Hva er en første ordens overflate? Grunnflater av plass og deres konstruksjon. Ligning av et plan i segmenter

En førsteordens ligning med tre ukjente har formen Ax + Ву + Cz + D = 0, og minst én av koeffisientene A, B, C må være forskjellig fra null. Det spesifiserer i plass i rektangulært koordinatsystem Oxyz algebraisk overflate av første orden.

Egenskapene til en førsteordens algebraisk overflate ligner på mange måter egenskapene til en rett linje på et plan - geometrisk bilde av en førsteordens ligning med to ukjente.

Teorem 5.1. Ethvert plan i rommet er en overflate av første orden og enhver overflate av første orden i rommet er et plan.

◄ Både setningen og beviset på setningen ligner på setning 4.1. Faktisk, la planet π være definert av punktet M 0 og ikke-null vektor n, som er vinkelrett på den. Deretter er settet med alle punkter i rommet delt inn i tre delmengder. Den første består av punkter som tilhører flyet, og de to andre - av punkter plassert på den ene og den andre siden av flyet. Hvilket av disse settene som tilhører et vilkårlig punkt M av rommet avhenger av tegnet prikkprodukt nM 0 M . Hvis punktet M hører til planet (fig. 5.1, a), så vinkelen mellom vektorer n og M 0 M er rette, og derfor, i henhold til teorem 2.7, er deres skalarprodukt lik null:

nM 0 M = 0

Hvis punktet M ikke tilhører planet, er vinkelen mellom vektorene n og M 0 M spiss eller stump, og derfor nM 0 M > 0 eller nM 0 M

La oss betegne koordinatene til punktene M 0, M og vektor n til og med (x 0 ; y 0 ; z 0), (x; y; z) og (A; B; C), henholdsvis. Siden M 0 M = (x - x 0 0; y - y 0; z - z 0 ), så skriver du skalarproduktet fra (5.1) på koordinatform (2.14) som summen av parvise produkter av de samme koordinatene til vektorene n og M 0 M , får vi betingelsen for at punktet M skal tilhøre planet som vurderes i skjemaet

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C (z - z 0) = 0. (5.2)

Å åpne parentesen gir ligningen

Axe + Wu + Cz + D = 0, (5,3)

hvor D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 og minst én av koeffisientene A, B eller C er forskjellig fra null, siden vektoren n = (A; B; C) er ikke-null. Dette betyr at planet er det geometriske bildet av ligning (5.3), dvs. algebraisk overflate av første orden.

Ved å utføre beviset ovenfor for den første setningen i teoremet i omvendt rekkefølge, vil vi bevise at det geometriske bildet av ligningen Ax + Ву + Cz + D = 0, A 2 + В 2 + C 2 = 0, er et plan . La oss velge tre tall (x = x 0, y = y 0, z = z 0) som tilfredsstiller denne ligningen. Slike tall finnes. For eksempel, når A ≠ 0 kan vi sette y 0 = 0, z 0 = 0 og deretter x 0 = - D/A. De valgte tallene tilsvarer punktet M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0), som tilhører det geometriske bildet gitt ligning. Fra likheten Ax 0 + Ву 0 + Cz 0 + D = 0 følger det at D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 . Ved å erstatte dette uttrykket i ligningen under vurdering får vi Ax + Ву + Cz - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 = 0, som tilsvarer (5.2). Likestilling (5.2) kan betraktes som vektor ortogonalitetskriterium n = (A; B; C) og M 0 M, hvor punktet M har koordinater (x; y; z). Dette kriteriet er oppfylt for punkter i planet som går gjennom punktet M 0 vinkelrett på vektoren n = (A; B; C), og er ikke oppfylt for andre punkter i rommet. Dette betyr at ligning (5.2) er ligningen til det indikerte planet.

Ligningen Ax + Wu + Cz + D = 0 kalles generell ligning flyet. Koeffisientene A, B, C for ukjente i denne ligningen har en klar geometrisk betydning: vektoren n = (A; B; C) er vinkelrett på planet. Han blir kalt normal plan vektor. Den, som den generelle ligningen til planet, bestemmes opp til en (ikke-null) numerisk faktor.

Ved å bruke de kjente koordinatene til et punkt som tilhører et bestemt plan og en vektor som ikke er null vinkelrett på det, ved å bruke (5.2), skrives likningen til planet uten noen beregninger.

Eksempel 5.1. La oss finne den generelle ligningen til et plan vinkelrett på radius vektor punkt A(2; 5; 7) og passerer gjennom punkt M 0 (3; - 4; 1).

Siden ikke-null vektoren OA = (2; 5; 7) er vinkelrett på det ønskede planet, har dens ligning av typen (5.2) formen 2(x - 3) + 5(y + 4) + 7(z- 1) = 0. Ved å åpne parentesene får vi den ønskede generelle ligningen for planet 2x + 5y + 7z + 7 = 0.

Forelesning 2. Planet som overflate av første orden. Planligninger og deres studie. En rett linje i rommet, den relative posisjonen til rette linjer i rommet, et plan og en rett linje i rommet. En rett linje på et plan, likninger av en rett linje på et plan, avstanden fra et punkt til en rett linje på et plan. Andre ordens kurver; utledning av kanoniske ligninger, studie av ligninger og konstruksjon av kurver. Overflater av andre orden, studie av kanoniske ligninger av overflater. Seksjonsmetode. 1

Elementer i analytisk geometri § 1. Plan. Vi har OXYZ og noen overflate S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y Definisjon 1: en likning med tre variabler kalles en likning av overflaten S i rommet hvis denne likningen er tilfredsstilt av koordinatene til hver punkt som ligger på overflaten og ikke tilfredsstilt av koordinatene ikke et eneste punkt som ligger på det. 2

Eksempel. Ligning (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) vi definerer en kule med sentrum i punktet C(a, b, c) og radius R. M M (x , y, z) – variabelt punkt M ϵ (S) |CM| = RC 3

Definisjon 2: En overflate S kalles en overflate av n-te orden hvis den i et kartesisk koordinatsystem er gitt ved en algebraisk ligning av n-te grad F(x, y, z) = 0 (1) I eksemplet (S) - en sirkel, en overflate av andre orden . Hvis S er en overflate av n-te orden, så er F(x, y, z) et polynom av n-te grad med hensyn til (x, y, z.) Tenk på den eneste overflaten av 1. orden - et plan. La oss lage en ligning for et plan som går gjennom punktet M (x, y, z), med en normalvektor 4

La M(x, y, z) være et vilkårlig (gjeldende) punkt i planet. MM 0 O α eller i koordinatform: (2) Ligning (2) er ligningen til planet som går gjennom punktet M med en gitt normalvektor. 5

D (*) (3) - fullstendig likning av planet Ufullstendig likning av planet. Hvis i ligning (3) flere koeffisienter (men ikke A, B, C samtidig) = 0, kalles ligningen ufullstendig og planet α har funksjoner i sin plassering. For eksempel, hvis D = 0, så går α gjennom origo. 6

Avstanden fra punktet M 1 til planet α M 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 påføres punktet M 0 K 7

- avstand fra punkt M 1 til plan α Ligning av planet "i segmenter" La oss lage en ligning av planet som avskjærer segmenter som ikke er null på koordinataksene med C(0, 0, c) verdier a, b, c. La oss ta B(0, b, 0) som verdien. La oss lage en ligning for punkt A med A(a, 0, 0) 8

-ligning av planet α "i segmenter" -ligning av planet som går gjennom punkt A, vinkelrett på normalvektoren 9

§ 2. Generell likning av en rett linje. En rett linje i rommet kan defineres ved skjæringspunktet mellom 2 plan. (1) likning av en rett linje Et system av typen (1) definerer en rett linje i rommet hvis koeffisientene A 1, B 1, C 1 samtidig er uforholdsmessige med A 2, B 2, C 2. 10

Parametriske og kanoniske ligninger for en rett linje - vilkårlig punkt for et rett linjepunkt M M 0 Parametrisk ligning t - parameter 11

Eliminerer t får vi: - kanonisk ligning System (3) bestemmer bevegelsen materiell poeng, rettlinjet og ensartet fra startposisjonen M 0(x 0, y 0, z 0) med hastighet i vektorens retning. 12

Vinkelen mellom rette linjer i rommet. Betingelser for parallellitet og perpendikularitet. La det være to linjer L 1, L 2 i rommet gitt av deres kanoniske ligninger: Da reduseres oppgaven med å bestemme vinkelen mellom disse linjene til å bestemme vinkelen

retningsvektorene deres: Ved å bruke definisjonen av skalarproduktet og uttrykket i koordinater for det spesifiserte skalarproduktet og lengdene til vektorene q 1 og q 2, får vi til å finne: 15

Betingelsen for parallellitet av rette linjer l 1 og l 2 tilsvarer kollineariteten til q 1 og q 2, ligger i proporsjonaliteten til koordinatene til disse vektorene, dvs. den har formen: Betingelsen for perpendikularitet følger av definisjonen av skalarproduktet og dets lik null (ved cos = 0) og har formen: l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

Vinkel mellom en rett linje og et plan: betingelser for parallellitet og perpendikularitet til en rett linje og et plan Betrakt planet P, definert av den generelle ligningen: Ax + By + Cz + D = 0, og den rette linjen L, definert av den kanoniske ligningen: 17

Siden vinkelen mellom den rette linjen L og planet P er komplementær til vinkelen mellom retningsvektoren til den rette linjen q = (l, m, n) og normalvektoren til planet n = (A, B, C) , så fra definisjonen av skalarproduktet q n = q n cos og likheten cos = sin (= 90 -), får vi: 18

Parallellitetsbetingelsen til den rette linjen L og planet П (inkludert det faktum at L tilhører П) er ekvivalent med betingelsen for perpendikularitet til vektorene q og n og uttrykkes med = 0 skalarprodukt av disse vektorene: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. Betingelsen for perpendikularitet til den rette linjen L og planet P er ekvivalent med betingelsen for parallellitet til vektorene n og q og uttrykkes ved proporsjonaliteten til koordinatene til disse vektorene: 19

Betingelser for at to linjer skal tilhøre samme plan To linjer i rommet L 1 og L 2 kan: 1) krysse hverandre; 2) være parallell; 3) interbreed. I de to første tilfellene ligger linjene L 1 og L 2 i samme plan. La oss etablere betingelsen for at to rette linjer definert av kanoniske ligninger skal tilhøre samme plan: 20

For at de to angitte linjene skal tilhøre samme plan, er det åpenbart nødvendig og tilstrekkelig at tre vektorer = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) og q 2 = (l 2, m 2, n 2), var koplanære, for hvilket det igjen er nødvendig og tilstrekkelig at det blandede produktet av disse tre vektorene = 0. 21

Ved å skrive de blandede produktene til de indikerte vektorene i koordinater, får vi en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at to rette linjer L 1 og L 2 skal tilhøre samme plan: 22

Betingelse for at en rett linje skal tilhøre et plan La det være en rett linje og et plan Ax + Bi + Cz + D = 0. Disse betingelsene har formen: Ax1 + Bi1 + Cz 1 + D = 0 og Al + Bm + Cn = 0, hvorav den første betyr at punktet M 1(x1, y1, z 1) som linjen går gjennom tilhører planet, og den andre er betingelsen for parallellitet til linjen og planet. 23

Andre ordens kurver. § 1. Begrepet likningen av en linje på et plan. Ligningen f (x, y) = 0 kalles ligningen til linje L i det valgte koordinatsystemet hvis den er tilfredsstilt av koordinatene til et punkt som ligger på linjen og ikke tilfredsstilt av koordinatene til et punkt som ikke ligger på den. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Eksempel: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

En linje L kalles en linje av n-te orden hvis den i et kartesisk koordinatsystem er gitt av en algebraisk likning av n-te grad med hensyn til x og y. Vi kjenner den eneste linjen av 1. orden - en rett linje: Ax + By + D = 0 Vi vil vurdere kurver av 2. orden: ellipse, hyperbel, parabel. Den generelle ligningen for 2. ordens linjer er: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

Ellipse (E) Definisjon. Ellipse er settet av alle punkter i planet, summen av avstandene til to faste punkter i planet F 1 og F 2, kalt foci, er en konstant verdi og en stor avstand mellom brennpunktene. La oss betegne konstanten som 2 a, avstanden mellom brennpunktene som 2 c. Tegn X-aksen gjennom brennpunktene, (a > c, a > 0, c > 0). Y-aksen gjennom midten av brennvidden. La M være et vilkårlig punkt på ellipsen, t. M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), der r 1, r 2 er fokale 27 radier til E.

La oss skrive (1) i koordinatform: (2) Dette er ligningen til en ellipse i det valgte koordinatsystemet. Forenklet (2) får vi: b 2 = a 2 - c 2 (3) – den kanoniske ligningen til ellipsen. Det kan vises at (2) og (3) er ekvivalente: 28

Studie av formen til en ellipse ved hjelp av den kanoniske ligningen 1) Ellipse er en kurve av 2. orden 2) Symmetri av ellipsen. siden x og y inngår i (3) kun i partaller, har ellipsen 2 akser og 1 symmetrisenter, som i det valgte koordinatsystemet sammenfaller med de valgte koordinataksene og punktet O. 29

3) Plassering av ellipsen Det vil si at hele E er plassert inne i et rektangel, hvis sider er x = ± a og y = ± b. 4) Kryss med akser. A 1(-a; 0); A2(a; 0); C OX: hjørner av ellipsen C OU: B 1(0; b); B 2(0; -b); På grunn av symmetrien til ellipsen, vil vi vurdere dens oppførsel (↓) bare i første kvartal. tretti

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt=" Løsning (3) med hensyn til y får vi: i første kvartal x > 0 og ellipsen avtar."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

Hyperbel (Г) Definisjon: Г er settet av alle punkter i planet, modulen for forskjellen i avstander til 2 faste punkter i planet F 1, F 2 er en konstant verdi og

Forenklet (1): (2) er den kanoniske ligningen til G. (1) og (2) er ekvivalente. Studie av en hyperbel ved å bruke den kanoniske ligningen 1) Г er en linje av 2. orden 2) Г har to akser og ett symmetrisenter, som i vårt tilfelle sammenfaller med koordinataksene og origo. 3) Plassering av hyperbelen. 34

Hyperbelen er plassert utenfor stripen mellom linjene x = a, x = -a. 4) Skjæringspunkter med akser. OX: OY: har ingen løsninger A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – reelle toppunkter Г B 1(0; b); B 2(0; -b) – imaginære toppunkter Г 2 a – reell akse Г 2 b – imaginær akse Г 35

5) Asymptoter av en hyperbel. På grunn av symmetrien til Г, vurderer vi dens del i første kvartal. Etter å ha løst (2) med hensyn til y, får vi: ligning Г i første kvartal x ≥ 0 Betrakt den rette linjen: siden i første kvartal x>0, det vil si i første kvartal med samme abscisse, ordinaten av linjen > ordinere det tilsvarende punktet Г, dvs. i første kvartal Г ligger under denne rette linjen. Hele G ligger innenfor en vertikal vinkel med sidene 36

6) Det kan vises at i første del øker G 7) Plan for å konstruere G a) bygg et rektangel 2 a, 2 b b) tegn diagonalene c) merk A 1, A 2 - de reelle toppunktene til G og 38 skriv disse grenene

Parabol (P) Tenk på d (retningslinje) og F (fokus) på planet. Definisjon. П – sett med alle punkter i planet like langt fra linje d og punkt F (fokus) 39

d-directrix F-fokus XOY-punkt М П deretter |MF| = |MN| (1) likning av P, valgt i koordinatsystemet. Forenklet (1) får vi y 2 = 2 px (2) – kanonisk likning av P. (1) og (2) er ekvivalente 40

Studie av P ved å bruke den kanoniske ligningen x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. Sylindre. Sylindriske flater med generatriser parallelle med koordinataksene Gjennom punkt x på linje L trekker vi en rett linje parallelt med OZ-aksen. Overflaten som dannes av disse rette linjene kalles en sylindrisk overflate eller sylinder (C). Enhver rett linje parallelt med OZ-aksen kalles en generatrise. l er guiden til den sylindriske overflaten til XOY-planet. Z(x, y) = 0 (1) 42

La M(x, y, z) være et vilkårlig punkt på en sylindrisk overflate. La oss projisere det på L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0 som er , koordinatene M tilfredsstiller (1), er det åpenbart at hvis M C, så projiseres den ikke til punktet M 0 ϵ L og derfor vil koordinatene til M ikke tilfredsstille ligning (1), som bestemmer C med en generatriseparallell til OZ-aksen i verdensrommet. På samme måte kan det vises at: Ф(x, z) = 0 i rommet Г || OY 43 (y, z) = 0 definerer i rommet C || OKSE

Projeksjon av en romlig linje på et koordinatplan En linje i rommet kan defineres parametrisk og ved skjæringspunktet mellom overflater. Den samme linjen kan defineres som ∩ av forskjellige overflater. La romlinjen L gis ∩ av to flater α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 ligning L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 La oss finne projeksjonen av L på planet XOY fra ligning (1) og ekskludere Z. Vi får ligningen: Z(x, y) = 0 – i rommet er dette ligningen Ε med generatoren || OZ og guide L. 46

Projeksjon: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Andreordens flater Ellipsoid - den kanoniske ligningen til en overflate har formen: 1) Ellipsoide - en annenordens overflate. 2) X, Y, Z går inn i ligningen kun i partall => overflaten har 3 plan og 1 symmetrisenter, som i det valgte koordinatsystemet sammenfaller med koordinatplanene og origo. 47

3) Plassering av ellipsoiden Overflaten er innelukket mellom || plan med ligninger x = a, x = -a. Tilsvarende, dvs. hele overflaten er inneholdt i et rektangulært parallellepiped. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Vi vil undersøke overflaten ved å bruke snittmetoden - kryssende overflaten med koordinatplan || koordinere. I seksjonen vil vi få linjer, etter formen som vi vil bedømme formen på overflaten. 48

La oss krysse overflaten med XOY-planet. I avsnittet får vi en linje. - ellipse a og b – halvakser I likhet med YOZ-planet - ellipse med halvakser b og c Plane || XOY Hvis h(0, c), reduseres ellipseaksene fra a og b til 0. 49

a = b = c - sfære Paraboloider a) Hyperbolsk paraboloid - en overflate med en kanonisk ligning: 1) Andreordens overflate 2) Siden x, y kommer inn i ligningen kun i jevne potenser, har overflaten symmetriplan, som sammenfaller for et gitt valg av koordinater med 50 fly XOZ, YOZ.

3) vi undersøker overflaten ved å bruke sadelseksjonsmetoden. XOZ I tverrsnitt er parabelen symmetrisk til OZ-aksen, stigende. pl. YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt=" område ||XOY for h > 0 hyperbler, med ekte halvakse langs OX, for h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

b) To-ark hyperboloid 1) overflate av andre orden 2) har 3 plan og 1 symmetrisenter 3) overflateplassering x 2 ≥ a 2; |x| ≥ a; (a, b, c > 0) Overflaten består av to deler plassert utenfor stripen mellom planene med likningene x = a, x = -a 4) vi studerer metoden for snitt (På egen hånd!) 57

Andreordens kjegle En annenordens kjegle er en overflate hvis kanoniske ligning har formen: 1) en annenordens overflate 2) har 3 plan og 1 symmetrisenter 3) vi studerer metoden for snitt kvadrat. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt=" kvadrat ||XOY |h| –>∞ fra 0 til ∞ kvadrat YOZ par rette linjer, passerer gjennom"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

60

I de neste avsnittene slås det fast at førsteordens overflater er plan og bare plan, og ulike former for skriving av planens likninger vurderes.

198. Teorem 24. I kartesiske koordinater er hvert plan definert av en førstegradsligning.

Bevis. Forutsatt at et visst kartesisk rektangulært koordinatsystem er gitt, tar vi for oss et vilkårlig plan a og beviser at dette planet er bestemt av en ligning av første grad. La oss ta et punkt M på flyet a 0 (d: 0; y 0; z0); La oss i tillegg velge hvilken som helst vektor (bare ikke lik null!), vinkelrett på planet a. Vi betegner den valgte vektoren med bokstaven p, dens projeksjoner på koordinataksene-bokstavene A, B, C.

La M(x; y; z) være et vilkårlig punkt. Den ligger på planet hvis og bare hvis vektoren MqM er vinkelrett på vektoren n. Med andre ord er punktet Ж som ligger på planet a karakterisert ved tilstanden:

Vi får likningen til planet a hvis vi uttrykker denne tilstanden i form av koordinater x, y, z. For dette formålet skriver vi ned koordinatene til vektorene M 0M og th:

M OM=(x-x0; y-y0; z-zo), P=(A; B; C).

I henhold til paragraf 165 et tegn på perpendikularitet til to vektorer er likheten med null av deres skalarprodukt, det vil si summen av parvise produkter av de tilsvarende koordinatene til disse vektorene. Så M 0M J_ p hvis og bare hvis

A(x-x0)+B(y-y0) + C(z-ze) = 0.(1)

Dette er den ønskede ligningen til planet a, siden den er tilfredsstilt av koordinatene lz, y, z punkter M hvis og bare hvis M ligger på planet a (dvs. når J_«).

Ved å åpne parentesene presenterer vi ligningen(1) som

Ax + By + Cz + (- A x 0 - By 0-Cz0) = 0.

Ax-\-By + Cz + D = 0. (2)

Vi ser at planet a faktisk er bestemt av en ligning av første grad. Teoremet er bevist.

199. Hver (ikke-null) vektor vinkelrett på et visst plan kalles en vektor normal til den. Ved å bruke dette navnet kan vi si at ligningen

A(x-X())+B(y~y0) + C(z-z0)=0

er ligningen til planet som går gjennom punktet M 0 (x 0; y 0; z0) og har en normalvektor n- (A; B; MED). Formens ligning

Axe + Bu-\- Cz + D = 0

kalt den generelle ligningen for planet.

200. Teorem 25. I kartesiske koordinater definerer hver førstegradsligning et plan.

Bevis. Forutsatt at et kartesisk rektangulært koordinatsystem er gitt, bør du vurdere en vilkårlig førstegradsligning

Ax-\-By+Cz-\rD = 0. (2)

Når vi sier "vilkårlig" ligning, mener vi at koeffisientene A, B, C, D kan være alle tall, men selvfølgelig ekskluderende

tilfellet med samtidig lik null av alle tre koeffisientene A, B, C. Vi må bevise at ligningen(2) er ligningen til et plan.

La lg 0, y 0, r 0- noen løsning på ligningen(2), dvs. en trippel av tall som tilfredsstiller denne ligningen*). Bytter inn tallene 0, z0 i stedet for gjeldende koordinater til venstre side av ligningen(2), vi får den aritmetiske identiteten

Ax0 + By0 + Cz0+D^O. (3)

Trekk fra ligningen(2) identitet (3). Vi får ligningen

A(x-xo)+B(y-yo) + C(z-zo) = 0, (1)

som, ifølge den forrige, er ligningen til planet som går gjennom punktet M 0 (jc0; y 0; z0) og har en normal vektor n - (A; B; C). Men ligningen(2) er ekvivalent med ligningen(1), siden ligningen(1) hentet fra ligningen(2) ved termin-for-term subtraksjon av identiteten(3) og ligning (2) i sin tur hentes fra ligningen(1) ved terminvis tillegg av identiteten(3). Derfor ligningen(2) er en ligning av samme plan.

Vi har bevist at en vilkårlig førstegradsligning definerer et plan; Dermed er teoremet bevist.

201. Overflater som bestemmes av ligninger av første grad i kartesiske koordinater kalles som kjent overflater av første orden.Ved bruk av denne terminologien kan vi uttrykke de etablerte resultatene som følger:

Hvert plan er en overflate av første orden; hver første-ordens overflate er et plan.

Eksempel. Skriv en ligning for planet som går gjennom punktet Afe(l; 1; 1) vinkelrett på vektoren i*=( 2; 2; 3}.

Løsning I henhold til paragraf 199 den nødvendige ligningen er

2(*- 1)+2 (y -1)+3(y -1)=0,

eller

2x+2y+3g- 7 = 0.

*) Ligning (2), som enhver ligning av første grad med tre ukjente, har den uendelig mange løsninger. For å finne noen av dem, må du tilordne numeriske verdier til to ukjente, og deretter finne den tredje ukjente i ligningen.

202. For å avslutte denne delen, beviser vi følgende påstand: hvis to ligninger Axx-j- B^y -]- Cxz Dt = 0 og A 2x + B^y -f- C2z -]- £)2 = 0 definere det samme planet, så er koeffisientene deres proporsjonale.

Faktisk, i dette tilfellet er vektorene nx = (A 1; Bx\ og p 2 - (/42; B 2 ; Cr) er vinkelrett på samme plan, derfor kollineære på hverandre. Men da, ifølge paragraf 154 tall Аъ В 2, С 2 proporsjonal med tallene A1g B1gCx; angir proporsjonalitetsfaktoren med p, har vi: A 2-A 1ts, B2 = Bx\i, C2 =.Cj\i. La M 0 (x 0; y 0 ; ^-hvilket som helst punkt på flyet; dens koordinater må tilfredsstille hver av de gitte ligningene, så Axx 0 + Vxu 0

Cxz0 = 0 og A2xQ В 2у 0 C2z0 + D2 = 0. La oss multiplisere den første av disse likhetene med p. og trekk fra den andre; vi får D2-Djp = 0. Derfor er D%-Dx\i og

B^ Cr_ D2

Ah B, Cx-B1 ^

Dermed er vår uttalelse bevist.

§7. Plan som en overflate av første orden. Generell ligning for flyet. Ligning av et plan som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor La oss introdusere et rektangulært kartesisk koordinatsystem Oxyz i rommet og vurdere en ligning av første grad (eller lineær ligning) for x, y, z: (7.1) Axe  Ved  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . Teorem 7.1. Ethvert plan kan spesifiseres i et vilkårlig rektangulært kartesisk koordinatsystem ved en ligning av formen (7.1). På nøyaktig samme måte som når det gjelder en linje på et plan, er det motsatte av setning 7.1 gyldig. Teorem 7.2. Enhver ligning av formen (7.1) definerer et plan i rommet. Beviset for teoremene 7.1 og 7.2 kan utføres på samme måte som beviset for teoremene 2.1, 2.2. Av teoremene 7.1 og 7.2 følger det at planet og bare det er en overflate av første orden. Ligning (7.1) kalles den generelle planligningen. Dens -koeffisienter A, B, C tolkes geometrisk som koordinatene til vektoren n vinkelrett på planet definert av denne ligningen. Denne vektoren  n(A, B, C) kalles normalvektoren til det gitte planet. Ligning (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 for alle mulige verdier av koeffisientene A, B, C definerer alle plan som går gjennom punktet M 0 ( x0, y0, z0). Det kalles ligningen til en haug med fly. Valget av spesifikke verdier av A, B, C i (7.2) betyr valget av planet P fra koblingen som går gjennom punktet M 0 vinkelrett på den gitte vektoren n(A, B, C) (fig. 7.1) ). Eksempel 7.1. Skriv likningen til planet P som går gjennom punktet   A(1, 2, 0) parallelt med vektorene a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) .    Normalvektoren n til P er ortogonal til de gitte vektorene a og b (Fig. 7.2),   derfor kan vi for n ta deres vektor n-produkt: A    P i j k      1 1   2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n      a  k. La oss erstatte koordinatene til fig. 7.2. For eksempel, 7.1 P M0  punkt M 0 og vektor n inn i ligning (7.2), får vi Fig. 7.1. Til likningen av planet til en bunt av plan P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 eller P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ 1s Hvis to av koeffisientene A, B, C i ligningen (7.1) er lik null, den spesifiserer et plan parallelt med et av koordinatplanene. For eksempel, når A  B  0, C  0 – plan P1: Cz  D  0 eller P1: z   D / C (fig. 7.3). Den er parallell med Oxy-planet, fordi normalvektoren  n1(0, 0, C) er vinkelrett på dette planet. For A  C  0, B  0 eller B  C  0, A  0, ligning (7. 1) definerer plan P2: Ved  D  0 og P3: Axe  D  0, parallell koordinere fly Oxz og Oyz, siden   deres normalvektorer n2(0, B, 0) og n3(A, 0, 0) er vinkelrett på dem (fig. 7.3). Hvis bare én av koeffisientene A, B, C i ligning (7.1) er lik null, spesifiserer den et plan parallelt med en av koordinataksene (eller inneholder den hvis D  0). Dermed er plan P: Axe  By  D  0 parallelt med Oz-aksen, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x Fig. 7.4. Plan P: Akse  B y  D  0, parallelt med Oz-aksen Fig. 7.3. Planene er parallelle med koordinatplanene  siden normalvektoren n(A, B, 0) er vinkelrett på Oz-aksen. Merk at den går gjennom den rette linjen L: Axe  Ved  D  0 som ligger i Oxy-planet (fig. 7.4). For D  0 spesifiserer ligning (7.1) et plan som går gjennom origo. Eksempel 7.2. Finn verdiene til parameteren  som ligningen x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 definerer planet med P: a) av koordinatplanene; b) parallelt med en av koordinataksene; c) passerer gjennom origo for koordinater. La oss skrive det ned gitt ligning i formen x  (  2) y  (  2)(  1) z    3  0 . (7.3) For enhver verdi , definerer ligning (7.3) et visst plan, siden koeffisientene til x, y, z i (7.3) ikke forsvinner samtidig. a) For   0 definerer ligning (7.3) et plan P parallelt med planet Oxy, P: z  3 / 2, og for   2 definerer det et plan P 2 parallelt med planet Oyz, P: x  5/ 2. For ingen verdier av  er planet P definert av ligning (7.3) parallelt med planet Oxz, siden koeffisientene til x, z i (7.3) ikke forsvinner samtidig. b) For   1 definerer ligning (7.3) et plan P parallelt med Oz-aksen, P: x  3y  2  0. For andre verdier av parameteren  definerer den ikke et plan parallelt med bare en av koordinataksene. c) For   3 definerer likning (7.3) planet P som går gjennom origo, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ Eksempel 7.3. Skriv likningen til planet P som går gjennom: a) punkt M (1,  3, 2) parallelt med planaksen Oxy; b) Okseaksen og punktet M (2, – 1, 3).   a) For normalvektoren n til P her kan vi ta vektoren k (0, 0,1) - enhetsvektoren til Oz-aksen, siden den er vinkelrett på Oxy-planet. Sett inn koordinatene til punktet  M (1,  3, 2) og vektoren n i ligning (7.2), vi får likningen til planet P: z 3  0.   b) Normalvektoren n til P er ortogonal til vektorene i (1, 0, 0) og OM (2,  1, 3) ,  derfor kan vi ta deres vektorprodukt som n:    i j k        i  OM  1 0 0   j 12 03  k 12 01   3 j  k . 2 1 3  Sett inn koordinatene til punkt O og vektor n i ligning (7.2), vi får ligningen til planet P:  3(y  0)  (z  0)  0 eller P: 3 y  z  0 .◄ 3

I verdensrommet studerer analytisk geometri overflater som er bestemt i rektangulære kartesiske koordinater av algebraiske ligninger først, andre osv. grader i forhold til X,Y,Z:

Axe+By+Cz+D=0 (1)

ENx²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)

og så videre. Rekkefølgen til en ligning kalles rekkefølgen på overflaten den definerer. Vi har allerede sett at ligningen første orden(lineær) (1) spesifiserer alltid flyet er den eneste førsteordens overflaten. Det er allerede mange andreordens overflater. La oss se på de viktigste av dem.

§2. Sylindriske flater med generatriser parallelle med en av koordinataksene.

La for eksempel en viss linje L gis i XОY-planet, dens ligning er F(x,y)=0 (1) . Deretter danner settet med rette linjer parallelt med oz-aksen (generatorer) og som går gjennom punkter på L en overflate S kalt sylindrisk overflate.

La oss vise at ligning (1), som ikke inneholder variabelen z, er ligningen til denne sylindriske overflaten S. Ta et vilkårlig punkt M(x,y,z) som tilhører S. La generatrisen som går gjennom M skjære L ved punkt N. Punkt N har koordinater N(x,y,0), de tilfredsstiller ligning (1), fordi (·)N tilhører L. Men da tilfredsstiller også koordinatene (x,y,z,) (1), fordi den inneholder ikke z. Dette betyr at koordinatene til ethvert punkt på den sylindriske overflaten S tilfredsstiller ligning (1). Dette betyr at F(x,y)=0 er ligningen til denne sylindriske overflaten. Kurve L kalles guide (kurve) sylindrisk overflate. Merk at i romsystemet skal L generelt gis av to ligninger F(x,y)=0, z=0, som en skjæringslinje.

Eksempler:

Guidene i howe-planet er ellipse, parabel, hyperbel. Det er klart at ligningene F=(y,z)=0 og F(x,z)=0 definerer henholdsvis sylindriske overflater med generatorer parallelle med OX- og OY-aksene. Guidene deres ligger i henholdsvis YOZ- og XOZ-flyene.

Kommentar. En sylindrisk overflate er ikke nødvendigvis en annenordens overflate. For eksempel er det sylindrisk overflate 3. orden, og ligningen y=sin(x) definerer en sinusformet sylinder, som ingen rekkefølge er tilordnet; dette er ikke en algebraisk overflate i det hele tatt.

§3. Ligning av en revolusjonsflate.

Noen 2. ordens overflater er overflater av revolusjon. La en eller annen kurve L F(y,z)=0(1) ligge i YOZ-planet. La oss finne ut hva ligningen til overflaten S vil være, dannet ved å rotere kurven (1) rundt oz-aksen.

La oss ta et vilkårlig punkt M(x,y,z) på overflaten S. Den kan betraktes som hentet fra (.) N som tilhører L, da er applikatene til punktene M og N like (=z). Ordinaten til punktet N er her rotasjonsradiusen, fordi .Men C(0,0,z) og pga. . Men punktet N ligger på kurven og derfor tilfredsstiller koordinatene den. Midler (2) . Ligning (2) er tilfredsstilt av koordinatene til overflaten av omdreining S. Dette betyr (2) er ligningen for omdreiningsoverflaten. Tegnene "+" eller "-" tas avhengig av hvilken del av YOZ-plankurven (1) som befinner seg, hvor y>0 eller .

Så, regelen: For å finne ligningen til overflaten som dannes ved å rotere kurven L rundt OZ-aksen, må du erstatte variabelen y i ligningen til kurven

Ligningene for omdreiningsflater rundt OX- og OY-aksene er konstruert på lignende måte.