Generell ligning av andreordenskurver. Generell ligning av en linje: beskrivelse, eksempler, problemløsning Generell ligning av en linje av andre orden

Denne artikkelen fortsetter emnet for ligningen til en linje på et plan: vi vil vurdere denne typen ligninger som den generelle ligningen til en linje. La oss definere teoremet og gi dets bevis; La oss finne ut hva en ufullstendig generell ligning av en linje er, og hvordan man gjør overganger fra en generell ligning til andre typer ligninger av en linje. Vi vil forsterke hele teorien med illustrasjoner og løsninger på praktiske problemer.

La et rektangulært koordinatsystem O x y angis på planet.

Teorem 1

Enhver ligning av første grad, med formen A x + B y + C = 0, hvor A, B, C er noen reelle tall (A og B er ikke lik null samtidig), definerer en rett linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan. På sin side bestemmes enhver rett linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan av en ligning som har formen A x + B y + C = 0 for et visst sett med verdier A, B, C.

Bevis

Denne teoremet består av to punkter; vi skal bevise hvert av dem.

1. La oss bevise at ligningen A x + B y + C = 0 definerer en rett linje på planet.

La det være et punkt M 0 (x 0 , y 0) hvis koordinater tilsvarer ligningen A x + B y + C = 0. Altså: A x 0 + B y 0 + C = 0. Trekk fra venstre og høyre side av ligningen A x + B y + C = 0 venstre og høyre side av ligningen A x 0 + B y 0 + C = 0, får vi en ny ligning som ser ut som A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Det tilsvarer A x + B y + C = 0.

Den resulterende ligningen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for perpendikulariteten til vektorene n → = (A, B) og M 0 M → = (x - x 0, å - å 0). Dermed definerer settet med punkter M (x, y) en rett linje i et rektangulært koordinatsystem vinkelrett på retningen til vektoren n → = (A, B). Vi kan anta at dette ikke er tilfelle, men da ville ikke vektorene n → = (A, B) og M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vært vinkelrett, og likheten A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ville ikke være sant.

Følgelig definerer ligningen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 en bestemt linje i et rektangulært koordinatsystem på planet, og derfor definerer den ekvivalente ligningen A x + B y + C = 0 samme linje. Slik beviste vi den første delen av teoremet.

1. La oss gi et bevis på at enhver rett linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan kan spesifiseres med en ligning av første grad A x + B y + C = 0.

La oss definere en rett linje a i et rektangulært koordinatsystem på et plan; punktet M 0 (x 0 , y 0) som denne linjen går gjennom, samt normalvektoren til denne linjen n → = (A, B) .

La det også være et punkt M (x, y) - et flytende punkt på en linje. I dette tilfellet er vektorene n → = (A, B) og M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vinkelrett på hverandre, og deres skalarprodukt er null:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

La oss omskrive ligningen A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definere C: C = - A x 0 - B y 0 og som et endelig resultat får vi ligningen A x + B y + C = 0.

Så vi har bevist den andre delen av teoremet, og vi har bevist hele teoremet som en helhet.

Definisjon 1

En formlikning A x + B y + C = 0 - Dette generell ligning av en linje på et plan i et rektangulært koordinatsystemOksy.

Basert på det påviste teoremet kan vi konkludere med at en rett linje og dens generelle ligning definert på et plan i et fast rektangulært koordinatsystem er uløselig forbundet. Med andre ord tilsvarer den opprinnelige linjen dens generelle ligning; den generelle ligningen til en linje tilsvarer en gitt linje.

Av beviset for teoremet følger det også at koeffisientene A og B for variablene x og y er koordinatene til normalvektoren til linjen, som er gitt av den generelle ligningen til linjen A x + B y + C = 0.

La oss vurdere spesifikt eksempel generell ligning av en rett linje.

La ligningen 2 x + 3 y - 2 = 0 gis, som tilsvarer en rett linje i et gitt rektangulært koordinatsystem. Normalvektoren til denne linjen er vektoren n → = (2, 3). La oss tegne den gitte rette linjen i tegningen.

Vi kan også slå fast følgende: den rette linjen som vi ser på tegningen er bestemt av den generelle ligningen 2 x + 3 y - 2 = 0, siden koordinatene til alle punktene på en gitt rett linje tilsvarer denne ligningen.

Vi kan få ligningen λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 ved å multiplisere begge sider av den generelle ligningen til linjen med et tall λ som ikke er lik null. Den resulterende ligningen er ekvivalent med den opprinnelige generelle ligningen, derfor vil den beskrive den samme rette linjen på planet.

Definisjon 2

Fullfør generell ligning av en linje– en slik generell ligning av den rette linjen A x + B y + C = 0, der tallene A, B, C er forskjellige fra null. Ellers er ligningen ufullstendig.

La oss analysere alle variasjoner av den ufullstendige generelle ligningen til en linje.

1. Når A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, har den generelle ligningen formen B y + C = 0. En slik ufullstendig generell ligning definerer i et rektangulært koordinatsystem O x y en rett linje som er parallell med O x-aksen, siden for enhver reell verdi av x vil variabelen y ta verdien - C B . Med andre ord, den generelle ligningen for linjen A x + B y + C = 0, når A = 0, B ≠ 0, spesifiserer lokuset til punktene (x, y), hvis koordinater er lik det samme tallet - C B .
2. Hvis A = 0, B ≠ 0, C = 0, har den generelle ligningen formen y = 0. Denne ufullstendige ligningen definerer x-aksen O x .
3. Når A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, får vi en ufullstendig generell ligning A x + C = 0, som definerer en rett linje parallelt med ordinaten.
4. La A ≠ 0, B = 0, C = 0, så vil den ufullstendige generelle ligningen ha formen x = 0, og dette er ligningen til koordinatlinjen O y.
5. Til slutt, for A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, har den ufullstendige generelle ligningen formen A x + B y = 0. Og denne ligningen beskriver en rett linje som går gjennom origo. Faktisk tilsvarer tallparet (0, 0) likheten A x + B y = 0, siden A · 0 + B · 0 = 0.

La oss grafisk illustrere alle de ovennevnte typene av ufullstendig generell ligning av en rett linje.

Eksempel 1

Det er kjent at den gitte rette linjen er parallell med ordinataksen og går gjennom punktet 2 7, - 11. Det er nødvendig å skrive ned den generelle ligningen til den gitte linjen.

Løsning

Rett, parallelt med aksen ordinater, er gitt av en ligning av formen A x + C = 0, hvor A ≠ 0. Betingelsen spesifiserer også koordinatene til punktet som linjen går gjennom, og koordinatene til dette punktet oppfyller betingelsene for den ufullstendige generelle ligningen A x + C = 0, dvs. likheten er sann:

A 2 7 + C = 0

Fra den er det mulig å bestemme C hvis vi gir A en verdi som ikke er null, for eksempel A = 7. I dette tilfellet får vi: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Vi kjenner begge koeffisientene A og C, bytter dem inn i ligningen A x + C = 0 og får den nødvendige rettlinjeligningen: 7 x - 2 = 0

Svar: 7 x - 2 = 0

Eksempel 2

Tegningen viser en rett linje; du må skrive ned ligningen.

Løsning

Den gitte tegningen lar oss enkelt ta de første dataene for å løse problemet. Vi ser på tegningen at den gitte rette linjen er parallell med O x-aksen og går gjennom punktet (0, 3).

Den rette linjen, som er parallell med abscissen, bestemmes av den ufullstendige generelle ligningen B y + C = 0. La oss finne verdiene til B og C. Koordinatene til punktet (0, 3), siden den gitte linjen går gjennom det, vil tilfredsstille ligningen til linjen B y + C = 0, da er likheten gyldig: B · 3 + C = 0. La oss sette B til en annen verdi enn null. La oss si B = 1, i så fall fra likheten B · 3 + C = 0 kan vi finne C: C = - 3. Ved å bruke de kjente verdiene til B og C får vi den nødvendige ligningen for den rette linjen: y - 3 = 0.

Svar: y - 3 = 0 .

Generell ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt i et plan

La den gitte linjen passere gjennom punktet M 0 (x 0 , y 0), så tilsvarer dens koordinater den generelle ligningen til linjen, dvs. likheten er sann: A x 0 + B y 0 + C = 0. La oss trekke venstre og høyre side av denne ligningen fra venstre og høyre side av den generelle komplette ligningen til linjen. Vi får: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, denne ligningen er ekvivalent med den opprinnelige generelle, går gjennom punktet M 0 (x 0, y 0) og har en normal vektor n → = (A, B).

Resultatet vi oppnådde gjør det mulig å skrive ned den generelle ligningen til en linje med kjente koordinater til normalvektoren til linjen og koordinatene til et bestemt punkt på denne linjen.

Eksempel 3

Gitt et punkt M 0 (- 3, 4) som en linje går gjennom, og normalvektoren til denne linjen n → = (1, - 2). Det er nødvendig å skrive ned ligningen til den gitte linjen.

Løsning

De innledende betingelsene lar oss få de nødvendige dataene for å komponere ligningen: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Deretter:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problemet kunne vært løst annerledes. Den generelle ligningen for en rett linje er A x + B y + C = 0. Den gitte normalvektoren lar oss oppnå verdiene til koeffisientene A og B, da:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

La oss nå finne verdien av C ved å bruke punktet M 0 (- 3, 4) spesifisert av tilstanden til problemet, som den rette linjen går gjennom. Koordinatene til dette punktet tilsvarer ligningen x - 2 · y + C = 0, dvs. - 3 - 2 4 + C = 0. Derfor C = 11. Den nødvendige rettlinjeligningen har formen: x - 2 · y + 11 = 0.

Svar: x - 2 y + 11 = 0 .

Eksempel 4

Gitt en linje 2 3 x - y - 1 2 = 0 og et punkt M 0 som ligger på denne linjen. Bare abscissen til dette punktet er kjent, og den er lik - 3. Det er nødvendig å bestemme ordinaten til et gitt punkt.

Løsning

La oss angi koordinatene til punktet M 0 som x 0 og y 0 . Kildedataene indikerer at x 0 = - 3. Siden punktet tilhører en gitt linje, tilsvarer dets koordinater den generelle ligningen til denne linjen. Da vil likheten være sann:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definer y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Svar: - 5 2

Overgang fra den generelle ligningen til en linje til andre typer ligninger av en linje og omvendt

Som vi vet, er det flere typer ligninger for den samme rette linjen på et plan. Valget av ligningstype avhenger av forholdene til problemet; det er mulig å velge den som er mer praktisk for å løse det. Ferdigheten til å konvertere en ligning av en type til en ligning av en annen type er veldig nyttig her.

La oss først vurdere overgangen fra den generelle ligningen av formen A x + B y + C = 0 til den kanoniske ligningen x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Hvis A ≠ 0, flytter vi begrepet B y til høyre side av den generelle ligningen. På venstre side tar vi A ut av parentes. Som et resultat får vi: A x + C A = - B y.

Denne likheten kan skrives som en proporsjon: x + C A - B = y A.

Hvis B ≠ 0, lar vi bare begrepet A x stå på venstre side av den generelle ligningen, overføre de andre til høyre side, vi får: A x = - B y - C. Vi tar – B ut av parentes, så: A x = - B y + C B .

La oss omskrive likheten i form av en proporsjon: x - B = y + C B A.

Selvfølgelig er det ikke nødvendig å huske de resulterende formlene. Det er nok å kjenne algoritmen til handlinger når du går fra en generell ligning til en kanonisk.

Eksempel 5

Den generelle ligningen for linjen 3 y - 4 = 0 er gitt. Det er nødvendig å transformere det til en kanonisk ligning.

Løsning

La oss skrive den opprinnelige ligningen som 3 y - 4 = 0. Deretter fortsetter vi i henhold til algoritmen: begrepet 0 x forblir på venstre side; og på høyre side legger vi - 3 ut av parentes; vi får: 0 x = - 3 y - 4 3 .

La oss skrive den resulterende likheten som en proporsjon: x - 3 = y - 4 3 0 . Dermed har vi fått en likning av kanonisk form.

Svar: x - 3 = y - 4 3 0.

For å transformere den generelle likningen til en linje til parametriske, gjøres først en overgang til den kanoniske formen, og deretter en overgang fra den kanoniske likningen til en linje til parametriske likninger.

Eksempel 6

Den rette linjen er gitt av ligningen 2 x - 5 y - 1 = 0. Skriv ned de parametriske ligningene for denne linjen.

Løsning

La oss gjøre overgangen fra den generelle ligningen til den kanoniske:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Nå tar vi begge sider av den resulterende kanoniske ligningen lik λ, så:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Svar:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Den generelle ligningen kan konverteres til en ligning av en rett linje med helning y = k · x + b, men bare når B ≠ 0. For overgangen lar vi begrepet B y stå på venstre side, resten overføres til høyre. Vi får: B y = - A x - C . La oss dele begge sider av den resulterende likheten med B, forskjellig fra null: y = - A B x - C B.

Eksempel 7

Linjens generelle ligning er gitt: 2 x + 7 y = 0. Du må konvertere den ligningen til en helningsligning.

Løsning

La oss utføre de nødvendige handlingene i henhold til algoritmen:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Svar: y = - 2 7 x .

Fra den generelle ligningen til en linje er det nok å bare få en ligning i segmenter av formen x a + y b = 1. For å gjøre en slik overgang flytter vi tallet C til høyre side av likheten, deler begge sider av den resulterende likheten med – C og overfører til slutt koeffisientene for variablene x og y til nevnerne:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Eksempel 8

Det er nødvendig å transformere den generelle ligningen til linjen x - 7 y + 1 2 = 0 til ligningen til linjen i segmenter.

Løsning

La oss flytte 1 2 til høyre side: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

La oss dele begge sider av likheten med -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Svar: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Generelt er den omvendte overgangen også enkel: fra andre typer ligninger til den generelle.

Ligningen til en linje i segmenter og en ligning med en vinkelkoeffisient kan enkelt konverteres til en generell ved ganske enkelt å samle alle leddene på venstre side av likheten:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Den kanoniske ligningen konverteres til en generell i henhold til følgende skjema:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

For å gå fra parametriske, flytt først til den kanoniske, og deretter til den generelle:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Eksempel 9

De parametriske ligningene til linjen x = - 1 + 2 · λ y = 4 er gitt. Det er nødvendig å skrive ned den generelle ligningen til denne linjen.

Løsning

La oss gjøre overgangen fra parametriske ligninger til kanoniske:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

La oss gå fra det kanoniske til det generelle:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Svar: y - 4 = 0

Eksempel 10

Ligningen for en rett linje i segmentene x 3 + y 1 2 = 1 er gitt. Det er nødvendig å gå over til den generelle formen for ligningen.

Løsning:

Vi skriver ganske enkelt om ligningen i den nødvendige formen:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Svar: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Tegne en generell ligning for en linje

Vi sa ovenfor at den generelle ligningen kan skrives med kjente koordinater til normalvektoren og koordinatene til punktet som linjen går gjennom. En slik rett linje er definert av ligningen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Der analyserte vi også det tilsvarende eksempelet.

La oss nå se på mer komplekse eksempler, hvor du først må bestemme koordinatene til normalvektoren.

Eksempel 11

Gitt en linje parallell med linjen 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Punktet M 0 (4, 1) som den gitte linjen går gjennom er også kjent. Det er nødvendig å skrive ned ligningen til den gitte linjen.

Løsning

Startbetingelsene forteller oss at linjene er parallelle, så, som normalvektoren til linjen, hvis ligning må skrives, tar vi retningsvektoren til linjen n → = (2, - 3): 2 x - 3 år + 3 3 = 0. Nå vet vi alle nødvendige data for å lage den generelle ligningen for linjen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Svar: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Eksempel 12

Den gitte linjen går gjennom origo vinkelrett på linjen x - 2 3 = y + 4 5. Det er nødvendig å lage en generell ligning for en gitt linje.

Løsning

Normalvektoren til en gitt linje vil være retningsvektoren til linjen x - 2 3 = y + 4 5.

Så n → = (3, 5) . Den rette linjen går gjennom origo, dvs. gjennom punkt O (0, 0). La oss lage en generell ligning for en gitt linje:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Svar: 3 x + 5 y = 0 .

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Andre ordens kurve— geometrisk plassering av punkter på planet, rektangulære koordinater

som tilfredsstiller en ligning av formen:

der minst én av koeffisientene en 11, en 12, en 22 ikke lik null.

Invarianter av andre ordens kurver.

Formen på kurven avhenger av 4 invarianter gitt nedenfor:

Invarianter med hensyn til rotasjon og forskyvning av koordinatsystemet:

Invariant med hensyn til rotasjon av koordinatsystemet ( semi-invariant):

For å studere andre-ordens kurver, vurder produktet SOM.

Generell andre ordens kurvelikning ser slik ut:

Axe 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0

Hvis A*C > 0 elliptisk type. Enhver elliptisk

ligning er ligningen av enten en vanlig ellipse, eller en degenerert ellipse (punkt), eller en imaginær en

ellipse (i dette tilfellet definerer ikke ligningen et enkelt geometrisk bilde på planet);

Hvis A*C< 0 , så tar ligningen form av ligning hyperbolsk type. Enhver hyperbolsk

ligningen uttrykker enten en enkel hyperbel eller en degenerert hyperbel (to kryssende linjer);

Hvis A*C = 0, da vil ikke andreordenslinjen være sentral. Ligninger av denne typen kalles

ligninger parabolsk type og uttrykk på planet enten en enkel parabel, eller 2 parallelle

(enten sammenfallende) rette linjer, eller uttrykker ikke et eneste geometrisk bilde på planet;

Hvis A*C ≠ 0, vil den andre ordenskurven være

I denne artikkelen vil vi vurdere den generelle ligningen for en rett linje på et plan. La oss gi eksempler på å konstruere en generell ligning for en linje hvis to punkter på denne linjen er kjent eller hvis ett punkt og normalvektoren til denne linjen er kjent. La oss introdusere metoder for å transformere ligningen til generelt syn inn i kanoniske og parametriske synspunkter.

La et vilkårlig kartesisk rektangulært koordinatsystem gis Oxy. Tenk på en førstegrads eller lineær ligning:

Axe+By+C=0,

(1)

Hvor A, B, C− noen konstanter, og minst ett av elementene EN Og B forskjellig fra null.

Vi skal vise at en lineær ligning på et plan definerer en rett linje. La oss bevise følgende teorem.

Teorem 1. I et vilkårlig kartesisk rektangulært koordinatsystem på et plan kan hver rett linje spesifiseres med en lineær ligning. Omvendt definerer hver lineær ligning (1) i et vilkårlig kartesisk rektangulært koordinatsystem på et plan en rett linje.

Bevis. Det er nok til å bevise at den rette linjen L bestemmes av en lineær ligning for ethvert kartesisk rektangulært koordinatsystem, siden det vil bli bestemt av en lineær ligning for ethvert valg av kartesisk rektangulært koordinatsystem.

La det gis en rett linje på flyet L. La oss velge et koordinatsystem slik at aksen Okse falt sammen med en rett linje L, og aksen Oy var vinkelrett på den. Deretter ligningen av linjen L vil ha følgende form:

y=0.

(2)

Alle punkter på en linje L vil tilfredsstille lineær ligning (2), og alle punkter utenfor denne linjen vil ikke tilfredsstille ligning (2). Den første delen av teoremet er bevist.

La et kartesisk rektangulært koordinatsystem gis og la en lineær ligning (1) gis, hvor minst ett av elementene EN Og B forskjellig fra null. La oss finne det geometriske stedet for punkter hvis koordinater tilfredsstiller ligning (1). Siden minst en av koeffisientene EN Og B er forskjellig fra null, så har ligning (1) minst én løsning M(x 0 ,y 0). (For eksempel når EN≠0, poeng M 0 (−C/A, 0) tilhører det gitte geometriske punktlokuset). Ved å erstatte disse koordinatene i (1) får vi identiteten

Øks 0 +Av 0 +C=0.

(3)

La oss trekke identitet (3) fra (1):

EN(x−x 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Åpenbart er ligning (4) ekvivalent med ligning (1). Derfor er det nok å bevise at (4) definerer en bestemt linje.

Siden vi vurderer et kartesisk rektangulært koordinatsystem, følger det av likhet (4) at vektoren med komponenter ( x−x 0 , y−y 0 ) ortogonalt på vektoren n med koordinater ( A,B}.

La oss vurdere en rett linje L, passerer gjennom punktet M 0 (x 0 , y 0) og vinkelrett på vektoren n(Figur 1). La poenget M(x,y) tilhører linjen L. Deretter vektoren med koordinater x−x 0 , y−y 0 vinkelrett n og ligning (4) er oppfylt (skalarprodukt av vektorer n og lik null). Omvendt, hvis punkt M(x,y) ligger ikke på en linje L, deretter vektoren med koordinater x−x 0 , y−y 0 er ikke ortogonal til vektoren n og ligning (4) er ikke tilfredsstilt. Teoremet er bevist.

Bevis. Siden linjene (5) og (6) definerer den samme linjen, så er normalvektorene n 1 ={EN 1 ,B 1) og n 2 ={EN 2 ,B 2) collineær. Siden vektorer n 1 ≠0, n 2 ≠0, så er det et slikt tall λ , Hva n 2 =n 1 λ . Herfra har vi: EN 2 =EN 1 λ , B 2 =B 1 λ . La oss bevise det C 2 =C 1 λ . Det er klart at sammenfallende linjer har et felles poeng M 0 (x 0 , y 0). Multiplisere ligning (5) med λ og subtrahere ligning (6) fra den får vi:

Siden de to første likhetene fra uttrykk (7) er oppfylt, da C 1 λ −C 2 = 0. De. C 2 =C 1 λ . Merknaden er bevist.

Merk at ligning (4) definerer ligningen til den rette linjen som går gjennom punktet M 0 (x 0 , y 0) og har en normalvektor n={A,B). Derfor, hvis normalvektoren til en linje og punktet som tilhører denne linjen er kjent, kan den generelle ligningen til linjen konstrueres ved å bruke ligning (4).

Eksempel 1. En rett linje går gjennom et punkt M=(4,−1) og har en normalvektor n=(3, 5). Konstruer den generelle ligningen for en linje.

Løsning. Vi har: x 0 =4, y 0 =−1, EN=3, B=5. For å konstruere den generelle ligningen til en rett linje, erstatter vi disse verdiene i ligning (4):

Svar:

Vektoren er parallell med linjen L og derfor vinkelrett på normalvektoren til linjen L. La oss konstruere en normal linjevektor L, tar i betraktning at skalarproduktet av vektorer n og lik null. Vi kan skrive f.eks. n={1,−3}.

For å konstruere den generelle ligningen for en rett linje, bruker vi formel (4). La oss erstatte koordinatene til punktet med (4) M 1 (vi kan også ta koordinatene til punktet M 2) og normalvektor n:

Erstatter koordinatene til punktene M 1 og M 2 i (9) kan vi sørge for at den rette linjen gitt av ligningen(9) går gjennom disse punktene.

Svar:

Trekk fra (10) fra (1):

Vi har fått den kanoniske ligningen til linjen. Vektor q={−B, EN) er retningsvektoren til linjen (12).

Se omvendt konvertering.

Eksempel 3. En rett linje på et plan er representert ved følgende generelle ligning:

La oss flytte det andre leddet til høyre og dele begge sider av ligningen med 2·5.

La oss etablere et rektangulært koordinatsystem på planet og vurdere den generelle ligningen av andre grad

i hvilken
.

Settet med alle punkter i planet hvis koordinater tilfredsstiller ligning (8.4.1) kalles krokete (linje) andre bestilling.

For enhver annenordenskurve er det et rektangulært koordinatsystem, kalt kanonisk, der ligningen til denne kurven har en av følgende former:

1)
(ellipse);

2)
(imaginær ellipse);

3)
(et par imaginære kryssende linjer);

4)
(hyperbola);

5)
(et par kryssende linjer);

6)
(parabel);

7)
(et par parallelle linjer);

8)
(et par imaginære parallelle linjer);

9)
(et par sammenfallende linjer).

Ligning 1)–9) kalles kanoniske ligninger av andreordenskurver.

Å løse problemet med å redusere ligningen til en andreordenskurve til kanonisk form innebærer å finne den kanoniske ligningen til kurven og det kanoniske koordinatsystemet. Reduksjon til kanonisk form lar en beregne parametrene til kurven og bestemme dens plassering i forhold til det opprinnelige koordinatsystemet. Overgang fra det opprinnelige rektangulære koordinatsystemet
til kanonisk
utføres ved å rotere aksene til det opprinnelige koordinatsystemet rundt punktet OM til en viss vinkel  og påfølgende parallell translasjon av koordinatsystemet.

Andre ordens kurveinvarianter(8.4.1) er slike funksjoner av koeffisientene til ligningen, hvis verdier ikke endres når man flytter fra et rektangulært koordinatsystem til et annet i samme system.

For en andreordenskurve (8.4.1), summen av koeffisientene for de kvadratiske koordinatene

,

determinant sammensatt av koeffisienter av ledende ledd

og tredjeordens determinant

er invarianter.

Verdien av invariantene s, ,  kan brukes til å bestemme typen og komponere den kanoniske ligningen til andreordenskurven (tabell 8.1).

Tabell 8.1

Klassifisering av andreordenskurver basert på invarianter

La oss se nærmere på ellipsen, hyperbelen og parabelen.

Ellipse(Fig. 8.1) er det geometriske stedet for punkter i planet for hvilke summen av avstandene til to faste punkter
dette flyet, kalt ellipse foci, er en konstant verdi (større enn avstanden mellom brennpunktene). I dette tilfellet er tilfeldigheten av ellipsens foci ikke utelukket. Hvis fokusene sammenfaller, er ellipsen en sirkel.

Halvsummen av avstandene fra et punkt på en ellipse til dens brennpunkter er angitt med EN, halvparten av avstandene mellom fokusene – Med. Hvis et rektangulært koordinatsystem på et plan er valgt slik at brennpunktene til ellipsen er plassert på aksen OMx symmetrisk om origo, så i dette koordinatsystemet er ellipsen gitt av ligningen

, (8.4.2)

kalt kanonisk ellipseligning, Hvor
.

Ris. 8.1

Med spesifisert valg av rektangulært koordinatsystem er ellipsen symmetrisk med hensyn til koordinataksene og origo. Symmetriaksene til en ellipse kalles økser, og symmetrisenteret er midten av ellipsen. Samtidig kalles aksene til ellipsen ofte nummer 2 en og 2 b, og tallene en Og b – stor Og mindre akse hhv.

Skjæringspunktene til en ellipse med dens akser kalles toppene av ellipsen. Toppene til ellipsen har koordinater ( EN, 0), (–EN, 0), (0, b), (0, –b).

Ellipse eksentrisitet oppringt nummer

. (8.4.3)

Siden 0  c < en, ellipseeksentrisitet 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Dette viser at eksentrisitet karakteriserer formen til en ellipse: jo nærmere  er null, jo mer ligner ellipsen på en sirkel; når  øker, blir ellipsen mer forlenget.

La
- vilkårlig punkt på ellipsen,
Og
– avstand fra punkt M før triks F 1 og F 2 henholdsvis. Tall r 1 og r 2 kalles brennradius av et punkt M ellipse og beregnes ved hjelp av formlene

Rektorer forskjellig fra en sirkel ellipse med den kanoniske ligningen (8.4.2) kalles to linjer

.

Ellipsens retninger er plassert utenfor ellipsen (fig. 8.1).

Brennvidde radiusforhold poengMellipse til avstand  av denne ellipsen (fokuset og retningslinjen anses som korresponderende hvis de er plassert på samme side av midten av ellipsen).

Overdrivelse(Fig. 8.2) er det geometriske stedet for punkter i planet for hvilke modulen for forskjellen i avstander til to faste punkter Og dette flyet, kalt hyperbolske triks, er en konstant verdi (ikke lik null og mindre enn avstanden mellom brennpunktene).

La avstanden mellom brennpunktene være 2 Med, og den spesifiserte modulen for avstandsforskjellen er lik 2 EN. La oss velge et rektangulært koordinatsystem på samme måte som for ellipsen. I dette koordinatsystemet er hyperbelen gitt av ligningen

, (8.4.4)

kalt kanonisk hyperbelligning, Hvor
.

Ris. 8.2

Med dette valget av et rektangulært koordinatsystem er koordinataksene hyperbelens symmetriakser, og opprinnelsen er dens symmetrisenter. Symmetriaksene til en hyperbel kalles økser, og symmetrisenteret er sentrum av hyperbelen. Rektangel med sider 2 en og 2 b, plassert som vist i fig. 8.2, kalt grunnleggende rektangel av hyperbel. Tall 2 en og 2 b er aksene til hyperbelen, og tallene en Og b- henne akselaksler. De rette linjene, som er fortsettelser av diagonalene til hovedrektangelet, dannes asymptoter av en hyperbel

.

Skjæringspunkter mellom hyperbelen og aksen Okse er kalt toppunktene til en hyperbel. Toppunktene til hyperbelen har koordinater ( EN, 0), (–EN, 0).

Eksentrisiteten til hyperbelen oppringt nummer

. (8.4.5)

Fordi det Med > en, eksentrisitet av hyperbelen  > 1. La oss omskrive likhet (8.4.5) i formen

.

Dette viser at eksentrisitet karakteriserer formen til hovedrektangelet og derfor formen på selve hyperbelen: jo mindre , jo mer utvides hovedrektangelet, og etter det er hyperbelen selv langs aksen. Okse.

La
- vilkårlig punkt på hyperbelen,
Og
– avstand fra punkt M før triks F 1 og F 2 henholdsvis. Tall r 1 og r 2 kalles brennradius av et punkt M hyperboler og beregnes ved hjelp av formlene

Rektorer hyperboler med den kanoniske ligningen (8.4.4) kalles to linjer

.

Hyperbelens retninger skjærer hovedrektangelet og passerer mellom senteret og det tilsvarende toppunktet til hyperbelen (fig. 8.2).

OM brennradiusforhold poengM hyperbler til avstand fra dette punktet til det som tilsvarer fokuset directrix er lik eksentrisitet av denne hyperbelen (fokus og retning anses som korresponderende hvis de er plassert på samme side av midten av hyperbelen).

Parabel(Fig. 8.3) er det geometriske stedet for punkter i planet for hvilke avstanden til et fast punkt F (fokus på en parabel) av dette planet er lik avstanden til en fast rett linje ( retninger til en parabel), også plassert i flyet som vurderes.

La oss velge begynnelsen OM rektangulært koordinatsystem i midten av segmentet [ FD], som er en vinkelrett ute av fokus F på retningslinjen (det antas at fokuset ikke tilhører retningslinjen), og aksene Okse Og Oy La oss styre det som vist i fig. 8.3. La lengden på segmentet [ FD] er lik s. Deretter i det valgte koordinatsystemet
Og kanonisk parabelligning ser ut som

. (8.4.6)

Omfanget s kalt parabel parameter.

En parabel har en symmetriakse kalt aksen til parablen. Skjæringspunktet mellom en parabel med dens akse kalles toppunktet til parablen. Hvis en parabel er gitt av dens kanoniske ligning (8.4.6), så er parabelens akse aksen Okse. Det er klart at toppunktet til parablen er opprinnelsen.

Eksempel 1. Punktum EN= (2, –1) tilhører ellipsen, punkt F= (1, 0) er dens fokus, det tilsvarende F retningen er gitt av ligningen
. Skriv en ligning for denne ellipsen.

Løsning. Vi vil vurdere koordinatsystemet som rektangulært. Så avstanden fra punkt EN til rektor
i samsvar med relasjon (8.1.8), hvori


, er lik

.

Avstand fra punkt ENå fokusere F er lik

,

som lar oss bestemme eksentrisiteten til ellipsen

.

La M = (x, y) er et vilkårlig punkt på ellipsen. Så avstanden
fra punkt M til rektor
i henhold til formel (8.1.8) lik

og avstanden fra punkt Må fokusere F er lik

.

Siden for ethvert punkt av ellipsen forholdet er en konstant størrelse lik eksentrisiteten til ellipsen, derfor har vi

,

Eksempel 2. Kurven er gitt av ligningen

i et rektangulært koordinatsystem. Finn det kanoniske koordinatsystemet og den kanoniske ligningen til denne kurven. Bestem typen kurve.

Løsning. Kvadratisk form
har en matrise

.

Dets karakteristiske polynom

har røtter  1 = 4 og  2 = 9. Derfor, i det ortonormale grunnlaget for egenvektorene til matrisen EN den kvadratiske formen som vurderes har den kanoniske formen

.

La oss fortsette med å konstruere en matrise for ortogonal transformasjon av variabler, og bringe den kvadratiske formen under vurdering til den angitte kanoniske formen. For å gjøre dette vil vi konstruere grunnleggende løsninger for homogene ligningssystemer
og ortonormalisere dem.

På
dette systemet ser ut

Dens generelle løsning er
. Det er én gratis variabel her. Derfor består det grunnleggende løsningssystemet av én vektor, for eksempel vektoren
. Når vi normaliserer det, får vi vektoren

.

På
la oss også konstruere en vektor

.

Vektorer Og er allerede ortogonale, siden de forholder seg til forskjellige egenverdier til den symmetriske matrisen EN. De utgjør det kanoniske ortonormale grunnlaget for en gitt kvadratisk form. Den nødvendige ortogonale matrisen (rotasjonsmatrisen) er konstruert fra kolonnene til deres koordinater

.

La oss sjekke om matrisen er funnet riktig R i henhold til formelen
, Hvor
– matrise av kvadratisk form i grunnlaget
:

Matrise R funnet riktig.

La oss transformere variablene

og skriv ligningen til denne kurven i et nytt rektangulært koordinatsystem med de gamle senter- og retningsvektorene
:

Hvor
.

Vi fikk den kanoniske ligningen til ellipsen

.

På grunn av det faktum at den resulterende transformasjonen av rektangulære koordinater bestemmes av formlene

,

,

kanonisk koordinatsystem
har en begynnelse
og retningsvektorer
.

Eksempel 3. Bruk invariant teori, bestem typen og lag den kanoniske ligningen for kurven

Løsning. Fordi det

,

i henhold til tabellen. 8.1 konkluderer vi med at dette er en hyperbole.

Siden s = 0, er det karakteristiske polynomet til matrisen av kvadratisk form

Dens røtter
Og
la oss skrive den kanoniske ligningen til kurven

Hvor MED er funnet fra tilstanden

,

.

Den nødvendige kanoniske ligningen for kurven

.

I oppgavene til denne delen er koordinatenex, yantas å være rektangulære.

8.4.1. For ellipser
Og
finne:

a) akselaksler;

b) triks;

c) eksentrisitet;

d) retningslikninger.

8.4.2. Skriv ligninger for en ellipse, og kjenn dens fokus
, tilsvarende rektor x= 8 og eksentrisitet . Finn det andre fokuset og andre retningslinjen til ellipsen.

8.4.3. Skriv en ligning for en ellipse hvis fokus har koordinater (1, 0) og (0, 1), og hvis hovedakse er to.

8.4.4. Gitt en hyperbole
. Finne:

a) akselaksler en Og b;

b) triks;

c) eksentrisitet;

d) likninger av asymptoter;

e) retningslikninger.

8.4.5. Gitt en hyperbole
. Finne:

a) akselaksler EN Og b;

b) triks;

c) eksentrisitet;

d) likninger av asymptoter;

e) retningslikninger.

8.4.6. Punktum
tilhører en hyperbole hvis fokus
, og den tilsvarende retningslinjen er gitt av ligningen
. Skriv en ligning for denne hyperbelen.

8.4.7. Skriv en ligning for en parabel gitt dens fokus
og rektor
.

8.4.8. Gitt toppunktet til en parabel
og retningslikningen
. Skriv en ligning for denne parabelen.

8.4.9. Skriv en ligning for en parabel som har fokus på

og retningen er gitt av ligningen
.

8.4.10. Skriv en andreordens ligning for kurven, og kjenn dens eksentrisitet
, fokus
og den tilsvarende rektor
.

8.4.11. Bestem typen av andreordenskurve, komponer dens kanoniske ligning og finn det kanoniske koordinatsystemet:

G)
;

8.4.12.

er en ellipse. Finn lengdene på halvaksene og eksentrisiteten til denne ellipsen, koordinatene til senteret og brennpunktene, lag ligninger for aksene og retningslinjene.

8.4.13. Bevis at den andre ordenskurven gitt av ligningen

er en hyperbole. Finn lengdene til halvaksene og eksentrisiteten til denne hyperbelen, koordinatene til sentrum og foci, lag likninger for aksene, retningslinjene og asymptotene.

8.4.14. Bevis at den andre ordenskurven gitt av ligningen

,

er en parabel. Finn parameteren til denne parablen, koordinatene til toppunktene og fokus, skriv likningene til aksen og retningslinjen.

8.4.15. Reduser hver av de følgende ligningene til kanonisk form. Tegn på tegningen den tilsvarende andreordenskurven i forhold til det opprinnelige rektangulære koordinatsystemet:

8.4.16. Bruk invariant teori, bestem typen og lag den kanoniske ligningen for kurven.

Som vist ovenfor kan likninger av samme linje skrives i minst tre former: generelle likninger av linjen, parametriske likninger av linjen og kanoniske likninger av linjen. La oss vurdere spørsmålet om overgangen fra rettlinjeligninger av en type til rettlinjeligninger i en annen form.

Først legger vi merke til at hvis likningene til en linje er gitt i parametrisk form, er punktet som linjen går gjennom og retningsvektoren til linjen dermed gitt. Derfor er det ikke vanskelig å skrive ned likningene til en rett linje i kanonisk form.

Eksempel.

Linjens ligninger er gitt i parametrisk form

Løsning.

En rett linje går gjennom et punkt
og har en retningsvektor
. Følgelig har linjens kanoniske ligninger formen

.

Problemet med overgang fra linjens kanoniske likninger til linjens parametriske likninger løses på lignende måte.

Overgangen fra linjens kanoniske likninger til linjens generelle likninger diskuteres nedenfor ved hjelp av et eksempel.

Eksempel.

Linjens kanoniske ligninger er gitt

.

Skriv ned de generelle ligningene til en rett linje.

Løsning.

La oss skrive de kanoniske ligningene til linjen i form av et system med to ligninger

.

Å kvitte seg med nevnerne ved å multiplisere begge sider av den første ligningen med 6, og den andre ligningen med 4, får vi systemet

.

.

Det resulterende ligningssystemet er de generelle ligningene til den rette linjen.

La oss vurdere overgangen fra generelle likninger av linjen til parametriske og kanoniske likninger av linjen. For å skrive kanoniske eller parametriske ligninger for en linje, må du vite punktet som linjen går gjennom og retningsvektoren til linjen. Hvis vi bestemmer koordinatene til to punkter
Og
, liggende på en rett linje, så kan vektoren m tas som retningsvektor
. Koordinatene til to punkter som ligger på en linje kan fås som løsninger på et likningssystem som bestemmer linjens generelle likninger. Du kan ta hvilket som helst av punktene som punktet linjen går gjennom
Og
. La oss illustrere ovenstående med et eksempel.

Eksempel.

De generelle ligningene for den rette linjen er gitt

.

Løsning.

La oss finne koordinatene til to punkter som ligger på en rett linje som løsninger på dette ligningssystemet. Troende
, får vi et ligningssystem

.

Å løse dette systemet finner vi
. Derfor poenget
ligger på en rett linje. Troende
, får vi et ligningssystem

,

løse som vi finner
. Derfor går linjen gjennom punktet
. Da kan vi ta vektoren som retningsvektor

.

Så linjen går gjennom punktet
og har en retningsvektor
. Følgelig har de parametriske ligningene til linjen formen

.

Deretter vil de kanoniske ligningene til linjen skrives i skjemaet

.

En annen måte å finne retningsvektoren til en rett linje ved å bruke de generelle ligningene til en rett linje er basert på det faktum at i dette tilfellet er likningene til planene gitt, og derav normalene til disse planene.

La de generelle ligningene til linjen ha formen

Og - normaler til henholdsvis første og andre plan. Deretter vektoren
kan tas som en retningsvektor. Faktisk er den rette linjen, som er skjæringslinjen for disse planene, samtidig vinkelrett på vektorene Og . Derfor er den kollineær til vektoren
og dette betyr at denne vektoren kan tas som retningsvektor for den rette linjen. La oss se på et eksempel.

Eksempel.

De generelle ligningene for den rette linjen er gitt

.

Skriv ned de parametriske og kanoniske ligningene til linjen.

Løsning.

Den rette linjen er skjæringslinjen mellom plan og normaler
Og
. Vi tar den direkte vektoren som retningsvektoren

La oss finne et punkt som ligger på en linje. La oss finne et punkt som ligger på en linje. La
. Da får vi systemet

.

Løser systemet, finner vi
.Derfor punktum
ligger på en rett linje. Deretter kan de parametriske ligningene til linjen skrives på skjemaet

.

Linjens kanoniske ligninger har formen

.

Til slutt kan man gå over til kanoniske ligninger ved å eliminere en av variablene i en av ligningene, og deretter en annen variabel. La oss se på denne metoden med et eksempel.

Eksempel.

De generelle ligningene for den rette linjen er gitt

.

Skriv ned de kanoniske ligningene til linjen.

Løsning.

La oss ekskludere variabelen y fra den andre ligningen ved å legge til den første, multiplisert med fire. Vi får

.

.

La oss nå ekskludere variabelen fra den andre ligningen , og legger til den første ligningen multiplisert med to. Vi får

.

.

Herfra får vi den kanoniske ligningen til linjen

.

.

.