Andre midtlinje trapesformel. Midtlinje av trapes. Trapesmidtlinjeteorem

Leksjonens mål:

1. Studer konseptet med midtlinjen til en trapes, bevis på egenskapen til midtlinjen, lær å anvende teoremet i ikke-standardiserte situasjoner når du løser problemer.

2. Å utvikle elevenes evne til å analysere, generalisere og bruke elementer av forskning og sammenligning.

3. Utvikle logisk tenkning, dyrke en kultur av matematisk tale, estetisk smak.

Utstyr:

1. Arbeidsstasjon, lerret, projektor
2. Presentasjon om emnet for leksjonen. ( applikasjon 1 )
3. Kort
4. Lærebok A.V. Pogorelova "Geometri"
5. Samlinger av Unified State Exam., 2004.

I løpet av timene

1. For å studere emnet for leksjonen trenger vi følgende teoretiske kunnskap.

Fortsett setningene:

1) En trapes er en firkant...

Bilde 1

2) Midtlinjen i trekanten er...

Figur 2

3) I en hvilken som helst trekant kan du konstruere... midtlinjer.

Figur 3

4) Midtlinjen i en trekant har egenskapen...

Figur 4

5) To trekanter er like hvis...

Figur 5

6) Når to parallelle linjer krysser en tredje sekant...

Figur 6

7) Hvis to linjer er parallelle med en tredje, så...

Figur 7

2. La oss introdusere konseptet med midtlinjen til en trapes:

Midtlinjen til en trapes er segmentet som forbinder midtpunktene på sidene.

Figur 8

(Elevene fullfører konstruksjoner i notatbøker)

1) Er definisjonen riktig: segmentet som forbinder midtpunktene til to sider av en trapes er midtlinjen? (Nei, ordet mangler lateralt sider).

2) Hvor mange midtlinjer kan bygges i en trapes? (Bare en).

3) Hvilke egenskaper har midtlinjen til en trapes? Mål bunnen av trapesen og lengden på midtlinjen. Hva er midtlinjen? (Halve summen av basene).

La oss prøve å bevise denne egenskapen.

3. Bevis for teoremet.

(På tavlen og i elevenes notatbøker er en tegning og registrering av teoremets betingelser).

Figur 9

Bevis

1) Vi kjenner egenskapen til midtlinjen til en trekant. Hvordan kan du dra nytte av dette? (Trenger en trekant). Hvordan få det? (Utfør tilleggskonstruksjon: tegn en rett linje gjennom C og M til den skjærer rett linje AD).

a) AM=MB (i henhold til betingelsen er MN midtlinjen)
b) A = B (ligger på tvers ved BC||AD og sekant AB)
c) AME = BMC (vertikale vinkler)

Derfor er EM=MC og EA=BC.

Figur 11

3) I Δ ECD: MN er midtlinjen per definisjon, deretter etter egenskap

a) MN || AD og BC || AD (etter tilstand). Derfor MN || B.C.
b) MN = ½ ED = ½ (EA+AD) = ½ (BC+AD).

Hele beviset bør gjentas og elevene bør gjøre notater i notatbøkene sine.

Vi gjentar bevisplanen:

1) Tegn en rett linje gjennom en av toppunktene på den øvre basen av trapesen og den motsatte enden av midtlinjen til den skjærer med fortsettelsen av den nedre basen.

2) Vi beviser likheten mellom de resulterende trekantene med et felles toppunkt.

3) Vi beviser at MN er midtlinjen til Δ ECD og bruker egenskapen til midtlinjen til en trekant

4. Hvor har uttrykket «halvsummen av basene til en trapes» allerede dukket opp?

1) I formelen S tr =h*(a+b)/2. Hvordan kan du lese denne formelen annerledes? (S tr =MN*h, hvor MN er midtlinjen i trapesen).

2) I egenskapen til en likebenet trapes: B 1 D = (a+b)/2.

Figur 12

Høyden i en likebenet trapes deler den største basen av trapesen i segmenter, hvor den største er lik halvparten av summen av basene. Derfor, i en likebenet trapes B1D=MN.

1) Festing. (Muntlig basert på utarbeidede tegninger)

Figur 13

2) Skriv det på tavlen

I. Pogorelov nr. 69, s. 101
II. *USE-2004, alternativ nr. 383, oppgave B9, side 40

(For forhold og løsninger på problemer, se Vedlegg 2).

6. Selvstendig arbeid med kort (differensiert)

nr. 1 (“3”) I en trapes er den ene basen 1,5 ganger større enn den andre, og midtlinjen er 5 cm Finn basene til trapesen.

(Løsning: Figur 14)

Figur 14

Nr. 2 (“4”) I en rettvinklet trapes er den stumpe vinkelen 1200, hovedsiden er 20 cm, og midtlinjen er 14 cm. Finn arealet av trapesen.

(Løsning: Figur 15)

Figur 15

Nr. 3 (“5”) I en likebenet trapes er høyden lik midtlinjen. Bevis at diagonalene er vinkelrett på hverandre.

(Løsning: Figur 16)

Figur 16

(Sjekk ditt selvstendige arbeid ved å bruke presentasjonen ved å bruke ferdige lysbilder nr. 18, 19, 20).

7. Lekser

1) Atanasyan L.S. "Geometri", avsnitt 85 (bevis fra en notatbok i henhold til Pogorelovs lære, s. 92); nr. 793, nr. 798, nr. 799

2)*Ershova A.L., s. 89 B-2 (nr. 2)

Videokurset "Få en A" inkluderer alle emnene som er nødvendige for å bestå Unified State Exam i matematikk med 60-65 poeng. Helt alle oppgaver 1-13 Profil Unified State Examination matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!

Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.

All nødvendig teori. Raske løsninger, fallgruver og hemmeligheter til Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.

Kurset inneholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.

Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling av romlig fantasi. Trigonometri fra scratch til problem 13. Forståelse i stedet for propp. Tydelige forklaringer av komplekse begreper. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Et grunnlag for å løse komplekse problemer i del 2 av Unified State Exam.

Konseptet med midtlinjen til trapesen

Først, la oss huske hva slags figur som kalles en trapes.

Definisjon 1

En trapes er en firkant der to sider er parallelle og de to andre ikke er parallelle.

I dette tilfellet kalles de parallelle sidene basene til trapesen, og de ikke-parallelle sidene kalles sidesidene av trapesen.

Definisjon 2

Midtlinjen til en trapes er et segment som forbinder midtpunktene på sidesidene av trapesen.

Trapesmidtlinjeteorem

Nå introduserer vi teoremet om midtlinjen til en trapes og beviser det ved hjelp av vektormetoden.

Teorem 1

Midtlinjen til trapesen er parallell med basene og lik deres halvsum.

Bevis.

La oss få en trapesformet $ABCD$ med basene $AD\ og\ BC$. Og la $MN$ være midtlinjen til denne trapesen (fig. 1).

Figur 1. Midtlinje av trapes

La oss bevise at $MN||AD\ og\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Tenk på vektoren $\overrightarrow(MN)$. Vi bruker deretter polygonregelen for å legge til vektorer. På den ene siden får vi det

På den andre siden

La oss legge til de to siste likhetene og få

Siden $M$ og $N$ er midtpunktene til sidesidene av trapesen, vil vi ha

Vi får:

Derfor

Fra den samme likheten (siden $\overrightarrow(BC)$ og $\overrightarrow(AD)$ er codirectional og derfor kollineær) får vi at $MN||AD$.

Teoremet er bevist.

Eksempler på problemer om konseptet med midtlinjen til en trapes

Eksempel 1

Sidesidene av trapesen er henholdsvis $15\ cm$ og $17\ cm$. Omkretsen til trapesen er $52\cm$. Finn lengden på midtlinjen til trapesen.

Løsning.

La oss betegne midtlinjen til trapesen med $n$.

Summen av sidene er lik

Derfor, siden omkretsen er $52\ cm$, er summen av basene lik

Så ved teorem 1 får vi

Svar:$10\cm$.

Eksempel 2

Endene av sirkelens diameter er henholdsvis $9$ cm og $5$ cm unna tangenten. Finn diameteren til denne sirkelen.

Løsning.

La oss få en sirkel med sentrum i punktet $O$ og diameter $AB$. La oss tegne en tangent $l$ og konstruere avstandene $AD=9\ cm$ og $BC=5\ cm$. La oss tegne radien $OH$ (fig. 2).

Figur 2.

Siden $AD$ og $BC$ er avstandene til tangenten, så $AD\bot l$ og $BC\bot l$ og siden $OH$ er radiusen, så $OH\bot l$, derfor $OH |\venstre|AD\høyre||BC$. Fra alt dette får vi at $ABCD$ er en trapes, og $OH$ er midtlinjen. Ved teorem 1 får vi

midtlinje figurer i planimetri - et segment som forbinder midtpunktene til to sider av en gitt figur. Konseptet brukes for følgende figurer: trekant, firkant, trapes.

Encyklopedisk YouTube

1 / 3

✪ 8. klasse, leksjon 25, midtre linje i en trekant

✪ geometri MIDTLINJE I EN TREKANT Atanasyan 8. klasse

✪ Trekantens midtlinje | Geometri 7-9 klasse #62 | Info leksjon

Undertekster

Midtlinje i trekanten

Egenskaper

• midtlinjen i trekanten er parallell med grunnflaten og lik halvparten av den.
• når alle tre midterste linjer krysser hverandre, dannes det 4 like trekanter som ligner (til og med homotetiske) som den opprinnelige med en koeffisient på 1/2.
• midtlinjen skjærer av en trekant som ligner på denne, og arealet er lik en fjerdedel av arealet til den opprinnelige trekanten.
• De tre midtre linjene i trekanten deler den inn i 4 like (identiske) trekanter, lik den opprinnelige trekanten. Alle 4 slike like trekanter kalles mediale trekanter. Den sentrale av disse 4 identiske trekantene kalles den komplementære trekanten.

Tegn

• hvis et segment er parallelt med en av sidene i trekanten og forbinder midtpunktet på den ene siden av trekanten til et punkt som ligger på den andre siden av trekanten, så er dette midtlinjen.

Midtlinje av en firkant

Midtlinje av en firkant- et segment som forbinder midtpunktene til motsatte sider av en firkant.

Egenskaper

Den første linjen forbinder 2 motsatte sider. Den andre forbinder de to andre motsatte sidene. Den tredje forbinder sentrene til to diagonaler (ikke i alle firkanter er diagonalene delt i to i skjæringspunktet).

• Hvis i en konveks firkant dannes midtlinjen like vinkler med diagonalene til en firkant, så er diagonalene like.
• Lengden på midtlinjen til en firkant er mindre enn halvparten av summen av de to andre sidene eller lik den hvis disse sidene er parallelle, og bare i dette tilfellet.
• Midtpunktene på sidene til en vilkårlig firkant er toppunktene til et parallellogram. Området er lik halvparten av arealet av firkanten, og sentrum ligger i skjæringspunktet mellom midtlinjene. Dette parallellogrammet kalles Varignons parallellogram;
• Det siste punktet betyr følgende: I en konveks firkant kan du tegne fire midtlinjer av den andre typen. Midtlinjer av den andre typen- fire segmenter inne i en firkant, som går gjennom midtpunktene på dens tilstøtende sider parallelt med diagonalene. Fire midtlinjer av den andre typen av en konveks firkant, kutt den i fire trekanter og en sentral firkant. Denne sentrale firkanten er et Varignon-parallellogram.
• Skjæringspunktet mellom midtlinjene til en firkant er deres felles midtpunkt og halverer segmentet som forbinder midtpunktene til diagonalene. Dessuten er hun det

Midtlinjen til en trapes, og spesielt dens egenskaper, brukes veldig ofte i geometri for å løse problemer og bevise visse teoremer.

er en firkant med bare 2 sider parallelle med hverandre. De parallelle sidene kalles baser (i figur 1 - AD Og B.C.), de to andre er laterale (i figuren AB Og CD).

Midtlinje av trapes er et segment som forbinder midtpunktene på sidene (i figur 1 - KL).

Egenskaper til midtlinjen til en trapes

Bevis for trapesmidtlinjeteoremet

Bevise at midtlinjen til en trapes er lik halvparten av summen av basene og er parallell med disse basene.

Gitt en trapes ABCD med midtlinje KL. For å bevise egenskapene som vurderes, er det nødvendig å tegne en rett linje gjennom punktene B Og L. I figur 2 er dette en rett linje BQ. Og også videreføre grunnlaget AD til skjæringspunktet med linjen BQ.

Tenk på de resulterende trekantene L.B.C. Og LQD:

1. Per definisjon av midtlinjen KL punktum L er midtpunktet i segmentet CD. Det følger at segmentene C.L. Og LD er like.
2. ∠BLC = ∠QLD, siden disse vinklene er vertikale.
3. ∠BCL = ∠LDQ, siden disse vinklene ligger på tvers på parallelle linjer AD Og B.C. og sekant CD.

Av disse 3 likhetene følger det at de tidligere betraktede trekantene L.B.C. Og LQD lik på 1 side og to tilstøtende vinkler (se fig. 3). Derfor, ∠LBC = ∠ LQD, BC=DQ og det viktigste - BL=LQ => KL, som er midtlinjen til trapesen ABCD, er også midtlinjen i trekanten ABQ. I henhold til egenskapen til midtlinjen til en trekant ABQ vi får.