TIL HØYDEN AV EN REKTANGULÆR TREKANT, UTFØRT FRA TOPPEN AV EN RETT VINKEL

a) forberedende fase

– Gutter, se på det første lysbildet. ( applikasjon) Her vises to rette trekanter – og . og er høydene og hhv. .

Oppgave 1. a) Bestem om og er like.

– Hva bruker vi for å bevise likheten mellom trekanter? ( tegn på likhet mellom trekanter)

(det første tegnet, fordi i oppgaven er ingenting kjent om sidene til trekantene)

. (To par: 1. ∟B= ∟B1 (rett), 2. ∟A= ∟A 1)

- Trekke en konklusjon.( ved det første kriteriet for likhet av trekanter ~)

Oppgave 1. b) Bestem om og er like.

– Hvilket likhetstegn vil vi bruke og hvorfor? (det første tegnet, fordi i problemet er ingenting kjent om sidene til trekantene)

– Hvor mange par like vinkler trenger vi å finne? Finn disse parene (siden trekantene er rettvinklede, så er ett par like vinkler nok: ∟A= ∟A 1)

- Trekke en konklusjon. (basert på det første kriteriet om likhet av trekanter, konkluderer vi med at disse trekantene er like).

Som et resultat av samtalen ser lysbilde 1 slik ut:

b) oppdagelse av teoremet

Oppgave 2.

– Finn ut om og er like. Som et resultat av samtalen bygges det svar som reflekteres på lysbildet.

– Bildet indikerte at . Brukte vi dette gradsmålet når vi svarte på oppgavespørsmålene? ( Nei, vi brukte det ikke)

– Gutter, trekk en konklusjon: hvilke trekanter deler en rettvinklet trekant seg inn i av høyden trukket fra toppunktet til den rette vinkelen? (konkludere)

– Spørsmålet oppstår: vil disse to rettvinklene, som høyden deler den rettvinklede trekanten i, være like hverandre? La oss prøve å finne par med like vinkler.

Som et resultat av samtalen bygges det en post:

– La oss nå trekke en fullstendig konklusjon.( KONKLUSJON: høyden til en rettvinklet trekant trukket fra toppen av den rette vinkelen deler trekanten i to lignende

- Det. Vi formulerte og beviste et teorem om egenskapen til høyden til en rettvinklet trekant.

La oss etablere strukturen til teoremet og lage en tegning. Hva er gitt i teoremet og hva må bevises? Elevene skriver i notatboken sin:

– La oss bevise det første punktet i teoremet for den nye tegningen. Hvilken likhetsfunksjon vil vi bruke og hvorfor? (Den første, fordi i teoremet er ingenting kjent om sidene til trekanter)

– Hvor mange par like vinkler trenger vi for å finne? Finn disse parene. (I dette tilfellet er ett par tilstrekkelig: ∟A-generelt)

- Trekke en konklusjon. Trekantene er like. Som et resultat vises et utvalg av teoremet

– Skriv ut det andre og tredje punktet hjemme selv.

c) mestring av teoremet

- Så, formuler teoremet på nytt (Høyden til en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til en rett vinkel deler trekanten i to lignende rette trekanter, som hver ligner på denne)

– Hvor mange par like trekanter i konstruksjonen «i en rettvinklet trekant er høyden trukket fra toppen av en rett vinkel» lar denne teoremet deg finne? ( Tre par)

Elevene får følgende oppgave:

IV. INTRODUKSJON AV KONSEPTET MED GJENNOMSNITTLIG FORHOLD AV TO SEGMENT

– Og nå skal vi studere et nytt konsept med deg.

Merk følgende!

Definisjon. Linjestykke XY kalt gjennomsnittlig proporsjonal (geometrisk gjennomsnitt) mellom segmentene AB Og CD, Hvis

(skriv det ned i en notatbok).

V. Å FORSTÅ KONSEPTET MED GJENNOMSNITTLIG FORHOLD AV TO SEGMENT

– La oss nå gå til neste lysbilde.

Øvelse 1. Finn lengden på de gjennomsnittlige proporsjonale segmentene MN og KP, hvis MN = 9 cm, KP = 16 cm.

– Hva er gitt i problemstillingen? ( To segmenter og deres lengde: MN = 9 cm, KP = 16 cm)

– Hva trenger du å finne? ( Lengden på gjennomsnittet proporsjonal med disse segmentene)

– Hvilken formel uttrykker det proporsjonale gjennomsnittet og hvordan finner vi det?

(Sett ut dataene inn i formelen og finn lengden på den gjennomsnittlige rekvisitten.)

Oppgave nr. 2. Finn lengden på segment AB hvis det proporsjonale gjennomsnittet av segmentene AB og CD er 90 cm og CD = 100 cm

– Hva er gitt i problemstillingen? (lengden på segmentet CD = 100 cm og det proporsjonale gjennomsnittet av segmentene AB og CD er 90 cm)

– Hva skal finnes i problemet? ( Lengde på segment AB)

– Hvordan skal vi løse problemet? (La oss skrive ned formelen for de gjennomsnittlige proporsjonale segmentene AB og CD, uttrykke lengden AB fra den og erstatte dataene i oppgaven.)

VI. KONKLUSJON AV IMPLIKASJONER

- Godt gjort gutter. La oss nå gå tilbake til likheten mellom trekanter, som vi beviste i teoremet. Gjenta teoremet. ( Høyden til en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til en rett vinkel deler trekanten i to lignende rettvinklede trekanter, som hver er lik den gitte)

– La oss først bruke likheten mellom trekanter og . Hva følger av dette? ( Per definisjon er likhetssider proporsjonale med lignende sider)

– Hvilken likhet vil resultere når man bruker den grunnleggende egenskapen proporsjon? ()

– Uttrykk CD og trekk en konklusjon (;.

Konklusjon: høyden til en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til en rett vinkel er gjennomsnittet proporsjonalt mellom segmentene som hypotenusen er delt i med denne høyden)

– Bevis nå på egen hånd at benet i en rettvinklet trekant er gjennomsnittet proporsjonalt mellom hypotenusen og segmentet av hypotenusen som er innelukket mellom benet og høyden. Vi vil finne fra -... segmentene som hypotenusen er delt inn i. ved denne høyden )

Et ben i en rettvinklet trekant er gjennomsnittet proporsjonalt mellom...(-...hypotenusen og segmentet av hypotenusen innelukket mellom dette benet og høyden )

– Hvor bruker vi utsagnene vi har lært? ( Når du løser problemer)

IX. INNSTILLING AV LEKSER

d/z: nr. 571, nr. 572 (a, d), selvstendig arbeid i en notatbok, teori.

I dag bringer vi til deg en annen presentasjon om et fantastisk og mystisk emne - geometri. I denne presentasjonen vil vi introdusere deg for en ny eiendom geometriske former, spesielt med begrepet proporsjonale segmenter i rette trekanter.

Først bør vi huske hva en trekant er? Dette er den enkleste polygonen, som består av tre hjørner forbundet med tre segmenter. En trekant der en av vinklene er lik 90 grader kalles en rettvinklet trekant. Du har allerede blitt mer detaljert kjent med dem i vårt tidligere undervisningsmateriell som ble presentert for deg.

Så, for å gå tilbake til vårt emne i dag, la oss betegne for at høyden til en rettvinklet trekant tegnet fra en 90 graders vinkel deler den inn i to trekanter som ligner både på hverandre og den opprinnelige. Alle tegninger og grafer som interesserer deg er gitt i den foreslåtte presentasjonen; vi anbefaler at du refererer til dem, ledsaget av den beskrevne forklaringen.

Et grafisk eksempel på oppgaven ovenfor kan ses på det andre lysbildet. Basert på det første tegnet på likhet av trekanter, er trekantene like fordi de har to identiske vinkler. Hvis vi spesifiserer mer detaljert, danner høyden senket til hypotenusen en rett vinkel med den, det vil si at det allerede er identiske vinkler, og hver av de dannede vinklene har også en felles vinkel som den opprinnelige. Resultatet er to vinkler lik hverandre. Det vil si at trekantene er like.

La oss også angi hva begrepet "proporsjonal gjennomsnitt" eller "geometrisk gjennomsnitt" betyr? Dette er et visst XY-segment for segmentene AB og CD, når det er lik kvadratroten av produktet av lengdene deres.

Hvorfra det også følger at benet i en rettvinklet trekant er det geometriske gjennomsnittet mellom hypotenusen og projeksjonen av dette benet på hypotenusen, det vil si et annet ben.

En annen egenskap ved en rettvinklet trekant er at høyden, trukket fra en vinkel på 90°, er gjennomsnittlig proporsjonal mellom projeksjonene av bena på hypotenusen. Hvis du ser på presentasjonen og annet materiale som tilbys din oppmerksomhet, vil du se at det er bevis på denne oppgaven i en veldig enkel og tilgjengelig form. Tidligere har vi allerede bevist at de resulterende trekantene ligner hverandre og den opprinnelige trekanten. Deretter, ved å bruke forholdet mellom bena til disse geometriske figurene, kommer vi til den konklusjon at høyden til en rettvinklet trekant er direkte proporsjonal med kvadratroten av produktet av segmentene som ble dannet som et resultat av å senke høyden fra rett vinkel på den opprinnelige trekanten.

Det siste i presentasjonen er at benet i en rettvinklet trekant er det geometriske gjennomsnittet for hypotenusen og dens segment plassert mellom benet og høyden tegnet fra en vinkel lik 90 grader. Dette tilfellet bør vurderes fra det synspunkt at de angitte trekantene ligner hverandre, og benet til en av dem viser seg å være hypotenusen til den andre. Men du vil bli mer kjent med dette ved å studere de foreslåtte materialene.