Differanseterning og forskjell på terninger: regler for bruk av forkortede multiplikasjonsformler. Forkortede multiplikasjonsformler Ufullstendig kubeforskjellsformel

Forkortede multiplikasjonsformler eller regler brukes i aritmetikk, nærmere bestemt algebra, for å fremskynde prosessen med å evaluere store algebraiske uttrykk. Selve formlene er avledet fra regler som eksisterer i algebra for å multiplisere flere polynomer.

Bruken av disse formlene gir en ganske rask løsning på ulike matematiske problemer, og bidrar også til å forenkle uttrykk. Reglene for algebraiske transformasjoner lar deg utføre noen manipulasjoner med uttrykk, hvoretter du kan oppnå uttrykket på høyre side på venstre side av likheten, eller transformere høyre side av likheten (for å få uttrykket på venstre side etter likhetstegnet).

Det er praktisk å kjenne formlene som brukes for forkortet multiplikasjon fra minnet, siden de ofte brukes til å løse problemer og ligninger. Nedenfor er hovedformlene inkludert i denne listen og navnene deres.

Kvadrat av summen

For å beregne kvadratet av summen, må du finne summen som består av kvadratet av det første leddet, to ganger produktet av det første leddet og det andre og kvadratet av det andre. I form av et uttrykk er denne regelen skrevet som følger: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Kvadratforskjell

For å beregne kvadratet av differansen, må du beregne summen som består av kvadratet av det første tallet, to ganger produktet av det første tallet og det andre (tatt med motsatt fortegn) og kvadratet av det andre tallet. I form av et uttrykk ser denne regelen slik ut: (a - c)² = a² - 2ac + c².

Forskjell på ruter

Formelen for forskjellen mellom to tall i annen er lik produktet av summen av disse tallene og deres forskjell. I form av et uttrykk ser denne regelen slik ut: a² - с² = (a + с)·(a - с).

Terning av sum

For å beregne kuben av summen av to ledd, må du beregne summen som består av kuben til det første leddet, tredoble produktet av kvadratet av det første leddet og det andre, tredoble produktet av det første leddet og det andre kvadrat, og kuben til andre ledd. I form av et uttrykk ser denne regelen slik ut: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Summen av terninger

I henhold til formelen er det lik produktet av summen av disse leddene og deres ufullstendige kvadrat av forskjellen. I form av et uttrykk ser denne regelen slik ut: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

Eksempel. Det er nødvendig å beregne volumet til en figur dannet ved å legge til to terninger. Bare størrelsen på sidene deres er kjent.

Hvis sideverdiene er små, er beregningene enkle.

Hvis lengdene på sidene er uttrykt i tungvinte tall, er det i dette tilfellet lettere å bruke formelen "Sum of Cubes", noe som vil forenkle beregningene.

Forskjellskube

Uttrykket for kubikkforskjellen høres slik ut: som summen av tredje potens av første ledd, tredoble det negative produktet av kvadratet av første ledd med det andre, tredoble produktet av første ledd med kvadratet av andre ledd og den negative terningen i andre ledd. I form av et matematisk uttrykk ser kuben av forskjellen slik ut: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Forskjell på kuber

Formelen for forskjell på kuber skiller seg fra summen av terninger med bare ett tegn. Dermed er forskjellen av terninger en formel lik produktet av forskjellen mellom disse tallene og deres ufullstendige kvadrat av summen. I skjemaet ser forskjellen mellom terninger slik ut: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).

Eksempel. Det er nødvendig å beregne volumet av figuren som vil forbli etter å ha trukket den gule volumetriske figuren, som også er en terning, fra volumet til den blå kuben. Bare sidestørrelsen på den lille og store kuben er kjent.

Hvis sideverdiene er små, er beregningene ganske enkle. Og hvis lengdene på sidene er uttrykt i betydelige tall, er det verdt å bruke formelen med tittelen "Difference of cubes" (eller "Cube of difference"), noe som i stor grad vil forenkle beregningene.

Forskjell på ruter

La oss utlede formelen for forskjellen mellom kvadratene $a^2-b^2$.

For å gjøre dette, husk følgende regel:

Hvis vi legger til et hvilket som helst monomial til uttrykket og trekker fra det samme monomialet, får vi riktig identitet.

La oss legge til uttrykket vårt og trekke fra det monomialet $ab$:

Totalt får vi:

Det vil si at forskjellen mellom kvadratene til to monomialer er lik produktet av forskjellen deres og summen deres.

Eksempel 1

Presenteres som et produkt $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\venstre(2x-y\høyre)(2x+y)\]

Summen av terninger

La oss utlede formelen for summen av terninger $a^3+b^3$.

La oss ta de vanlige faktorene ut av parentes:

La oss ta $\left(a+b\right)$ ut av parentes:

Totalt får vi:

Det vil si at summen av kubene til to monomialer er lik produktet av summen deres og partialkvadraten av forskjellen deres.

Eksempel 2

Presenteres som et produkt $(8x)^3+y^3$

Dette uttrykket kan skrives om som følger:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Ved å bruke formelen for forskjellen på kvadrater får vi:

\[((2x))^3+y^3=\venstre(2x+y\høyre)(4x^2-2xy+y^2)\]

Forskjell på kuber

La oss utlede formelen for forskjellen mellom terninger $a^3-b^3$.

For å gjøre dette bruker vi samme regel som ovenfor.

La oss legge til uttrykket vårt og trekke fra det monomialene $a^2b\ og\ (ab)^2$:

La oss ta de vanlige faktorene ut av parentes:

La oss ta $\left(a-b\right)$ ut av parentes:

Totalt får vi:

Det vil si at forskjellen mellom kubene til to monomer er lik produktet av forskjellen deres med det ufullstendige kvadratet av summen deres.

Eksempel 3

Presenteres som et produkt $(8x)^3-y^3$

Dette uttrykket kan skrives om som følger:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Ved å bruke formelen for forskjellen på kvadrater får vi:

\[((2x))^3-y^3=\venstre(2x-y\høyre)(4x^2+2xy+y^2)\]

Eksempel på oppgaver som bruker formler for forskjell av kvadrater og sum og forskjell av terninger

Eksempel 4

Faktor det ut.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Løsning:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Ved å bruke formelen for forskjellen på kvadrater får vi:

\[((a+5))^2-3^2=\venstre(a+5-3\høyre)\venstre(a+5+3\høyre)=\venstre(a+2\høyre)(a +8)\]

La oss skrive dette uttrykket i formen:

La oss bruke formelen med kuber:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

La oss skrive dette uttrykket i formen:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\venstre(\frac(1)(3)\høyre))^3-x^3\]

La oss bruke formelen med kuber:

\[(\venstre(\frac(1)(3)\høyre))^3-x^3=\venstre(\frac(1)(3)-x\høyre)\venstre(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\høyre\]

Forkortede multiplikasjonsformler (FMF) brukes til å eksponentisere og multiplisere tall og uttrykk. Ofte lar disse formlene deg gjøre beregninger mer kompakt og raskt.

I denne artikkelen vil vi liste opp de grunnleggende formlene for forkortet multiplikasjon, gruppere dem i en tabell, vurdere eksempler på bruk av disse formlene, og også dvele ved prinsippene for bevis for formler for forkortet multiplikasjon.

For første gang vurderes temaet FSU innenfor rammen av Algebrakurset for 7. trinn. Nedenfor er 7 grunnleggende formler.

Forkortede multiplikasjonsformler

1. formel for kvadratet av summen: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. kvadratforskjellsformel: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. sum terningformel: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. forskjellskubeformel: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. kvadratforskjellsformel: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. formel for summen av terninger: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. formel for forskjell på terninger: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Bokstavene a, b, c i disse uttrykkene kan være alle tall, variabler eller uttrykk. For enkel bruk er det bedre å lære de syv grunnleggende formlene utenat. La oss legge dem i en tabell og presentere dem nedenfor, og omringe dem med en ramme.

De fire første formlene lar deg beregne henholdsvis kvadratet eller terningen av summen eller differansen av to uttrykk.

Den femte formelen beregner forskjellen mellom kvadratene av uttrykk ved å multiplisere summen og differansen deres.

Den sjette og syvende formelen multipliserer henholdsvis summen og forskjellen av uttrykk med det ufullstendige kvadratet av forskjellen og det ufullstendige kvadratet av summen.

Den forkortede multiplikasjonsformelen kalles noen ganger også de forkortede multiplikasjonsidentitetene. Dette er ikke overraskende, siden enhver likhet er en identitet.

Ved løsning av praktiske eksempler brukes ofte forkortede multiplikasjonsformler med venstre og høyre side byttet. Dette er spesielt praktisk når du faktoriserer et polynom.

Ytterligere forkortede multiplikasjonsformler

La oss ikke begrense oss til algebrakurset i 7. klasse og legge til noen flere formler til FSU-tabellen vår.

La oss først se på Newtons binomiale formel.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 +. . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Her er C n k de binomiale koeffisientene som vises i linje nummer n i Pascals trekant. Binomiale koeffisienter beregnes ved å bruke formelen:

C n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2). . (n - (k - 1)) k !

Som vi kan se, er FSF for kvadratet og terningen av forskjellen og summen et spesialtilfelle av Newtons binomiale formel for henholdsvis n=2 og n=3.

Men hva om det er mer enn to ledd i summen som må heves til en makt? Formelen for kvadratet av summen av tre, fire eller flere ledd vil være nyttig.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

En annen formel som kan være nyttig er formelen for forskjellen mellom n-te potenser av to ledd.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Denne formelen er vanligvis delt inn i to formler - for henholdsvis partall og oddetall.

For selv 2m indikatorer:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + b 2 m - 2

For oddetallseksponenter 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. . + b 2 m

Forskjellen på kvadrater og forskjellen på kuberformler, som du gjettet, er spesielle tilfeller av denne formelen for henholdsvis n = 2 og n = 3. For forskjell på terninger erstattes b også med - b.

Hvordan lese forkortede multiplikasjonsformler?

Vi vil gi de passende formuleringene for hver formel, men først vil vi forstå prinsippet om å lese formler. Den mest praktiske måten å gjøre dette på er med et eksempel. La oss ta den aller første formelen for kvadratet av summen av to tall.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

De sier: kvadratet av summen av to uttrykk a og b er lik summen av kvadratet av det første uttrykket, to ganger produktet av uttrykkene og kvadratet av det andre uttrykket.

Alle andre formler leses på samme måte. For kvadratet av forskjellen a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 skriver vi:

kvadratet av forskjellen mellom to uttrykk a og b er lik summen av kvadratene til disse uttrykkene minus to ganger produktet av det første og andre uttrykket.

La oss lese formelen a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Terningen av summen av to uttrykk a og b er lik summen av kubene til disse uttrykkene, tredoble produktet av kvadratet av det første uttrykket med det andre, og tredoble produktet av kvadratet av det andre uttrykket med første uttrykk.

La oss gå videre til å lese formelen for forskjellen mellom terninger a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Terningen av forskjellen mellom to uttrykk a og b er lik kuben til det første uttrykket minus trippelproduktet av kvadratet til det første uttrykket og det andre, pluss trippelproduktet av kvadratet til det andre uttrykket og det første uttrykket , minus kuben til det andre uttrykket.

Den femte formelen a 2 - b 2 = a - b a + b (kvadratforskjell) lyder slik: forskjellen mellom kvadratene til to uttrykk er lik produktet av forskjellen og summen av de to uttrykkene.

For enkelhets skyld kalles uttrykk som a 2 + a b + b 2 og a 2 - a b + b 2 henholdsvis det ufullstendige kvadratet av summen og det ufullstendige kvadratet av differansen.

Tatt i betraktning kan formlene for summen og differansen av terninger leses som følger:

Summen av kubene til to uttrykk er lik produktet av summen av disse uttrykkene og delkvadraten av deres forskjell.

Forskjellen mellom kubene til to uttrykk er lik produktet av forskjellen mellom disse uttrykkene og delkvadraten av summen deres.

Bevis for FSU

Å bevise FSU er ganske enkelt. Basert på egenskapene til multiplikasjon vil vi multiplisere delene av formlene i parentes.

Tenk for eksempel på formelen for kvadratforskjellen.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

For å heve et uttrykk til andre potens, må du multiplisere dette uttrykket med seg selv.

a - b 2 = a - b a - b .

La oss utvide parentesene:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Formelen er bevist. De resterende FSU-ene er bevist på samme måte.

Eksempler på FSU-applikasjoner

Hensikten med å bruke forkortede multiplikasjonsformler er å raskt og konsist multiplisere og heve uttrykk til potenser. Dette er imidlertid ikke hele anvendelsesområdet for FSU. De er mye brukt til å redusere uttrykk, redusere brøker og faktorisere polynomer. La oss gi eksempler.

Eksempel 1. FSU

La oss forenkle uttrykket 9 y - (1 + 3 y) 2.

La oss bruke formelen for kvadratsummen og få:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Eksempel 2. FSU

La oss redusere brøken 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Vi legger merke til at uttrykket i telleren er forskjellen av terninger, og i nevneren er forskjellen av kvadrater.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Vi reduserer og får:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSUer hjelper også med å beregne verdiene til uttrykk. Det viktigste er å kunne legge merke til hvor formelen skal brukes. La oss vise dette med et eksempel.

La oss kvadrere tallet 79. I stedet for tungvinte beregninger, la oss skrive:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Det ser ut til at en kompleks beregning utføres raskt bare ved å bruke forkortede multiplikasjonsformler og en multiplikasjonstabell.

Et annet viktig poeng er valget av kvadratet til binomialet. Uttrykket 4 x 2 + 4 x - 3 kan konverteres til 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Slike transformasjoner er mye brukt i integrasjon.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

I tidligere leksjoner så vi på to måter å faktorisere et polynom på: å sette fellesfaktoren utenfor parentes Og grupperingsmetode.

I denne leksjonen skal vi se på en annen måte å faktorisere et polynom på ved hjelp av forkortede multiplikasjonsformler.

Vi anbefaler at du skriver hver formel minst 12 ganger. For bedre memorering, skriv ut alle de forkortede multiplikasjonsformlene for deg selv med en liten jukseark.

La oss huske hvordan forskjellen på kubeformelen ser ut.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Forskjellen på kuberformelen er ikke veldig lett å huske, så vi anbefaler å bruke spesiell måteå huske det.

Det er viktig å forstå at enhver forkortet multiplikasjonsformel også fungerer i motsatt side.

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

La oss se på et eksempel. Det er nødvendig å faktorisere forskjellen på kuber.

Vær oppmerksom på at "27a 3" er "(3a) 3", som betyr at for forskjellen mellom kubeformel, i stedet for "a" bruker vi "3a".

Vi bruker formelen for forskjellen på kuber. I stedet for "a 3" har vi "27a 3", og i stedet for "b 3", som i formelen, er det "b 3".

Bruk av forskjellen på terninger i motsatt retning

La oss se på et annet eksempel. Du må konvertere produktet av polynomer til forskjellen av kuber ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen.

Vær oppmerksom på at produktet av polynomene “(x − 1)(x 2 + x + 1)” ligner høyresiden av forskjellen mellom terninger formel “”, bare i stedet for “a” er det “x”, og på plass av "b" er det "1" .

For "(x − 1)(x 2 + x + 1)" bruker vi formelen for forskjellen på kuber i motsatt retning.

La oss se på et mer komplisert eksempel. Det er nødvendig å forenkle produktet av polynomer.

Hvis vi sammenligner "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" med høyre side av formelen for forskjellen på kuber
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)", så kan du forstå at i stedet for "a" fra den første parentesen er det "y 2", og i stedet for "b" er det "1".