Matematikk, som jeg liker. Polynomer Hva består et polynom av?

For eksempel uttrykk:

en - b + c, x 2 - y 2 , 5x - 3y - z- polynomer.

Monomialene som utgjør et polynom kalles medlemmer av polynomet. Tenk på polynomet:

7en + 2b - 3c - 11

uttrykk: 7 en, 2b, -3c og -11 er leddene til polynomet. Legg merke til -11-terminen. Den inneholder ikke en variabel. Slike medlemmer som kun består av tall kalles gratis.

Det er generelt akseptert at enhver monomial er et spesialtilfelle av et polynom som består av ett ledd. I dette tilfellet er et monomer navnet på et polynom med ett ledd. For polynomer som består av to og tre ledd, er det også spesielle navn - henholdsvis binomial og trinomial:

7en- monomial

7en + 2b- binomial

7en + 2b - 3c- trinomial

Lignende medlemmer

Lignende medlemmer- monomer inkludert i et polynom som skiller seg fra hverandre bare ved koeffisient, fortegn, eller som ikke er forskjellige i det hele tatt (motstående monomer kan også kalles lignende). For eksempel, i et polynom:

3en 2 b

+

5abc 2

+

2en 2 b

-

7abc 2

-

2en 2 b

medlemmer 3 en 2 b, 2en 2 b og 2 en 2 b, samt medlemmer 5 abc 2 og -7 abc 2 er lignende termer.

Ta med lignende medlemmer

Hvis et polynom inneholder lignende termer, kan det reduseres til en enklere form ved å kombinere lignende termer til ett. Denne handlingen kalles bringe lignende medlemmer. Først av alt, la oss sette alle slike termer separat i parentes:

(3en 2 b + 2en 2 b - 2en 2 b) + (5abc 2 - 7abc 2)

For å kombinere flere lignende monomer til ett, må du legge til koeffisientene deres og la bokstavfaktorene være uendret:

((3 + 2 - 2)en 2 b) + ((5 - 7)abc 2) = (3en 2 b) + (-2abc 2) = 3en 2 b - 2abc 2

Å redusere lignende termer er operasjonen med å erstatte den algebraiske summen av flere lignende monomer med ett monomial.

Polynom av standardform

Polynom av standardform er et polynom hvis termer alle er monomer av standardform, blant hvilke det ikke finnes lignende termer.

For å bringe et polynom til standardform, er det nok å redusere lignende termer. Representer for eksempel uttrykket som et polynom av standardformen:

3xy + x 3 - 2xy - y + 2x 3

La oss først finne lignende termer:

Hvis alle medlemmer av et polynom av standardform inneholder samme variabel, er medlemmene vanligvis arrangert fra størst til minst grad. Frileddet til polynomet, hvis det er en, plasseres på siste plass - til høyre.

For eksempel et polynom

3x + x 3 - 2x 2 - 7

skal skrives slik:

x 3 - 2x 2 + 3x - 7

- polynomer. I denne artikkelen vil vi skissere all den innledende og nødvendige informasjonen om polynomer. Disse inkluderer for det første definisjonen av et polynom med tilhørende definisjoner av termene til polynomet, spesielt fritermen og lignende termer. For det andre vil vi dvele ved polynomer av standardformen, gi den passende definisjonen og gi eksempler på dem. Til slutt vil vi introdusere definisjonen av graden av et polynom, finne ut hvordan du finner det og snakke om koeffisientene til termene til polynomet.

Sidenavigering.

Polynom og dets termer - definisjoner og eksempler

I klasse 7 studeres polynomer umiddelbart etter monomialer, dette er forståelig, siden polynomdefinisjon gis gjennom monomialer. La oss gi denne definisjonen for å forklare hva et polynom er.

Definisjon.

Polynom er summen av monomer; Et monom regnes som et spesialtilfelle av et polynom.

Den skriftlige definisjonen lar deg gi så mange eksempler på polynomer du vil. Enhver av monomialene 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12, etc. er et polynom. Dessuten, per definisjon, 1+x, a 2 +b 2 og er polynomer.

For å gjøre det lettere å beskrive polynomer, introduseres en definisjon av et polynombegrep.

Definisjon.

Polynomiske termer er de konstituerende monomiene i et polynom.

For eksempel består polynomet 3 x 4 −2 x y+3−y 3 av fire ledd: 3 x 4 , −2 x y , 3 og −y 3 . Et monom regnes som et polynom som består av ett ledd.

Definisjon.

Polynomer som består av to og tre termer har spesielle navn - binomial Og trinomial hhv.

Så x+y er et binomial, og 2 x 3 q−q x x x+7 b er et trinomial.

På skolen må vi oftest jobbe med lineær binomial a x+b , der a og b er noen tall, og x er en variabel, samt c kvadratisk trinomium a·x 2 +b·x+c, der a, b og c er noen tall, og x er en variabel. Her er eksempler på lineære binomialer: x+1, x 7,2−4, og her er eksempler på kvadratiske trinomialer: x 2 +3 x−5 og .

Polynomer i notasjonen kan ha lignende termer. For eksempel, i polynomet 1+5 x−3+y+2 x er de lignende leddene 1 og −3, samt 5 x og 2 x. De har sitt eget spesielle navn - lignende termer av et polynom.

Definisjon.

Lignende termer for et polynom lignende termer i et polynom kalles.

I det forrige eksemplet er 1 og −3, samt paret 5 x og 2 x, lignende ledd i polynomet. I polynomer som har lignende termer, kan du utføre en reduksjon av lignende termer for å forenkle formen deres.

Polynom av standardform

For polynomer, som for monomer, er det en såkalt standardform. La oss gi uttrykk for den tilsvarende definisjonen.

Basert denne definisjonen, kan vi gi eksempler på polynomer av standardform. Så polynomene 3 x 2 −x y+1 og skrevet i standardform. Og uttrykkene 5+3 x 2 −x 2 +2 x z og x+x y 3 x z 2 +3 z er ikke polynomer av standardformen, siden den første av dem inneholder lignende ledd 3 x 2 og −x 2 , og i den andre - en monomial x·y 3 ·x·z 2, hvis form er forskjellig fra standarden.

Merk at du om nødvendig alltid kan redusere polynomet til standardform.

Et annet konsept relatert til polynomer av standardformen er konseptet med en fri term for et polynom.

Definisjon.

Friledd for et polynom er medlem av et polynom av standardform uten bokstavdel.

Med andre ord, hvis et polynom av standardform inneholder et tall, kalles det et fritt medlem. For eksempel er 5 frileddet til polynomet x 2 z+5, men polynomet 7 a+4 a b+b 3 har ikke friledd.

Grad av et polynom - hvordan finner jeg det?

En annen viktig relatert definisjon er definisjonen av graden av et polynom. Først definerer vi graden av et polynom av standardformen; denne definisjonen er basert på graden av monomialene som er i sammensetningen.

Definisjon.

Grad av et polynom av standardform er den største av potensene til monomialene som er inkludert i notasjonen.

La oss gi eksempler. Graden av polynomet 5 x 3 −4 er lik 3, siden monomialene 5 x 3 og −4 inkludert i det har henholdsvis grader 3 og 0, det største av disse tallene er 3, som er graden av polynomet per definisjon. Og graden av polynomet 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x lik det største av tallene 2+3=5, 4+1=5 og 1, det vil si 5.

La oss nå finne ut hvordan du finner graden av et polynom av hvilken som helst form.

Definisjon.

Graden av et polynom av vilkårlig form kalle graden av det tilsvarende polynomet av standardform.

Så hvis et polynom ikke er skrevet i standardform, og du må finne graden, må du redusere det opprinnelige polynomet til standardform, og finne graden av det resulterende polynomet - det vil være det nødvendige. La oss se på eksempelløsningen.

Eksempel.

Finn graden av polynomet 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Løsning.

Først må du representere polynomet i standardform:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Det resulterende polynomet av standardform inkluderer to monomialer −2·a 2 ·b 2 ·c 2 og y 2 ·z 2 . La oss finne potensene deres: 2+2+2=6 og 2+2=4. Den største av disse potensene er åpenbart 6, som per definisjon er potensen til et polynom av standardformen −2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2, og derfor graden av det opprinnelige polynomet., 3 x og 7 av polynomet 2 x−0,5 x y+3 x+7 .

Bibliografi.

• Algebra: lærebok for 7. klasse allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 17. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 240 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich. - 17. utgave, legg til. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Algebra og begynnelsen på matematisk analyse. 10. klasse: lærebok. for allmennutdanning institusjoner: grunnleggende og profil. nivåer / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; redigert av A. B. Zhizhchenko. - 3. utg. - M.: Utdanning, 2010.- 368 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for søkere til tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.

Det er merkelig at det lages likhet mellom et polynom og et polynom. Selv om så vidt jeg husker er dette forskjellige ting. Et polynom er det de skriver om her. Et polynom er forholdet mellom 2 polynomer. Jeg slo opp oversettelsen i ordboken engelske ord Jeg så et polynom som ble oversatt til polynom, og jeg ble ganske overrasket... Det viser seg at de ikke engang ser forskjellen. Angående det første eksempelet... Alt dette er bra, men er det en måte å konvertere direkte uten å angi ukjente koeffisienter? Denne metoden er for pretensiøs... Det er mye å si om polynomer. Dette går langt utenfor skolens rammer. Forskning pågår fortsatt! De. Emnet polynomer er ikke fullført. Jeg kan svare på spørsmålet om røtter i radikale. Generelt er det bevist at polynomer med grad over 4 ikke har løsninger i radikaler. Og de kan ikke løses analytisk i det hele tatt. Selv om noen typer er ganske løsbare. Men ikke alle... 3.gradsligningen har en Cardano-løsning. En 4. grads ligning har 2 typer formler. De er ganske komplekse og generelt er det ikke klart på forhånd om det finnes gyldige løsninger, de kan alle være komplekse. Et polynom med oddetall har alltid minst 1 reell rot. I teorien er formler for å løse likninger av selv 3. eller 4. grad ikke spesielt utbredt på grunn av deres kompleksitet. Og spørsmålet oppstår om hvilke røtter man bør vurdere. Tross alt har en ligning av n. grad nøyaktig n røtter, tatt i betraktning deres mangfold. For eksempel kan du løse en ligning numerisk ved å bruke Newtons metode. Alt er enkelt der. En iterasjonsformel er skrevet og det er ingen problemer. Lineær tilnærming. Den rette linjen skjærer OX-aksen kun ved 1. punkt. Kan ikke krysse hverandre, da er roten kompleks. Men også 1. Vel, det er klart at hvis et polynom med reelle koeffisienter har en kompleks rot, så har det også et komplekst konjugat. Men allerede i den kvadratiske tilnærmingen (denne metoden kalles parabelmetoden og andre varianter av denne Muller-metoden basert på de 2 foregående punktene osv.) oppstår problemer. For det første er det 2 røtter (MB hvis diskriminanten > 0) hvilken du skal velge? Selv om ligningen er kvadratisk. Du kan gå videre, ta den kubiske tilnærmingen (det fjerde leddet i Taylor-serien, for q tar vi 3) og til og med 4. grads tilnærmingen ved å ta 5 ledd i Taylor-serien. Konvergensen vil være superrask. Alt kan løses analytisk! Men jeg har aldri sett slike metoder noe sted i den matematiske litteraturen. Som regel bruker de Newtons metode fordi den er problemfri! Og uansett hvor kubikk- eller fjerdegradsligninger forekommer i teorien, skjer dette. Hvis du vil, prøv det selv! Jeg tror ikke du vil bli glad. Selv om jeg gjentar, er alt løst analytisk. Formlene vil bare være veldig kompliserte. Men det er ikke poenget. Mange andre problemer oppstår som ikke er relatert til kompleksitet.

§ 13. Hele funksjoner (polynomer) og deres grunnleggende egenskaper. Løse algebraiske ligninger på settet med komplekse tall 165

13.1. Grunnleggende definisjoner 165

13.2. Grunnleggende egenskaper for heltallspolynomer 166

13.3. Grunnleggende egenskaper til røttene til en algebraisk ligning 169

13.4. Løse grunnleggende algebraiske ligninger på settet med komplekse tall 173

13.5. Øvelser for selvstendig arbeid 176

Selvtestspørsmål 178

Ordliste 178

1. Grunnleggende definisjoner

En hel algebraisk funksjon eller algebraisk polynom (polynom )argument x kalt en funksjon av følgende type

Her n–grad av polynom ( naturlig tall eller 0), x – variabel (reell eller kompleks), en 0 , en 1 , …, en n –polynome koeffisienter (reelle eller komplekse tall), en 0  0.

For eksempel,

;
;
,
– kvadratisk trinomium;

,
;.

Antall X 0 slik at P n (x 0)0, kalt null funksjon P n (x) eller roten til ligningen
.

For eksempel,

røttene hans
,
,
.

fordi
Og
.

Merknad (om definisjonen av nuller for en hel algebraisk funksjon)

I litteraturen er funksjonsnuller ofte
kalles dets røtter. For eksempel tall
Og
kalles røttene til den kvadratiske funksjonen
.

1. Grunnleggende egenskaper for heltallspolynomer

 Identitet (3) er gyldig for  x 
(eller x  ), derfor er den gyldig for
; erstatte
, vi får EN n = b n. La oss gjensidig kansellere vilkårene i (3) EN n Og b n og dele begge deler med x:

Denne identiteten gjelder også for  x, inkludert når x= 0, så forutsatt x= 0, får vi EN n – 1 = b n – 1 .

La oss gjensidig kansellere vilkårene i (3") EN n– 1 og b n– 1 og del begge sider med x, som et resultat får vi

Hvis vi fortsetter resonnementet på samme måte, får vi det EN n – 2 = b n –2 , …, EN 0 = b 0 .

Dermed er det bevist at fra den identiske likheten til to heltallspolynomer følger det at koeffisientene deres sammenfaller for de samme potensene x.

Den omvendte setningen er ganske åpenbar, det vil si at hvis to polynomer har de samme alle koeffisientene, så er de de samme funksjonene definert på settet
Derfor faller verdiene deres sammen for alle verdiene i argumentet
, som betyr deres identiske likhet. Eiendom 1 er fullstendig påvist.

Eksempel (identisk likhet av polynomer)

.

 La oss skrive formelen for divisjon med en rest: P n (x) = (x – X 0)∙Q n – 1 (x) + EN,

Hvor Q n – 1 (x) - polynom av grad ( n – 1), EN- resten, som er et tall på grunn av den velkjente algoritmen for å dele et polynom med et binomial "i en kolonne".

Denne likheten gjelder for  x, inkludert når x = X 0 ; tro
, vi får

P n (x 0) = (x 0 – x 0)Q n – 1 (x 0) + EN  EN = P n (X 0) 

En konsekvens av den påviste egenskapen er et utsagn om deling uten resten av et polynom med et binomial, kjent som Bezouts teorem.

Bezouts teorem (om å dele et heltallspolynom med et binomial uten en rest)

Hvis nummeret er null av polynomet , så er dette polynomet delelig uten rest med differansen , det vil si at likheten er sann  (5)

 Beviset for Bezouts teorem kan utføres uten å bruke den tidligere beviste egenskapen til å dele et heltallspolynom
ved binomial
. Faktisk, la oss skrive formelen for å dele polynomet
ved binomial
med resten A=0:

La oss nå ta hensyn til det er null av polynomet
, og skriv siste likhet for
:

Eksempler (faktorerer et polynom ved å bruke Bezouts såkalte)

1) fordi P 3 (1)0;

2) fordi P 4 (–2)0;

3) fordi P 2 (–1/2)0.

Beviset for denne teoremet ligger utenfor rammen av kurset vårt. Derfor aksepterer vi teoremet uten bevis.

La oss jobbe med denne teoremet og Bezouts teorem med polynomet P n (x):

etter n-flere anvendelse av disse teoremene får vi det

Hvor en 0 er koeffisienten ved x n i polynomisk notasjon P n (x).

Hvis i likestilling (6) k tall fra settet X 1 ,X 2 , …X n faller sammen med hverandre og med tallet , så får vi i produktet til høyre faktoren ( x–) k. Så nummeret x= kalles k-fold rot av polynomet P n (x ) , eller roten av multiplisitet k . Hvis k= 1, deretter tallet
kalt enkel rot av et polynom P n (x ) .

Eksempler (polynom lineær faktorisering)

1) P 4 (x) = (x – 2)(x – 4) 3  x 1 = 2 - enkel rot, x 2 = 4 - trippelrot;

2) P 4 (x) = (x – Jeg) 4  x = Jeg- multiplisitetsrot 4.

Et polynom i variabelen x er et uttrykk for formen anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0,hvor n er et naturlig tall; en, an-1,..., a1, a0- alle tall som kalles koeffisienter for dette polynomet. Uttrykkene anxn, an-1xn-1,..., a1х, a0 kalles medlemmer av polynomet, a0- et gratis medlem.

Vi vil ofte bruke følgende begreper: an- koeffisient kl xn, an-1- koeffisient kl xn-1 etc.

Eksempler på polynomer er følgende uttrykk: 0x4+2x3+ (-3) x3+ (3/7) x+; 0x2+0x+3; 0x2+0x+0. Her, for det første polynomet, er koeffisientene tallene 0, 2, - 3, 3/7, ; i dette tilfellet, for eksempel, er tallet 2 koeffisienten til x3, og er frileddet.

Et polynom hvis koeffisienter alle er null kalles null.

Så for eksempel er polynomet 0x2+0x+0 null.

Fra notasjonen til et polynom er det klart at det består av flere medlemmer. Det er her begrepet ‹‹polynom›› (mange termer) kommer fra. Noen ganger kalles et polynom et polynom. Dette begrepet kommer fra de greske ordene???? - mye og???? - medlem.

Polynom i én variabel X vi vil betegne det som følger: f (x), g (x), h (x) etc. for eksempel, hvis det første av polynomene ovenfor er angitt med f (x), kan vi skrive: f (x) =0x4+2x3+ (-3) x2+3/7x+.

For å gjøre polynomnotasjonen enklere og mer kompakt ble vi enige om en rekke konvensjoner.

De leddene til et polynom som ikke er null, hvis koeffisienter er lik null, blir ikke skrevet ned. For eksempel, i stedet for f (x) =0x3+3x2+0x+5 skriver de: f (x) =3x2+5; i stedet for g (x) =0x2+0x+3 - g (x) =3. Dermed er hvert tall også et polynom. Et polynom h (x) hvor alle koeffisienter er lik null, dvs. null polynom skrives som følger: h (x) =0 .

Koeffisienter til et polynom som ikke er et fritt ledd og lik 1, skrives heller ikke ned. For eksempel kan polynomet f (x) =2x3+1x2+7x+1 skrives som følger: f (x) =x3+x2+7x+1.

Tegnet ‹‹-›› til en negativ koeffisient er tilordnet leddet som inneholder denne koeffisienten, dvs. polynomet f (x) =2x3+ (-3) x2+7x+ (-5) skrives for eksempel som f (x) ) =2x3 -3x2+7x-5. Videre, hvis koeffisienten, som ikke er en fri term, er lik - 1, holdes tegnet "-" foran det tilsvarende leddet, og enheten skrives ikke. For eksempel, hvis polynomet har formen f (x) =x3+ (-1) x2+3x+ (-1), kan det skrives som følger: f (x) =x3-x2+3x-1.

Spørsmålet kan oppstå: hvorfor for eksempel gå med på å erstatte 1x med x i notasjonen til et polynom hvis det er kjent at 1x = x for et hvilket som helst tall x? Poenget er at den siste likheten gjelder hvis x er et tall. I vårt tilfelle er x et element av vilkårlig natur. Dessuten har vi ennå ikke rett til å betrakte oppføringen 1x som produktet av tallet 1 og elementet x, fordi, vi gjentar, x ikke er et tall. Det er nettopp denne omstendigheten som forårsaker konvensjonene i å skrive et polynom. Og hvis vi fortsetter å snakke om produktet av for eksempel 2 og x uten noen grunn, så innrømmer vi en viss mangel på strenghet.

På grunn av konvensjoner i å skrive et polynom, tar vi hensyn til denne detaljen. Hvis det for eksempel er et polynom f (x) = 3x3-2x2-x+2, så er koeffisientene tallene 3, - 2, - 1.2. Selvfølgelig kan man si at koeffisientene er tallene 0, 3, - 2, - 1, 2, som betyr denne representasjonen av dette polynomet: f (x) = 0x4-3x2-2x2-x+2.

I fremtiden, for bestemthet, vil vi indikere koeffisientene, som starter med ikke-null, i den rekkefølgen de vises i notasjonen til polynomet. Dermed er koeffisientene til polynomet f (x) = 2x5-x tallene 2, 0, 0, 0, - 1, 0. Faktum er at selv om for eksempel leddet med x2 er fraværende i notasjonen, dette betyr bare at koeffisienten er lik null. Tilsvarende er det ingen ledig term i oppføringen, siden den er lik null.

Hvis det er et polynom f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 Og en?0, da kalles tallet n graden av polynomet f (x) (eller de sier: f (x) - n. grad) og skrive grader. f (x) =n. I dette tilfellet kalles an ledende koeffisient, og anxn er ledende ledd i dette polynomet.

For eksempel, hvis f (x) =5x4-2x+3, så grader f (x) =4, er ledende koeffisient 5, ledende ledd er 5x4.

La oss nå vurdere polynomet f (x) =a, hvor a er et tall som ikke er null. Hva er graden av dette polynomet? Det er lett å se at koeffisientene til polynomet f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 nummerert fra høyre til venstre med tallene 0, 1, 2, ..., n-1, n og hvis an?0, så grader f (x) =n. Dette betyr at graden av et polynom er det største av tallene til koeffisientene som er forskjellige fra null (med nummereringen som nettopp ble nevnt). La oss nå gå tilbake til polynomet f (x) =a, a?0, og nummer dens koeffisienter fra høyre til venstre med tallene 0, 1, 2, ... koeffisient a vil motta tallet 0, og siden alle andre koeffisienter er null, er dette det største antallet koeffisienter av denne annet polynom enn null. Så Art. f (x) =0.

Dermed er polynomer av grad null andre tall enn null.

Det gjenstår å finne ut hvordan situasjonen er med graden av nullpolynomet. Som kjent er alle koeffisientene lik null, og derfor kan ikke definisjonen ovenfor brukes på den. Så vi ble enige om å ikke tildele noen grad til nullpolynomet, dvs. at han ikke har en grad. Denne konvensjonen er forårsaket av noen omstendigheter som vil bli diskutert litt senere.

Så nullpolynomet har ingen grad; polynomet f (x) =a, hvor a er et tall som ikke er null og har grad 0; graden av et hvilket som helst annet polynom, som det er lett å se, er lik den største eksponenten til variabelen x, hvis koeffisient er lik null.

Avslutningsvis, la oss huske noen flere definisjoner. Polynom av andre grad f (x) =ax2+bx+ c kalles et kvadratisk trinomium. Førstegrads polynom av formen g (x) =x+c kalt et lineært binomial.