Planbevegelse av et materialpunkt. Grunnleggende lover og formler i teoretisk mekanikk. Løse eksempler. Ligninger for planbevegelse av et stivt legeme

Teoretisk mekanikk er en del av mekanikken som beskriver de grunnleggende lovene for mekanisk bevegelse og mekanisk interaksjon mellom materielle legemer.

Teoretisk mekanikk er en vitenskap som studerer kroppens bevegelse over tid (mekaniske bevegelser). Det tjener som grunnlag for andre grener av mekanikk (teori om elastisitet, materialers styrke, teori om plastisitet, teori om mekanismer og maskiner, hydroaerodynamikk) og mange tekniske disipliner.

Mekanisk bevegelse- dette er en endring over tid i den relative posisjonen i rommet til materielle legemer.

Mekanisk interaksjon- dette er en interaksjon som et resultat av at den mekaniske bevegelsen endres eller den relative posisjonen til kroppsdeler endres.

Stiv kroppsstatikk

Statikk er en del av teoretisk mekanikk som omhandler problemer med likevekt mellom faste kropper og transformasjon av ett kraftsystem til et annet, tilsvarende det.

Grunnleggende begreper og lover for statikk
• Helt stiv kropp(fast kropp, kropp) er en materiell kropp, hvor avstanden mellom alle punkter ikke endres.
• Materialpunkt er en kropp hvis dimensjoner, i henhold til forholdene til problemet, kan neglisjeres.
• Fri kropp- Dette er et organ på bevegelsen som det ikke er pålagt restriksjoner på.
• Ufri (bundet) kropp er en kropp hvis bevegelse er underlagt restriksjoner.
• Tilkoblinger– dette er kropper som hindrer bevegelsen av den aktuelle gjenstanden (en kropp eller et system av kropper).
• Kommunikasjonsreaksjon er en kraft som karakteriserer virkningen av en binding på et fast legeme. Hvis vi anser kraften som et fast legeme virker på en binding som en handling, så er bindingens reaksjon en reaksjon. I dette tilfellet påføres kraften - handlingen på forbindelsen, og reaksjonen av forbindelsen påføres den faste kroppen.
• Mekanisk system er en samling av sammenkoblede kropper eller materielle punkter.
• Fast kan betraktes som et mekanisk system, hvis posisjoner og avstander mellom punktene ikke endres.
• Makt er en vektormengde som karakteriserer den mekaniske virkningen av en materialkropp på en annen.
  Kraft som vektor er preget av påføringspunkt, handlingsretning og absolutt verdi. Enheten for kraftmodul er Newton.
• kraftlinje er en rett linje som kraftvektoren er rettet langs.
• Fokusert kraft– kraft påført på ett punkt.
• Fordelte krefter (fordelt last)- dette er krefter som virker på alle punkter av volumet, overflaten eller lengden av et legeme.
  Den fordelte lasten er spesifisert av kraften som virker per volumenhet (overflate, lengde).
  Dimensjonen på den fordelte lasten er N/m 3 (N/m 2, N/m).
• Ekstern kraft er en kraft som virker fra et legeme som ikke tilhører det mekaniske systemet som vurderes.
• Indre styrke er en kraft som virker på et materialpunkt i et mekanisk system fra et annet materialpunkt som tilhører det aktuelle systemet.
• Force system er et sett med krefter som virker på et mekanisk system.
• Flat kraftsystem er et system av krefter hvis handlingslinjer ligger i samme plan.
• Romlig kraftsystem er et system av krefter hvis handlingslinjer ikke ligger i samme plan.
• System av konvergerende krefter er et system av krefter hvis handlingslinjer krysser hverandre i ett punkt.
• Vilkårlig styrkesystem er et system av krefter hvis handlingslinjer ikke krysser hverandre på ett punkt.
• Ekvivalente kraftsystemer- dette er kraftsystemer, hvis utskifting med en annen ikke endrer kroppens mekaniske tilstand.
  Akseptert betegnelse:.
• Likevekt- dette er en tilstand der en kropp, under påvirkning av krefter, forblir ubevegelig eller beveger seg jevnt i en rett linje.
• Balansert kraftsystem- dette er et kraftsystem som, når det påføres et fritt fast legeme, ikke endrer sin mekaniske tilstand (ikke kaster det ut av balanse).
  .
• Resulterende kraft er en kraft hvis virkning på et legeme tilsvarer virkningen av et kraftsystem.
  .
• Kraftens øyeblikk er en størrelse som karakteriserer rotasjonsevnen til en kraft.
• Et par krefter er et system med to parallelle krefter av samme størrelse og motsatt rettet.
  Akseptert betegnelse:.
  Under påvirkning av et par krefter vil kroppen utføre en rotasjonsbevegelse.
• Projeksjon av kraft på aksen- dette er et segment innelukket mellom perpendikulære tegnet fra begynnelsen og slutten av kraftvektoren til denne aksen.
  Projeksjonen er positiv hvis retningen til segmentet faller sammen med den positive retningen til aksen.
• Projeksjon av kraft på et fly er en vektor på et plan, innelukket mellom perpendikulære tegnet fra begynnelsen og slutten av kraftvektoren til dette planet.
• Lov 1 (treghetslov). Et isolert materialpunkt er i ro eller beveger seg jevnt og rettlinjet.
  Den jevne og rettlinjede bevegelsen til et materialpunkt er treghetsbevegelse. Likevektstilstanden til et materiell punkt og en stiv kropp forstås ikke bare som en hviletilstand, men også som bevegelse ved treghet. For en solid kropp er det forskjellige typer bevegelse ved treghet, for eksempel jevn rotasjon av et stivt legeme rundt en fast akse.
• lov 2. Et stivt legeme er i likevekt under påvirkning av to krefter bare hvis disse kreftene er like store og rettet i motsatte retninger langs en felles handlingslinje.
  Disse to kreftene kalles balansering.
  Generelt kalles krefter balansert hvis det faste legemet som disse kreftene påføres er i ro.
• lov 3. Uten å forstyrre tilstanden (ordet "tilstand" betyr her tilstanden av bevegelse eller hvile) til en stiv kropp, kan man legge til og avvise balanserende krefter.
  Konsekvens. Uten å forstyrre tilstanden til den faste kroppen, kan kraften overføres langs dens virkelinje til et hvilket som helst punkt på kroppen.
  To kraftsystemer kalles ekvivalente hvis det ene av dem kan erstattes av det andre uten å forstyrre tilstanden til det faste legemet.
• lov 4. Resultaten av to krefter påført på ett punkt, påført på samme punkt, er lik diagonalen til et parallellogram konstruert på disse kreftene, og er rettet langs denne
  diagonaler.
  Den absolutte verdien av resultanten er:
  
• Lov 5 (loven om like handling og reaksjon). Kraftene som to legemer virker på hverandre med er like store og rettet i motsatte retninger langs den samme rette linjen.
  Det bør man ha i bakhodet handling- kraft påført kroppen B, Og motstand- kraft påført kroppen EN, er ikke balansert, siden de brukes på forskjellige kropper.
• Lov 6 (lov om størkning). Likevekten til et ikke-fast legeme blir ikke forstyrret når det størkner.
  Det bør ikke glemmes at likevektsforholdene, som er nødvendige og tilstrekkelige for et fast legeme, er nødvendige, men utilstrekkelige for det tilsvarende ikke-faste legeme.
• Lov 7 (lov om frigjøring fra bånd). En ikke-fri fast kropp kan betraktes som fri hvis den er mentalt frigjort fra bindinger, og erstatter virkningen av bindingene med de tilsvarende reaksjonene til bindingene.

Forbindelser og deres reaksjoner
• Glatt overflate begrenser bevegelsen normalt på støtteflaten. Reaksjonen er rettet vinkelrett på overflaten.
• Leddet bevegelig støtte begrenser kroppens bevegelse normalt til referanseplanet. Reaksjonen er rettet normalt mot underlagets overflate.
• Leddet fast støtte motvirker enhver bevegelse i et plan vinkelrett på rotasjonsaksen.
• Leddet vektløs stang motvirker kroppens bevegelse langs stangens linje. Reaksjonen vil bli rettet langs linjen til stangen.
• Blind tetning motvirker enhver bevegelse og rotasjon i planet. Virkningen kan erstattes av en kraft representert i form av to komponenter og et par krefter med et moment.

Kinematikk

Kinematikk- en del av teoretisk mekanikk som undersøker de generelle geometriske egenskapene til mekanisk bevegelse som en prosess som skjer i rom og tid. Objekter i bevegelse betraktes som geometriske punkter eller geometriske kropper.

Grunnleggende begreper i kinematikk
• Lov om bevegelse av et punkt (kropp)– dette er avhengigheten av posisjonen til et punkt (kropp) i rommet på tid.
• Punktbane– dette er den geometriske plasseringen av et punkt i rommet under dets bevegelse.
• Hastigheten til et punkt (kropp)– dette er en karakteristikk av endringen i tid av posisjonen til et punkt (kropp) i rommet.
• Akselerasjon av et punkt (kropp)– dette er en karakteristikk av endringen i tid av hastigheten til et punkt (kropp).

Bestemmelse av kinematiske egenskaper til et punkt
• Punktbane
  I et vektorreferansesystem beskrives banen ved uttrykket: .
  I koordinatreferansesystemet er banen bestemt av punktets bevegelseslov og beskrives av uttrykkene z = f(x,y)- i verdensrommet, eller y = f(x)- i et fly.
  I et naturlig referansesystem er banen spesifisert på forhånd.
• Bestemme hastigheten til et punkt i et vektorkoordinatsystem
  Når du spesifiserer bevegelsen til et punkt i et vektorkoordinatsystem, kalles forholdet mellom bevegelse og et tidsintervall gjennomsnittsverdien av hastighet over dette tidsintervallet: .
  Ved å ta tidsintervallet til å være en uendelig liten verdi, får vi hastighetsverdien på et gitt tidspunkt (øyeblikkelig hastighetsverdi): .
  Gjennomsnittshastighetsvektoren er rettet langs vektoren i retningen av punktets bevegelse, den momentane hastighetsvektoren er rettet tangentielt til banen i retningen av punktets bevegelse.
  Konklusjon: hastigheten til et punkt er en vektormengde lik den tidsderiverte av bevegelsesloven.
  Avledet egenskap: den deriverte av enhver mengde med hensyn til tid bestemmer endringshastigheten for denne mengden.
• Bestemme hastigheten til et punkt i et koordinatreferansesystem
  Hastighet for endring av punktkoordinater:
  .
  Modulen til den totale hastigheten til et punkt med et rektangulært koordinatsystem vil være lik:
  .
  Retningen til hastighetsvektoren bestemmes av cosinusene til retningsvinklene:
  ,
  hvor er vinklene mellom hastighetsvektoren og koordinataksene.
• Bestemme hastigheten til et punkt i et naturlig referansesystem
  Hastigheten til et punkt i det naturlige referansesystemet er definert som den deriverte av punktets bevegelseslov: .
  I følge tidligere konklusjoner er hastighetsvektoren rettet tangentielt til banen i retning av punktets bevegelse og i aksene bestemmes kun av én projeksjon.

Stiv kroppskinematikk
• I kinematikken til stive legemer løses to hovedproblemer:
  1) å stille inn bevegelsen og bestemme de kinematiske egenskapene til kroppen som helhet;
  2) bestemmelse av kinematiske egenskaper til kroppspunkter.
• Translasjonsbevegelse av en stiv kropp
  Translasjonsbevegelse er en bevegelse der en rett linje trukket gjennom to punkter på en kropp forblir parallell med dens opprinnelige posisjon.
  Teorem: under translasjonsbevegelse beveger alle punkter i kroppen seg langs identiske baner og har i hvert øyeblikk samme størrelse og retning av hastighet og akselerasjon.
  Konklusjon: translasjonsbevegelsen til et stivt legeme bestemmes av bevegelsen til noen av dets punkter, og derfor reduseres oppgaven og studien av bevegelsen til punktets kinematikk.
• Rotasjonsbevegelse av en stiv kropp rundt en fast akse
  Rotasjonsbevegelse av et stivt legeme rundt en fast akse er bevegelsen til et stivt legeme der to punkter som tilhører kroppen forblir ubevegelige under hele bevegelsestiden.
  Kroppens posisjon bestemmes av rotasjonsvinkelen. Måleenheten for vinkel er radian. (En radian er den sentrale vinkelen til en sirkel, hvis buelengde er lik radiusen; den totale vinkelen til sirkelen inneholder 2π radian.)
  Loven om rotasjonsbevegelse av et legeme rundt en fast akse.
  Vi bestemmer vinkelhastigheten og vinkelakselerasjonen til kroppen ved å bruke differensieringsmetoden:
  — vinkelhastighet, rad/s;
  — vinkelakselerasjon, rad/s².
  Hvis du dissekerer kroppen med et plan vinkelrett på aksen, velg et punkt på rotasjonsaksen MED og et vilkårlig poeng M, så pek M vil beskrive rundt et punkt MED sirkelradius R. I løpet av dt det er en elementær rotasjon gjennom en vinkel , og punktet M vil bevege seg langs banen et stykke .
  Lineær hastighetsmodul:
  .
  Punktakselerasjon M med en kjent bane bestemmes den av komponentene:
  ,
  Hvor .
  Som et resultat får vi formlene
  tangentiell akselerasjon: ;
  normal akselerasjon: .

Dynamikk

Dynamikk er en del av teoretisk mekanikk der de mekaniske bevegelsene til materielle legemer studeres avhengig av årsakene som forårsaker dem.

Grunnleggende begreper om dynamikk
• Treghet- dette er egenskapen til materielle kropper for å opprettholde en hviletilstand eller jevn rettlinjet bevegelse inntil ytre krefter endrer denne tilstanden.
• Vekt er et kvantitativt mål på tregheten til en kropp. Masseenheten er kilogram (kg).
• Materialpunkt- dette er en kropp med masse, hvis dimensjoner blir neglisjert når du løser dette problemet.
• Massesenteret til et mekanisk system- et geometrisk punkt hvis koordinater bestemmes av formlene:
  
  Hvor m k, x k, y k, z k— masse og koordinater k- det punktet av det mekaniske systemet, m— massen til systemet.
  I et ensartet tyngdefelt faller posisjonen til massesenteret sammen med posisjonen til tyngdepunktet.
• Treghetsmoment for en materiell kropp i forhold til en akse er et kvantitativt mål på treghet under rotasjonsbevegelse.
  Treghetsmomentet til et materialpunkt i forhold til aksen er lik produktet av punktets masse med kvadratet av avstanden til punktet fra aksen:
  .
  Treghetsmomentet til systemet (kroppen) i forhold til aksen er lik den aritmetiske summen av treghetsmomentene til alle punkter:
  
• Treghetskraften til et materialpunkt er en vektormengde lik i modul med produktet av massen til et punkt og akselerasjonsmodulen og rettet motsatt av akselerasjonsvektoren:
• Treghetskraften til en materiell kropp er en vektormengde som i modul er lik produktet av kroppsmassen og akselerasjonsmodulen til kroppens massesenter og rettet motsatt av akselerasjonsvektoren til massesenteret: ,
  hvor er akselerasjonen til kroppens massesenter.
• Elementær kraftimpuls er en vektormengde lik produktet av kraftvektoren og en uendelig liten tidsperiode dt:
  .
  Den totale kraftimpulsen for Δt er lik integralet av de elementære impulsene:
  .
• Elementært kraftarbeid er en skalar mengde dA, lik skalarproi

Kinematikk til et punkt, kinematikk til et stivt legeme, translasjonsbevegelse, rotasjonsbevegelse, planparallell bevegelse, teorem om hastighetsprojeksjoner, øyeblikkelig senter av hastigheter, bestemmelse av hastigheten og akselerasjonen av punktene til et plan legeme, kompleks bevegelse av et punkt

Innhold

Stiv kroppskinematikk

For å unikt bestemme posisjonen til en stiv kropp, må du spesifisere tre koordinater (x A , y A , z A ) ett av punktene A på kroppen og tre rotasjonsvinkler. Dermed blir posisjonen til et stivt legeme bestemt av seks koordinater. Det vil si at en stiv kropp har seks frihetsgrader.

I det generelle tilfellet er avhengigheten av koordinatene til punktene på en stiv kropp i forhold til et fast koordinatsystem bestemt av ganske tungvinte formler. Hastighetene og akselerasjonene til punktene bestemmes imidlertid ganske enkelt. For å gjøre dette, må du vite avhengigheten av koordinatene til tiden til ett, vilkårlig valgt punkt A og vinkelhastighetsvektoren. Ved å differensiere med hensyn til tid finner vi hastigheten og akselerasjonen til punkt A og vinkelakselerasjonen til kroppen:
; ; .
Da bestemmes hastigheten og akselerasjonen til et punkt i et legeme med en radiusvektor av formlene:
(1) ;
(2) .
Her og nedenfor betyr produkter av vektorer i firkantede parenteser vektorprodukter.

Noter det vinkelhastighetsvektoren er den samme for alle punkter på kroppen. Det er ikke avhengig av koordinatene til kroppspunktene. Også vinkelakselerasjonsvektoren er den samme for alle punkter i kroppen.

Se formelutdata (1) Og (2) på side: Hastighet og akselerasjon av punkter i en stiv kropp > > >

Translasjonsbevegelse av en stiv kropp

Under translasjonsbevegelse er vinkelhastigheten null. Hastighetene til alle punkter på kroppen er like. Enhver rett linje tegnet i kroppen beveger seg og forblir parallelt med dens opprinnelige retning. Derfor, for å studere bevegelsen til et stivt legeme under translasjonsbevegelse, er det nok å studere bevegelsen til et hvilket som helst punkt i denne kroppen. Se avsnitt.

Ensartet akselerert bevegelse

La oss vurdere tilfellet med jevnt akselerert bevegelse. La projeksjonen av akselerasjonen til et punkt i kroppen på x-aksen være konstant og lik en x. Da avhenger projeksjonen av hastigheten v x og x - koordinaten til dette punktet av tiden t i henhold til loven:
v x = v x 0 + a x t;
,
hvor v x 0 og x 0 - hastighet og koordinat for punktet i det innledende tidspunktet t = 0 .

Rotasjonsbevegelse av en stiv kropp

Tenk på en kropp som roterer rundt en fast akse. La oss velge et fast koordinatsystem Oxyz med sentrum i punkt O. La oss rette z-aksen langs rotasjonsaksen. Vi antar at z-koordinatene til alle punkter i kroppen forblir konstante. Da skjer bevegelsen i xy-planet. Vinkelhastighet ω og vinkelakselerasjon ε er rettet langs z-aksen:
; .
La φ være rotasjonsvinkelen til kroppen, som avhenger av tiden t. Å differensiere med hensyn til tid, finner vi projeksjoner av vinkelhastighet og vinkelakselerasjon til z-aksen:
;
.

La oss vurdere bevegelsen til et punkt M, som ligger i en avstand r fra rotasjonsaksen. Bevegelsesbanen er en sirkel (eller en sirkelbue) med radius r.
Punkthastighet:
v = ωr.
Hastighetsvektoren er rettet tangentielt til banen.
Tangentiell akselerasjon:
a τ = ε r .
Tangentialakselerasjonen er også rettet tangentielt til banen.
Normal akselerasjon:
.
Den er rettet mot rotasjonsaksen O.
Full akselerasjon:
.
Siden vektorene og er vinkelrett på hverandre, da akselerasjonsmodul:
.

Ensartet akselerert bevegelse

Ved jevnt akselerert bevegelse, der vinkelakselerasjonen er konstant og lik ε, endres vinkelhastigheten ω og rotasjonsvinkelen φ med tiden t i henhold til loven:
ω = ω 0 + εt;
,
hvor ω 0 og φ 0 - vinkelhastighet og rotasjonsvinkel i det innledende tidspunktet t = 0 .

Planparallell bevegelse av en stiv kropp

Planparallell eller flat er bevegelsen til et stivt legeme der alle punktene beveger seg parallelt med et fast plan. La oss velge et rektangulært koordinatsystem Oxyz. Vi vil plassere x- og y-aksene i planet der punktene på kroppen beveger seg. Da forblir alle z - koordinatene til kroppens punkter konstante, z - komponenter av hastigheter og akselerasjoner er lik null. Vektorene for vinkelhastighet og vinkelakselerasjon er tvert imot rettet langs z-aksen. Deres x- og y-komponenter er null.

Projeksjonene av hastighetene til to punkter av et stivt legeme på en akse som går gjennom disse punktene er lik hverandre.
vA cos α = v B cos β.

Øyeblikkelig hastighetssenter

Øyeblikkelig hastighetssenter er punktet til en plan figur hvis hastighet for øyeblikket er null.

For å bestemme posisjonen til det øyeblikkelige senteret av hastighetene P til en flat figur, trenger du bare å vite retningene til hastighetene og dens to punkter A og B. For å gjøre dette, tegn en rett linje gjennom punkt A vinkelrett på hastighetsretningen. Gjennom punkt B trekker vi en rett linje vinkelrett på hastighetsretningen. Skjæringspunktet for disse linjene er det øyeblikkelige sentrum av hastighetene P. Vinkelhastighet for kroppsrotasjon:
.

Hvis hastighetene til to punkter er parallelle med hverandre, så er ω = 0 . Hastighetene til alle punkter på kroppen er lik hverandre (på et gitt tidspunkt).

Hvis hastigheten til et punkt A på et flatt legeme og dets vinkelhastighet ω er kjent, bestemmes hastigheten til et vilkårlig punkt M av formelen (1) , som kan representeres som summen av translasjons- og rotasjonsbevegelse:
,
hvor er hastigheten på rotasjonsbevegelsen til punktet M i forhold til punktet A. Det vil si hastigheten som punktet M ville ha når den roterer i en sirkel med radius |AM| med vinkelhastighet ω hvis punkt A var stasjonært.
Relativ hastighetsmodul:
v MA = ω |AM| .
Vektoren er rettet tangent til sirkelen med radius |AM| med sentrum i punkt A.

Bestemmelse av akselerasjoner av punkter i et flatt legeme utføres ved hjelp av formelen (2) . Akselerasjonen til ethvert punkt M er lik vektorsummen av akselerasjonen til et punkt A og akselerasjonen til punkt M under rotasjon rundt punkt A, med tanke på at punkt A er stasjonært:
.
kan dekomponeres i tangentielle og normale akselerasjoner:
.
Tangentiell akselerasjon er rettet tangentielt til banen. Normal akselerasjon er rettet fra punkt M til punkt A. Her er ω og ε vinkelhastigheten og vinkelakselerasjonen til kroppen.

Kompleks punktbevegelse

La O 1 x 1 y 1 z 1- fast rektangulært koordinatsystem. Hastigheten og akselerasjonen til punkt M i dette koordinatsystemet vil bli kalt absolutt hastighet og absolutt akselerasjon.

La Oxyz være et bevegelig rektangulært koordinatsystem, for eksempel stivt forbundet med et bestemt stivt legeme som beveger seg i forhold til systemet O 1 x 1 y 1 z 1. Hastigheten og akselerasjonen til punkt M i Oxyz-koordinatsystemet vil kalles relativ hastighet og relativ akselerasjon. La være rotasjonsvinkelhastigheten til systemet Oxyz i forhold til O 1 x 1 y 1 z 1.

La oss vurdere et punkt som på et gitt tidspunkt faller sammen med punkt M og er ubevegelig i forhold til Oxyz-systemet (et punkt som er stivt forbundet med et fast legeme). Hastighet og akselerasjon av et slikt punkt i koordinatsystemet O 1 x 1 y 1 z 1 vi vil kalle det bærbar hastighet og bærbar akselerasjon.

Hastighetsaddisjonsteorem

Den absolutte hastigheten til et punkt er lik vektorsummen av de relative og bærbare hastighetene:
.

Akselerasjonsaddisjonsteorem (Coriolis-teorem)

Den absolutte akselerasjonen til et punkt er lik vektorsummen av de relative, transport- og Coriolis-akselerasjonene:
,
Hvor
- Coriolis-akselerasjon.

Referanser:
S. M. Targ, kortkurs i teoretisk mekanikk, " forskerskolen", 2010.

Flat(planparallell) kalt. en slik bevegelse der alle punktene beveger seg parallelt med et eller annet fast plan. Ligninger for planbevegelse: x A = f 1 (t), y A = f 2 (t), j = f 3 (t), punkt A kalles. stang. Planbevegelsen til et fast legeme består av translasjonsbevegelse, der alle punkter i kroppen beveger seg på samme måte som polen (A), og rotasjonsbevegelse rundt denne polen. Translasjonsbevegelsen avhenger av valget av pol, men størrelsen og retningen på rotasjonsvinkelen er uavhengige.

Flat bevegelse Et stivt legeme kalles en slik bevegelse der hvert av punktene beveger seg hele tiden i samme plan.

Planene der individuelle punkter på kroppen beveger seg er parallelle med hverandre og parallelle med samme faste plan. Planbevegelsen til et stivt legeme kalles ofte planparallell. Banene til kroppspunkter i planbevegelse er plankurver.

Planbevegelsen til et stivt legeme har veldig viktig innen teknologi. Rotasjonsbevegelsen til et stivt legeme rundt en fast akse er et spesielt tilfelle av bevegelsen til et stivt legeme.

Når du studerer planbevegelse, som alle andre, er det nødvendig å vurdere metoder for å spesifisere denne bevegelsen, samt metoder for å beregne hastigheter og akselerasjoner av kroppspunkter.

Hvis du tegner en viss linje O 1 O 2 i kroppen, vinkelrett på planene der punktene beveger seg, vil alle punktene på denne linjen bevege seg langs de samme banene med samme hastigheter og akselerasjoner; selve den rette linjen vil naturligvis opprettholde sin orientering i rommet. Således, med en flat bevegelse av et stivt legeme, er det nok å vurdere bevegelsen til en av delene av kroppen.

Vi vil kalle delen av et solid legeme en plan figur. Posisjonen til en figur på planet er fullstendig bestemt av posisjonen til et rett linjesegment som er stivt festet til denne flate figuren.

Ligninger for planbevegelse av et stivt legeme

For å spesifisere posisjonen til en flat figur på et plan i forhold til koordinatsystemet som ligger i figurens plan, er det nok å spesifisere på dette planet posisjonen til segmentet AB festet til figuren.

Posisjonen til segmentet AB i forhold til koordinatsystemet bestemmes ved å spesifisere koordinatene til et hvilket som helst punkt på dette segmentet og dets retning. For eksempel koordinatene til punkt A () og retningen gitt av vinkelen.

Bevegelsesligningene til en flat figur i forhold til koordinatsystemet har formen:.

En stiv kropp i plan bevegelse har tre frihetsgrader.

er kalt ligninger for planbevegelse av et stivt legeme .

La oss gå videre til å studere bevegelsen til et enkelt punkt i en stiv kropp. Posisjonen til ethvert punkt M i en flat figur i forhold til et bevegelig referansesystem , festet til denne bevegelige figuren og som ligger i dens plan, bestemmes fullstendig ved å spesifisere x- og y-koordinatene til punkt M (fig. 6-3).

Det er en sammenheng mellom koordinatene til punkt M i forskjellige referansesystemer:

, (6-1)

hvor er lengden på segmentet OM, er den konstante vinkelen mellom OM og aksen. Tar hensyn til uttrykkene og vi får

, (6-2)

Formler (6-2) er bevegelseslikningene til punktet M i en flat figur i forhold til koordinatene. Disse formlene lar deg bestemme koordinatene til et hvilket som helst punkt i en flat figur ved gitte ligninger bevegelsen til denne figuren og koordinatene til dette punktet i forhold til det bevegelige referansesystemet knyttet til den bevegelige figuren.

Ved å bruke matrise-vektornotasjon kan ligningen (6-2) skrives i følgende form:

, (6-3)

hvor A er rotasjonsmatrisen på planet:

, , , .

Dekomponering av planbevegelse til translasjonsbevegelse

Og rotasjonsbevegelse.

Teorem . Enhver bevegelse av en stiv kropp, inkludert bevegelsen til en flat figur i planet, kan dekomponeres på utallige måter i to bevegelser, hvorav den ene er bærbar og den andre er relativ.

Spesielt kan bevegelsen til en flat figur i sitt plan i forhold til et system plassert i samme plan dekomponeres til bærbar og relativ bevegelse som følger. La oss ta for den bærbare bevegelsen av figuren dens bevegelse sammen med et translasjonelt bevegelig koordinatsystem, hvis begynnelse er festet til punkt O på figuren, tatt som polen. Da vil den relative bevegelsen til figuren i forhold til det bevegelige koordinatsystemet være rotasjon rundt en bevegelig akse vinkelrett på den flate figuren og som går gjennom den valgte polen.

For å bevise dette er det nok å vise at en flat figur i sitt plan fra en posisjon til en hvilken som helst annen kan oversettes av to bevegelser - translasjonsbevegelse i figurens plan sammen med hvilken som helst pol og rotasjon i samme plan rundt denne polen .

La oss vurdere to posisjoner av en flat figur 1 og 2. Velg segmentet AB i figuren som vurderes. Translasjonen av en figur fra posisjon 1 til posisjon 2 kan betraktes som en superposisjon av to bevegelser: translasjon fra 1 til 1" og rotasjon fra 1" til 2 rundt punkt A", vanligvis kalt polen (fig. 6-4a). Det er viktig at du som stang kan velge et hvilket som helst punkt som tilhører figuren eller til og med ligger i et plan utenfor figuren. I fig. 6-4b er for eksempel punkt B valgt som stang. Merk: lengden av banen under translasjonsbevegelse har endret seg (i dette tilfellet økt), men vinkelsvingen forble den samme!

Plan (planparallell) bevegelse av et stivt legeme er en slik bevegelse av et legeme der alle punktene beveger seg i plan parallelt med et fast plan.

Planbevegelsen til et stivt legeme kan dekomponeres til translasjonsbevegelse av kroppen sammen med et bestemt punkt på kroppen (polen) og rotasjon rundt en akse som går gjennom polen vinkelrett på bevegelsesplanet.

Antall frihetsgrader i planbevegelse er tre. La oss velge punkt A på kroppen - stangen. To koordinater vil bestemme bevegelsen til stangen, og den tredje vil bestemme rotasjonsvinkelen - rotasjon rundt stangen:

,
,
.

De siste uttrykkene kalles likningene for planbevegelse til et stivt legeme.

3.2. Hastighetene til kroppspunkter i planbevegelse.

Øyeblikkelig hastighetssenter

Vurder poengene EN Og I et stivt legeme som gjennomgår plan bevegelse. Radius vektorpunkt I
,
, siden dette er avstanden mellom to punkter i et fast legeme. La oss skille begge sider av denne likheten:
eller
. Til
La oss bruke formelen for den deriverte av en vektor som har en konstant modul:

– punkthastighet I når en kropp roterer rundt en stolpe EN. Deretter,
eller
, Hvor - vektor av vinkelhastigheten til kroppen, den er rettet langs aksen som går gjennom punktet EN vinkelrett på bevegelsesplanet. Modul – siden AB ligger i et fly, og vinkelrett på planet.

Det øyeblikkelige sentrum av kroppens hastigheter under planbevegelse er punktet til kroppen eller et bevegelig plan som er stivt forbundet med kroppen, hvis hastighet på et gitt tidspunkt er null.

La oss vise at hvis på et gitt tidspunkt vinkelhastigheten til kroppen
, da eksisterer det et øyeblikkelig hastighetssenter. Tenk på en flat figur som beveger seg i tegneplanet,
, punkthastighet EN–. La oss tegne en vinkelrett på EN til fart og sett et segment på den
. La oss vise det R– øyeblikkelig senter av hastigheter, dvs.
.

Punkthastighet R
,
, dvs.
, derfor
, som betyr R– øyeblikkelig senter av hastigheter.

La nå kroppen utføre planbevegelse og posisjonen til det øyeblikkelige hastighetssenteret er kjent R. La oss først bestemme hastigheten til punktet EN:,
; punkthastighet I:
; Deretter
. Følgelig er hastighetene til punktene til et legeme i plan bevegelse relatert til deres avstander til det øyeblikkelige sentrum av hastigheter.

La oss vurdere måter å finne det øyeblikkelige sentrum av hastigheter.

3.3. Akselerasjon av kroppspunkter under planbevegelse.

Øyeblikkelig akselerasjonssenter

Vurder poengene EN Og I et stivt legeme som gjennomgår plan bevegelse. Punkthastighet I
. La oss skille begge sider av denne likheten:
. La oss betegne
,
,
- vinkelakselerasjon,
– punkthastighet I i forhold til polen EN,. La oss introdusere følgende notasjon:
– tangentiell (rotasjons) akselerasjon av et punkt I, når kroppen roterer rundt stangen EN,– vektor for vinkelakselerasjon rettet vinkelrett på bevegelsesplanet; – normal akselerasjon av punktet B når en kropp roterer rundt en stolpe EN. Ved å bruke disse notasjonene skrives uttrykket for akselerasjon som følger:
. Dermed er akselerasjonen til ethvert punkt på kroppen under planbevegelse lik den geometriske summen av akselerasjonen til et hvilket som helst annet punkt på kroppen (polen) og akselerasjonen til et punkt på kroppen under rotasjonen rundt polen. Hvis vi utpeker
, Det
,
,
,
.

Det øyeblikkelige akselerasjonssenteret til et legeme under planbevegelse er et punkt på kroppen eller et bevegelig plan som er stivt forbundet med kroppen, hvis akselerasjon på et gitt tidspunkt er null.

La oss vise at hvis på et gitt tidspunkt
Og
, da eksisterer det et øyeblikkelig akselerasjonssenter. Tenk på en flat figur som beveger seg i tegneplanet,
,
punktakselerasjon EN–
. La oss gjennomføre på punktet EN vinklet stråle
å øke farten
og sett et segment på den
. La oss vise det Q– øyeblikkelig akselerasjonssenter, dvs.
.

Punktakselerasjon Q
,

,
,
,
, derfor
, som betyr Q– øyeblikkelig akselerasjonssenter. Deretter
,
,
.

La oss vurdere måter å bestemme vinkelakselerasjonen til et legeme i planbevegelse.

1. Hvis rotasjonsvinkelen er kjent
, Det
.

2. Projisere en vektorligning
på en akse vinkelrett på akselerasjonen til punktet I(med kjent , retning og størrelse
, vektorretning
), får vi en ligning som vi bestemmer
og så
.