Finn midten av sirkelen ved hjelp av et kompass og linjal. Del en sirkel i et hvilket som helst antall like deler. Konstruere en vinkel som er lik en gitt

§ 1 Krets. Enkle konsepter

I matematikk er det setninger som forklarer betydningen av et bestemt navn eller uttrykk. Slike setninger kalles definisjoner.

La oss definere begrepet en sirkel. En sirkel er en geometrisk figur som består av alle punkter i et plan plassert i en gitt avstand fra et gitt punkt.

Dette punktet, la oss kalle det punkt O, kalles sentrum av sirkelen.

Segmentet som forbinder sentrum med et hvilket som helst punkt på sirkelen kalles sirkelens radius. Det er mange slike segmenter som kan tegnes, for eksempel OA, OB, OS. De vil alle være like lange.

Et segment som forbinder to punkter på en sirkel kalles en akkord. MN er akkorden i sirkelen.

Korden som går gjennom midten av sirkelen kalles diameteren. AB er diameteren til sirkelen. Diameteren består av to radier, som betyr at lengden på diameteren er to ganger radiusen. Sentrum av en sirkel er midtpunktet av en hvilken som helst diameter.

Hvilke som helst to punkter på en sirkel deler den i to deler. Disse delene kalles sirkelbuer.

ANB og AMB er sirkelbuer.

Den delen av planet som er avgrenset av en sirkel kalles en sirkel.

For å avbilde en sirkel i en tegning, brukes et kompass. Sirkelen kan også tegnes på bakken. For å gjøre dette, bruk bare et tau. Fest den ene enden av tauet til en pinne som er drevet ned i bakken, og tegn en sirkel med den andre enden.

§ 2 Konstruksjoner med kompass og linjal

I geometri kan mange konstruksjoner utføres med kun et kompass og en linjal uten skalainndelinger.

Ved å bare bruke en linjal kan du tegne en vilkårlig rett linje, samt en vilkårlig rett linje som går gjennom et gitt punkt, eller en rett linje som går gjennom to gitte punkter.

Et kompass lar deg tegne en sirkel med vilkårlig radius, samt en sirkel med et senter i et gitt punkt og en radius lik et gitt segment.

Hver for seg gjør hvert av disse verktøyene det mulig å lage de enkleste konstruksjonene, men ved hjelp av disse to verktøyene kan du allerede utføre mer komplekse operasjoner, for eksempel,

løse byggeproblemer som f.eks

Konstruer en vinkel lik den gitte,

Konstruer en trekant med de gitte sidene,

Del segmentet i to

Gjennom et gitt punkt tegne en linje vinkelrett på den gitte linjen osv.

La oss vurdere problemet.

Oppgave: På en gitt stråle, fra begynnelsen, plott et segment lik den gitte.

Gitt en stråle OS og et segment AB. Det er nødvendig å konstruere et segment OD lik segmentet AB.

Ved hjelp av et kompass konstruerer vi en sirkel med radius lik lengden av segmentet AB, med et senter i punktet O. Denne sirkelen vil skjære den gitte strålen OS på et punkt D. Segmentet OD er ​​det nødvendige segmentet.

Liste over brukt litteratur:

1. Geometri. 7-9 klassetrinn: lærebok. for allmennutdanning organisasjoner / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev mfl. - M.: Utdanning, 2013. - 383 s.: ill.
2. Gavrilova N.F. Leksjonsutvikling i geometri klasse 7. - M.: “VAKO”, 2004. - 288 s. - (For å hjelpe skolelæreren).
3. Belitskaya O.V. Geometri. 7. klasse. Del 1. Tester. – Saratov: Lyceum, 2014. – 64 s.

I konstruksjonsproblemer regnes et kompass og en linjal som ideelle verktøy, spesielt har en linjal ingen inndelinger og har bare én side med uendelig lengde, og et kompass kan ha en vilkårlig stor eller vilkårlig liten åpning.

Akseptable konstruksjoner. Følgende operasjoner er tillatt i byggeoppgaver:

1. Merk et punkt:

• vilkårlig punkt på flyet;
• et vilkårlig punkt på en gitt linje;
• et vilkårlig punkt på en gitt sirkel;
• skjæringspunktet mellom to gitte linjer;
• skjæringspunkter/tangens for en gitt linje og en gitt sirkel;
• skjæringspunkter/tangens av to gitte sirkler.

2. Ved hjelp av en linjal kan du tegne en rett linje:

• en vilkårlig rett linje på et plan;
• en vilkårlig rett linje som går gjennom et gitt punkt;
• en rett linje som går gjennom to gitte punkter.

3. Ved hjelp av et kompass kan du konstruere en sirkel:

• en vilkårlig sirkel på et fly;
• en vilkårlig sirkel med sentrum ved gitt poeng;
• en vilkårlig sirkel med en radius lik avstanden mellom to gitte punkter;
• en sirkel med sentrum i et gitt punkt og en radius lik avstanden mellom to gitte punkter.

Løse konstruksjonsproblemer. Løsningen på konstruksjonsproblemet inneholder tre vesentlige deler:

1. Beskrivelse av metoden for å konstruere det nødvendige objektet.
2. Bevis på at gjenstanden konstruert på den beskrevne måten faktisk er den ønskede.
3. Analyse av den beskrevne byggemetoden for dens anvendelighet til ulike alternativer innledende betingelser, samt for det unike eller ikke-unike av løsningen oppnådd ved den beskrevne metoden.

Konstruere et segment som er lik det gitte. La en stråle med en begynnelse ved punktet $O$ og et segment $AB$ gis. For å konstruere et segment $OP = AB$ på en stråle, må du konstruere en sirkel med sentrum i punktet $O$ med radius $AB$. Skjæringspunktet mellom strålen og sirkelen vil være det nødvendige punktet $P$.

Konstruere en vinkel lik en gitt. La en stråle med origo i punktet $O$ og vinkel $ABC$ gis. Med sentrum i punktet $B$ konstruerer vi en sirkel med en vilkårlig radius $r$. La oss betegne skjæringspunktene til sirkelen med strålene $BA$ og $BC$ som henholdsvis $A"$ og $C"$.

La oss konstruere en sirkel med sentrum i punktet $O$ med radius $r$. La oss betegne skjæringspunktet for sirkelen med strålen som $P$. La oss konstruere en sirkel med sentrum i punktet $P$ med radius $A"B"$. Vi betegner skjæringspunktet for sirklene som $Q$. La oss tegne strålen $OQ$.

Vi får vinkel $POQ$ lik vinkel $ABC$, siden trekanter $POQ$ og $ABC$ er like på tre sider.

Konstruere den vinkelrette halveringslinjen til et segment. La oss konstruere to kryssende sirkler med vilkårlig radius med sentre ved endene av segmentet. Ved å koble sammen to punkter i skjæringspunktet deres, får vi en vinkelrett halveringslinje.

Konstruere halveringslinjen til en vinkel. La oss tegne en sirkel med vilkårlig radius med sentrum i hjørnets toppunkt. La oss konstruere to kryssende sirkler med vilkårlig radius med sentre ved skjæringspunktene til den første sirkelen med sidene av vinkelen. Ved å koble toppunktet til en vinkel med et hvilket som helst av skjæringspunktene til disse to sirklene, får vi halveringslinjen til vinkelen.

Konstruere summen av to segmenter. For å konstruere på en gitt stråle et segment som er lik summen av to gitte segmenter, må du bruke metoden for å konstruere et segment lik en gitt to ganger.

Konstruere summen av to vinkler. For å plotte en vinkel fra en gitt stråle lik summen av to gitte vinkler, må du bruke metoden for å konstruere en vinkel lik den gitte to ganger.

Finne midtpunktet til et segment. For å markere midten av et gitt segment, må du konstruere en halveringslinje på linjestykket og markere skjæringspunktet mellom perpendikulæren med selve segmentet.

Konstruere en vinkelrett linje gjennom et gitt punkt. La det være nødvendig å konstruere en linje vinkelrett på et gitt punkt og som går gjennom et gitt punkt. Vi tegner en sirkel med vilkårlig radius med et senter i et gitt punkt (uansett om den ligger på en linje eller ikke), og skjærer linjen i to punkter. Vi konstruerer en halveringslinje vinkelrett på et segment med ender i skjæringspunktene mellom sirkelen og linjen. Dette vil være den ønskede vinkelrette linjen.

Konstruere en parallell linje gjennom et gitt punkt. La det være nødvendig å konstruere en linje parallelt med et gitt punkt og som går gjennom et gitt punkt utenfor linjen. Vi konstruerer en linje som går gjennom et gitt punkt og vinkelrett på en gitt linje. Deretter konstruerer vi en rett linje som går gjennom dette punktet, vinkelrett på den konstruerte perpendikulæren. Den resulterende rette linjen vil være den nødvendige.

En setning som forklarer betydningen av et bestemt uttrykk eller navn kalles definisjon. Vi har allerede møtt definisjoner, for eksempel med definisjonen av en vinkel, tilstøtende vinkler, en likebenet trekant osv. La oss gi en definisjon av en annen geometrisk figur- sirkler.

Definisjon

Dette punktet kalles sentrum av sirkelen, og segmentet som forbinder sentrum med et hvilket som helst punkt på sirkelen er radius av sirkelen(Fig. 77). Fra definisjonen av en sirkel følger det at alle radier har samme lengde.

Ris. 77

Et segment som forbinder to punkter på en sirkel kalles akkorden. En akkord som går gjennom midten av en sirkel kalles dens diameter.

I figur 78 er segmentene AB og EF akkorder i sirkelen, segment CD er sirkelens diameter. Åpenbart er diameteren til en sirkel to ganger radiusen. Sentrum av en sirkel er midtpunktet av en hvilken som helst diameter.

Ris. 78

Hvilke som helst to punkter på en sirkel deler den i to deler. Hver av disse delene kalles en sirkelbue. I figur 79 er ALB og AMB buer avgrenset av punktene A og B.

Ris. 79

For å skildre en sirkel i en tegning, bruk kompass(Fig. 80).

Ris. 80

For å tegne en sirkel på bakken kan du bruke et tau (fig. 81).

Ris. 81

Den delen av planet som er avgrenset av en sirkel kalles en sirkel (fig. 82).

Ris. 82

Konstruksjoner med kompass og linjal

Vi har allerede behandlet geometriske konstruksjoner: vi tegnet rette linjer, plottet segmenter lik data, tegnet vinkler, trekanter og andre figurer. Samtidig brukte vi en målestokk, et kompass, en gradskive og en tegnerute.

Det viser seg at mange konstruksjoner kan utføres med kun et kompass og en linjal uten skalainndelinger. Derfor, i geometri, er disse konstruksjonsoppgavene spesielt utmerkede som kan løses med bare disse to verktøyene.

Hva kan du gjøre med dem? Det er tydelig at linjalen lar deg tegne en vilkårlig rett linje, samt konstruere en rett linje som går gjennom to gitte punkter. Ved hjelp av et kompass kan du tegne en sirkel med vilkårlig radius, samt en sirkel med et senter i et gitt punkt og en radius lik et gitt segment. Ved å utføre disse enkle operasjonene kan vi løse mange interessante konstruksjonsproblemer:

konstruer en vinkel lik den gitte;
gjennom et gitt punkt tegne en linje vinkelrett på den gitte linjen;
dele dette segmentet i to og andre oppgaver.

La oss starte med en enkel oppgave.

Oppgave

På en gitt stråle, fra begynnelsen, plott et segment lik den gitte.

Løsning

La oss skildre figurene gitt i problemstillingen: ray OS og segment AB (fig. 83, a). Deretter, ved hjelp av et kompass, konstruerer vi en sirkel med radius AB med sentrum O (fig. 83, b). Denne sirkelen vil skjære stråle-OS på et tidspunkt D. Segmentet OD er ​​det nødvendige.

Ris. 83

Eksempler på byggeproblemer

Konstruere en vinkel som er lik en gitt

Oppgave

Trekk fra en vinkel fra en gitt stråle lik en gitt.

Løsning

Denne vinkelen med toppunktet A og strålen OM er vist i figur 84. Det er nødvendig å konstruere en vinkel lik vinkel A, slik at en av sidene sammenfaller med strålen OM.

Ris. 84

La oss tegne en sirkel med vilkårlig radius med sentrum i toppunktet A i den gitte vinkelen. Denne sirkelen skjærer sidene av vinkelen i punktene B og C (fig. 85, a). Deretter tegner vi en sirkel med samme radius med sentrum ved opprinnelsen til denne strålen OM. Den skjærer bjelken i punkt D (fig. 85, b). Etter dette vil vi konstruere en sirkel med sentrum D, hvis radius er lik BC. Sirkler med sentrum O og D krysser hverandre i to punkter. La oss betegne ett av disse punktene med bokstaven E. La oss bevise at vinkelen MOE er den ønskede.

Ris. 85

Tenk på trekanter ABC og ODE. Segmentene AB og AC er radiene til en sirkel med sentrum A, og segmentene OD og OE er radiene til en sirkel med sentrum O (se fig. 85, b). Siden disse sirklene ved konstruksjon har like radier, så er AB = OD, AC = OE. Også ved konstruksjon BC = DE.

Derfor er Δ ABC = Δ ODE på tre sider. Derfor er ∠DOE = ∠BAC, dvs. den konstruerte vinkelen MOE er lik den gitte vinkelen A.

Den samme konstruksjonen kan gjøres på bakken hvis du bruker et tau i stedet for et kompass.

Konstruere en vinkelhalveringslinje

Oppgave

Konstruer halveringslinjen til den gitte vinkelen.

Løsning

Denne vinkelen BAC er vist i figur 86. La oss tegne en sirkel med vilkårlig radius med sentrum i toppunktet A. Den vil skjære sidene av vinkelen i punktene B og C.

Ris. 86

Deretter tegner vi to sirkler med samme radius BC med sentre ved punktene B og C (bare deler av disse sirklene er vist på figuren). De vil krysse hverandre på to punkter, hvorav minst ett ligger innenfor hjørnet. La oss betegne det med bokstaven E. La oss bevise at strålen AE er halveringslinjen til den gitte vinkelen BAC.

Tenk på trekanter ACE og ABE. De er like på tre sider. Faktisk er AE den generelle siden; AC og AB er like som radiene til samme sirkel; CE = BE ved konstruksjon.

Fra likheten til trekantene ACE og ABE følger det at ∠CAE = ∠BAE, dvs. strålen AE er halveringslinjen til den gitte vinkelen BAC.

Kommentar

Er det mulig å dele en gitt vinkel i to like vinkler ved hjelp av kompass og linjal? Det er klart at det er mulig - for å gjøre dette må du tegne halveringslinjen til denne vinkelen.

Denne vinkelen kan også deles inn i fire like vinkler. For å gjøre dette må du dele den i to, og deretter dele hver halvdel i to igjen.

Er det mulig å dele en gitt vinkel i tre like vinkler ved hjelp av kompass og linjal? Denne oppgaven, kalt problemer med vinkeltriseksjon, har tiltrukket seg oppmerksomheten til matematikere i mange århundrer. Først på 1800-tallet ble det bevist at en slik konstruksjon er umulig for en vilkårlig vinkel.

Konstruksjon av vinkelrette linjer

Oppgave

Gitt en rett linje og et punkt på den. Konstruer en linje som går gjennom et gitt punkt og vinkelrett på en gitt linje.

Løsning

En gitt rett linje a og et gitt punkt M som tilhører denne rette linjen er vist i figur 87.

Ris. 87

På strålene av rett linje a, som kommer fra punkt M, plotter vi like segmenter MA og MB. Deretter konstruerer vi to sirkler med sentra A og B med radius AB. De skjærer hverandre i to punkter: P og Q.

La oss tegne en rett linje gjennom punktet M og ett av disse punktene, for eksempel rett linje MR (se fig. 87), og bevise at denne rette linjen er den ønskede, dvs. at den er vinkelrett på den gitte rette linjen a .

Faktisk, siden medianen PM til den likebenede trekanten RAB også er høyden, så er PM ⊥ a.

Konstruere midtpunktet til et segment

Oppgave

Konstruer midtpunktet til dette segmentet.

Løsning

La AB være det gitte segmentet. La oss konstruere to sirkler med sentra A og B med radius AB. De skjærer hverandre i punktene P og Q. La oss tegne en rett linje PQ. Punktet O for skjæringspunktet mellom denne linjen og segmentet AB er det ønskede midtpunktet av segmentet AB.

Faktisk er trekantene APQ og BPQ like på tre sider, derfor ∠1 =∠2 (fig. 89).

Ris. 89

Følgelig er segmentet PO halveringslinjen til den likebenede trekanten ARB, og derfor er medianen, dvs. punktet O, midten av segmentet AB.

Oppgaver

143. Hvilke av segmentene vist i figur 90 er: a) akkorder i sirkelen; b) diametre av en sirkel; c) radier av sirkelen?

Ris. 90

144. Segmentene AB og CD er diametrene til en sirkel. Bevis at: a) akkordene BD og AC er like; b) akkorder AD og BC er like; c) ∠DÅRLIG = ∠BCD.

145. Segment MK er diameteren til en sirkel med sentrum O, og MR og RK er like akkorder i denne sirkelen. Finn ∠POM.

146. Segmentene AB og CD er diametrene til en sirkel med sentrum O. Finn omkretsen til trekanten AOD hvis det er kjent at CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. På en sirkel med sentrum O er punktene A og B markert slik at vinkel AOB er en rett vinkel. Segment BC er diameteren til en sirkel. Bevis at akkordene AB og AC er like.

148. To punkter A og B er gitt på en rett linje. På fortsettelsen av strålen BA A, legg av et segment BC slik at BC = 2AB.

149. Gitt en linje a, et punkt B som ikke ligger på den, og et segment PQ. Konstruer punkt M på linje a slik at BM = PQ. Har et problem alltid en løsning?

150. Gitt en sirkel, et punkt A som ikke ligger på den, og et segment PQ. Konstruer et punkt M på sirkelen slik at AM = PQ. Har et problem alltid en løsning?

151. Gitt en spiss vinkel BAC og en stråle XY. Konstruer vinkelen YXZ slik at ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Stump vinkel AOB er gitt. Konstruer strålen OX slik at vinklene HOA og HOB er like stumpe vinkler.

153. Gitt en linje a og et punkt M som ikke ligger på den. Konstruer en linje som går gjennom punkt M og vinkelrett på linje a.

Løsning

La oss konstruere en sirkel med sentrum i et gitt punkt M, som skjærer en gitt linje a i to punkter, som vi betegner med bokstavene A og B (fig. 91). Deretter skal vi konstruere to sirkler med sentrene A og B som går gjennom punktet M. Disse sirklene skjærer hverandre i punktet M og i et annet punkt, som vi vil betegne med bokstaven N. La oss tegne en linje MN og bevise at denne linjen er ønsket en, dvs. den er vinkelrett på rett linje a.

Ris. 91

Faktisk er trekanter AMN og BMN like på tre sider, så ∠1 = ∠2. Det følger at segmentet MC (C er skjæringspunktet mellom linjene a og MN) er halveringslinjen til den likebenede trekanten AMB, og derfor dens høyde. Dermed MN ⊥ AB, dvs. MN ⊥ a.

154. Gitt en trekant ABC. Konstruer: a) halveringslinje AK; b) median VM; c) høyde CH av trekanten. 155. Bruk et kompass og en linjal, konstruer en vinkel lik: a) 45°; b) 22°30".

Svar på problemer

152. Instruksjon. Konstruer først halveringslinjen til vinkel AOB.

Denne leksjonen er viet studiet av omkrets og sirkel. Læreren vil også lære deg å skille mellom lukkede og åpne linjer. Du vil bli kjent med de grunnleggende egenskapene til en sirkel: sentrum, radius og diameter. Lær definisjonene deres. Lær å bestemme radiusen hvis diameteren er kjent, og omvendt.

Fyller du plassen inne i sirkelen, tegner du for eksempel en sirkel ved hjelp av et kompass på papir eller papp og klipper den ut, får du en sirkel (fig. 10).

Ris. 10. Sirkel

Sirkel- dette er den delen av flyet som er begrenset av en sirkel.

Betingelse: Vitya Verkhoglyadkin tegnet 11 diametre i sirkelen sin (fig. 11). Og da han beregnet radiene på nytt, fikk han 21. Telte han riktig?

Ris. 11. Illustrasjon for problemet

Løsning: Det bør være dobbelt så mange radier som diametre, derfor:

Vitya telte feil.

Bibliografi

1. Matematikk. 3. klasse. Lærebok for allmennutdanning institusjoner med adj. per elektron transportør. Ved 2 timer Del 1 / [M.I. Moreau, M.A. Bantova, G.V. Beltyukova og andre] - 2. utg. - M.: Utdanning, 2012. - 112 s.: ill. - (Russlands skole).
2. Rudnitskaya V.N., Yudacheva T.V. Matematikk, 3. klasse. - M.: VENTANA-COUNT.
3. Peterson L.G. Matematikk, 3. klasse. - M.: Yuventa.

1. Mypresentation.ru ().
2. Sernam.ru ().
3. School-assistant.ru ().

Hjemmelekser

1. Matematikk. 3. klasse. Lærebok for allmennutdanning institusjoner med adj. per elektron transportør. Ved 2 timer Del 1 / [M.I. Moreau, M.A. Bantova, G.V. Beltyukova og andre] - 2. utg. - M.: Utdanning, 2012., art. 94 nr. 1, art. 95 nr. 3.

2. Løs gåten.

Broren min og jeg bor sammen,

Vi har det så gøy sammen

Vi vil plassere et krus på arket (fig. 12),

La oss spore det med en blyant.

Vi fikk det vi trengte -

Det heter...

3. Det er nødvendig å bestemme diameteren til sirkelen hvis det er kjent at radien er 5 m.

4. * Bruk et kompass til å tegne to sirkler med radier: a) 2 cm og 5 cm; b) 10 mm og 15 mm.