Innskrevne og omskrevne polyedre i en sylinderkule. Presentasjon om geometri om emnet "Polyhedra innskrevet i rotasjonslegemer" (grad 11). Åpen leksjon om geometri

Definisjon. Kulen kalles innskrevet i et polyeder, hvis planene til alle flatene til polyederet berører kulen i trillebårer som ligger inne i disse flatene. I dette tilfellet sies polyederet å være omskrevet om en kule.

Teorem 1.En kule (kule) kan skrives inn i et vilkårlig tetraeder.

Settet med punkter like langt fra sideflatene til tetraederet er den rette skjæringslinjen mellom to halveringsplan med dihedriske vinkler ved to sidekanter. Denne linjen vil bli krysset av halveringslinjen til den dihedrale vinkelen ved basen. Det resulterende punktet er like langt fra alle flater av tetraederet.

I tetraederet ABCD er planene CDN og ADM halveringsplan for de dihedrale vinklene ved sidekantene CD og AD. De skjærer hverandre langs rett linje OD. Plan AKC er halveringsplanet til den dihedriske vinkelen ved basen (kant AC). Dette planet vil skjære linjen OD i punktet S (P er skjæringspunktet mellom linjene DM og KC, som tilhører planene AKC og ADM samtidig, derfor er punktet S skjæringspunktet mellom AP og OD), som vil være et punkt like langt fra alle flater av tetraederet og vil derfor være sentrum av en kule innskrevet i tetraederet ABCD.

Eksempel 1. Finn radiusen til en kule innskrevet i et vanlig tetraeder.

La oss vurdere lignende trekanter DPS og DOK (med to vinkler: vinkel D er felles, vinkler DPS og DOK er rette vinkler).

Så PS:KO=DS:DK,

tar i betraktning at PS=r=SO og DS=DO-SO=DO-r,

, , Det .

Svar: radiusen til en kule innskrevet i et vanlig tetraeder er lik

Teorem 2. Du kan passe en kule inn i en vanlig pyramide.

Teorem 3. En kule kan skrives inn i en vanlig avkortet pyramide hvis og bare hvis apotem er lik summen av radiene til sirklene som er innskrevet ved basene.

Teorem 4. En kule kan skrives inn i et hvilket som helst prisme hvis en sirkel kan skrives inn i dens vinkelrette seksjon, hvis radius er lik halvparten av prismets høyde.

Teorem 5. En kule kan skrives inn i et vanlig prisme hvis og bare hvis høyden på prismet er lik diameteren til sirkelen som er innskrevet ved basen.

Kuler beskrevet rundt en sylinder, kjegle og

Avkuttet kjegle.

Definisjon. Kulen kalles beskrevet om sylinderen eller avkortet kjegle, hvis alle punkter i grunnsirklene tilhører sfæren; Kulen kalles beskrevet rundt kjeglen, hvis alle punkter i grunnsirkelen, så vel som kjeglens toppunkt, tilhører sfæren.

I disse tilfellene sies sylinderen, den avkortede kjeglen eller kjeglen å være innskrevet i en kule.

Teorem 1.En kule kan beskrives rundt en vilkårlig sylinder.

O 1 og O 2 er sentrene til henholdsvis den nedre og øvre basen. Rett linje O 1 O 2 er vinkelrett på planene til basen. La oss tegne et plan som går gjennom midten av generatrisen til sylinderen vinkelrett på denne generatrisen. Dette planet vil være parallelt med planene til basen og skjære den rette linjen O 1 O 2 ved punkt O, som vil være sentrum av kulen som er omskrevet rundt sylinderen. Avstanden fra punkt O til alle punkter på basen vil være lik, siden O 1 O 2 er GMT, like langt fra sirkelen (en rett linje som går gjennom sentrum av sirkelen og vinkelrett på sirkelens plan). Dette betyr at punkt O er sentrum av en kule med radius OA, omskrevet rundt en sylinder.

Teorem 2. En kule kan beskrives rundt en avkortet kjegle.

O 1 og O 2 er sentrene til henholdsvis den nedre og øvre basen. Rett linje O 1 O 2 er vinkelrett på planene til basen. La oss vurdere generatrisen til en avkortet kjegle AB. La oss finne GMT, like langt fra trillebårene A og B. De vil være et plan som går gjennom punktet P - midten av AB og vinkelrett på denne rette linjen. Dette planet vil skjære O 1 O 2 i punktet O, som vil være like langt fra punktene A og B. Det er også åpenbart at punktet O vil være like langt fra alle punkter på basene til den avkortede kjeglen. Følgelig vil dette punktet O være sentrum av en kule med radius OA, beskrevet rundt en avkortet kjegle.

Teorem 3. En kule kan beskrives rundt en kjegle.

I likhet med forrige teorem er OA høyden på kjeglen, som er HMT, like langt fra sirkelen. La oss vurdere generatrisen AB og finne GMT-ene ekvidistant fra A og B. Det resulterende planet (i henhold til forrige oppgave) vil skjære OA ved punkt O 1, som vil være like langt fra punktene A og B, så vel som fra alle punkter på bunnen av kjeglen. Dermed fikk vi at punktet O 1 er sentrum av en kule med radius O 1 A, beskrevet rundt en kjegle.

Målet med arbeidet er å lære alt det teoretiske materialet om temaet «Innskrevet og omskrevne polyeder» og lære å anvende det i praksis.

Polyeder innskrevet i en kule Et konveks polyeder kalles innskrevet hvis alle toppene ligger på en kule. Denne sfæren kalles beskrevet for et gitt polyeder. Sentrum av denne sfæren er et punkt like langt fra hjørnene til polyederet. Det er skjæringspunktet mellom fly, som hver går gjennom midten av kanten av polyederet vinkelrett på det.

Pyramide innskrevet i en kule Teorem: En kule kan beskrives rundt en pyramide hvis og bare hvis en sirkel kan beskrives rundt bunnen av pyramiden.

Formel for å finne radiusen til en omskreven kule La SABC være en pyramide med like sidekanter, h er høyden, R er radien til den omskrevne sirkelen rundt basen. La oss finne radiusen til den omskrevne sfæren. Legg merke til likheten mellom rettvinklede trekanter SKO 1 og SAO. Så SO 1/SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Men KS = SA/2. Da er Ri = SA2/(2SO); R1 = (h2 + R2)/(2 timer); R 1 = b 2/(2 h), hvor b er sidekanten.

Prisme innskrevet i en sfære Teorem: En sfære kan beskrives rundt et prisme bare hvis prismet er rett og en sirkel kan beskrives rundt bunnen.

Et parallellepiped innskrevet i en sfære Teorem: En sfære kan beskrives rundt et parallellepiped hvis og bare hvis parallellepipedet er rektangulært, siden det i dette tilfellet er rett og en sirkel kan beskrives rundt bunnen - et parallellogram (siden basen er en rektangel).

En kjegle og en sylinder innskrevet i en sfære Teorem: En sfære kan beskrives rundt en hvilken som helst kjegle. Teorem: En kule kan beskrives rundt en hvilken som helst sylinder.

Oppgave 1 Finn radiusen til kulen omkranset av et vanlig tetraeder med kant a. om Løsning: Først, la oss konstruere et bilde av midten av en omskrevet ball på bildet av en vanlig tetraeder SABC. La oss tegne apotemene SD og AD (SD = AD). I den likebenede trekanten ASD er hvert punkt av medianen DN like langt fra endene av segmentet AS. Derfor er punktet O 1 skjæringspunktet mellom høyden SO og segmentet DN. Ved å bruke formelen fra R 1 = b 2/(2 h), får vi: SO 1 = SA 2/(2 SO); SO = SO 1 = a 2/(2 a =a =)=a /4. Svar: SO 1 = a /4.

Oppgave 2 I en regulær firkantet pyramide er siden av basen lik a, og planvinkelen på toppen er lik α. Finn radiusen til den omskrevne kulen. Løsning: Ved å bruke formelen R 1=b 2/(2 h) for å finne radiusen til den omskrevne kulen, finner vi SC og SO. SC = a/(2 sin(a/2)); SO 2). (a/(2 sin(α/2))2 – (a /2)2 = =). = a 2/(4 sin 2(α/2)) – 2 a 2/4 = = a 2/(4 sin 2(α/2)) (1 – 2 sin 2(α/2)) = = a 2/(4 sin 2(α/2)) · cosα R 1 = a 2/(4 sin 2(α/2)) · 1/(2 a Svar: R 1 = a/(4 sin(α/ 2) ) /(2 sin(α/2))) = a/(4 sin(α/2)

Polyeder omskrevet om en kule Et konveks polyeder kalles omskrevet hvis alle ansiktene berører en kule. Denne sfæren kalles innskrevet for et gitt polyeder. Sentrum av en innskrevet sfære er et punkt like langt fra alle overflater av polyederet.

Plassering av midten av en innskrevet kule Konsept av et halveringsplan med en dihedral vinkel. Et halveringsplan er et plan som deler en dihedral vinkel i to like dihedriske vinkler. Hvert punkt i dette planet er like langt fra flatene til den dihedrale vinkelen. I det generelle tilfellet er sentrum av en kule innskrevet i et polyeder skjæringspunktet for halveringsplanene til alle dihedrale vinkler til polyederet. Den ligger alltid inne i polyederet.

En pyramide omskrevet rundt en ball En ball sies å være innskrevet i en (vilkårlig) pyramide hvis den berører alle flater av pyramiden (både på siden og bunnen). Teorem: Hvis sideflatene er like tilbøyelige til basen, kan en ball skrives inn i en slik pyramide. Siden de dihedriske vinklene ved bunnen er like, er halvdelene deres også like, og halveringslinjene skjærer hverandre i ett punkt på høyden av pyramiden. Dette punktet tilhører alle halveringsplanene ved bunnen av pyramiden og er like langt fra alle flater av pyramiden - midten av den innskrevne ballen.

Formel for å finne radiusen til en innskrevet kule La SABC være en pyramide med like sidekanter, h er høyden, r er radien til den innskrevne sirkelen. La oss finne radiusen til den omskrevne sfæren. La SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Deretter ved egenskapen til halveringslinjen innvendig hjørne trekant O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1/r = (h – r 1)/; r 1 = rh – rr 1; r 1 · (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). Svar: r 1 = rh/(+ r).

Et prisme omskrevet rundt en kule Teorem: En kule kan skrives inn i et prisme hvis og bare hvis prismet er rett og en sirkel hvis diameter er lik prismets høyde kan skrives inn ved bunnen.

Et parallellepiped og en terning beskrevet rundt en kulesetning: En kule kan skrives inn i et parallellepiped hvis og bare hvis parallellepipedet er en rett linje og basen er en rombe, og høyden på denne romben er diameteren til den innskrevne kulen, som igjen er lik høyden på parallellepipedet. (Av alle parallellogrammene kan bare en sirkel skrives inn i en rombe) Teorem: En kule kan alltid skrives inn i en terning. Sentrum av denne sfæren er skjæringspunktet mellom diagonalene til kuben, og radiusen er lik halvparten av kubens kant.

En sylinder og en kjegle beskrevet rundt en kule Teorem: En kule kan bare skrives inn i en sylinder hvis høyde er lik diameteren på basen. Teorem: En kule kan skrives inn i hvilken som helst kjegle.

Kombinasjoner av figurer Innskrevne og omskrevne prismer Et prisme innskrevet i en sylinder er et prisme der planene til basene er planene til sylinderens base, og sidekantene er sylinderens generatorer. Et tangentplan til en sylinder er et plan som går gjennom generatrisen til sylinderen og vinkelrett på planet til den aksiale seksjonen som inneholder denne generatrisen. Et prisme beskrevet rundt en sylinder er et prisme hvis basisplan er planene til sylinderens base, og sideflatene berører sylinderen.

Innskrevne og omskrevne pyramider En pyramide innskrevet i en kjegle er en pyramide hvis base er en polygon innskrevet i sirkelen til kjeglens base, og toppen er toppen av kjeglen. Sidekantene av en pyramide innskrevet i en kjegle danner kjeglen. Et tangentplan til en kjegle er et plan som går gjennom generatrisen og vinkelrett på planet til den aksiale seksjonen som inneholder denne generatrisen. En pyramide omskrevet rundt en kjegle er en pyramide hvis base er en polygon som er omskrevet rundt kjeglens base, og toppen sammenfaller med kjeglens apex. Planene til sideflatene til den beskrevne pyramiden er tangent til kjeglens plan.

Andre typer konfigurasjoner En sylinder er innskrevet i en pyramide hvis sirkelen til en av basene berører alle sideflatene til pyramiden, og den andre basen ligger på bunnen av pyramiden. En kjegle er innskrevet i et prisme hvis toppunktet ligger på den øvre bunnen av prismet, og bunnen er en sirkel innskrevet i en polygon - den nedre bunnen av prismet. Et prisme er innskrevet i en kjegle hvis alle toppunktene til den øvre bunnen av prismet ligger på kjeglens sideoverflate, og den nedre bunnen av prismet ligger på kjeglens bunn.

Oppgave 1 I en regulær firkantet pyramide er siden av basen lik a, og planvinkelen på toppen er lik α. Finn radiusen til ballen innskrevet i pyramiden. Løsning: La oss uttrykke sidene til ∆SOK i form av a og α. OK = a/2. SK = KC barneseng(a/2); SK = (en barneseng(α/2))/2. SO = = (a/2) Ved å bruke formelen r 1 = rh/(+ r), finner vi radiusen til den innskrevne kulen: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α/2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α/2) + 1) = (a/2) Svar: r 1 = (a/2) =

Konklusjon Emnet «Polyhedra» studeres av elever på 10. og 11. trinn, men i læreplan det er svært lite stoff om temaet "Inskrevne og omskrevne polyedre", selv om det vekker veldig stor interesse blant studenter, siden studiet av egenskapene til polyedre bidrar til utviklingen av abstrakte og logisk tenkning, som senere vil være nyttig for oss i studiet, jobben, livet. Mens vi jobbet med dette essayet, studerte vi alt det teoretiske materialet om emnet "Inskrevne og omskrevne polyedre", undersøkte mulige kombinasjoner av figurer og lærte å bruke alt det studerte materialet i praksis. Problemer som involverer kombinasjonen av kropper er det vanskeligste spørsmålet i stereometrikurset i 11. klasse. Men nå kan vi med sikkerhet si at vi ikke vil ha problemer med å løse slike problemer, siden vi i løpet av vårt forskningsarbeid har etablert og bevist egenskapene til innskrevne og omskrevne polyedre. Svært ofte har elever problemer med å lage en tegning for en oppgave om dette emnet. Men etter å ha lært at for å løse problemer som involverer kombinasjonen av en ball med et polyeder, er bildet av ballen noen ganger unødvendig, og det er nok til å indikere sentrum og radius, kan vi være sikre på at vi ikke vil ha disse vanskelighetene. Takket være dette essayet klarte vi å forstå dette vanskelige, men veldig fascinerende emnet. Vi håper at vi nå ikke vil ha noen problemer med å bruke det studerte materialet i praksis.

"Volum av en ball" - Volum av et parabolsk segment. Finn volumet til en kule innskrevet i et vanlig tetraeder med kant 1. En kule er innskrevet i en kjegle hvis basisradius er 1 og generatrise er 2. En seksjon av en ball ved et plan plassert i en avstand på 8 cm fra midten av ballen har en radius på 6 cm. Volumet av et sfærisk segment med høyde h avskåret fra en ball med radius R uttrykkes med formelen .

"Sirkel sirkel sfære ball" - Hjul. Gutter, dere er alle nå i ferd med å bli medlemmer av datasenteret. I analogi med en sirkel, forklar hva som er: a) radius; b) akkord; c) diameter på kulen. Finn overflaten til en kule med en radius på 3 m. Diameter. Sentrum av ballen (sfære). Ball og kule. Ball. Husk hvordan en sirkel er definert. Prøv å definere en kule ved å bruke begrepene avstand mellom punkter.

"Vanlige polyeder" - Summen av planvinklene til ikosaederet ved hvert toppunkt er 300?. Vanlige polyedre er de mest "lønnsomme" figurene. Summen av planvinklene til kuben ved hvert toppunkt er 270?. Vanlig oktaeder. Icosahedron-dodecahedron-strukturen til jorden. Kuben er den mest stabile av figurer. Vanlig dodekaeder. Vanlige konvekse polyedre.

"Ball" - Forskningsaktiviteter utenom skoletiden. Oppgave nr. 1. Kjegle. Repetisjon av teoretiske prinsipper. En ball er innskrevet i en vanlig firkantet pyramide. Overflaten til en ball kalles en kule. Pyramide. I vårt arbeid: Forskningspraksis, prosessen med å jobbe med temaet. Arbeid i klubber og valgfag.

"Innskrevet og omskrevet sirkel" - ARCHIMEDES (287-212 f.Kr.) - gammel gresk matematiker og mekaniker. Omskrevne og innskrevne sirkler. Vi kan svare på problematiske spørsmål. Sirkel. Etter hvert som antall sider av en vanlig polygon øker, øker vinkelen til polygonen. Gamle matematikere mestret ikke begrepene matematisk analyse.

"Sfære og ball" - Seksjonen som går gjennom midten av ballen er en stor sirkel. (diametralt snitt). Astronomiske observasjoner av himmelhvelvet fremkalte alltid bildet av en kule. Sfæren har alltid vært mye brukt i ulike felt av vitenskap og teknologi. Tangent fly til en kule. Generelle begreper. Det er tre punkter på overflaten av ballen.

Polyeder innskrevet i en kule Et konveks polyeder kalles innskrevet hvis alle toppene ligger på en kule. Denne sfæren kalles beskrevet for et gitt polyeder. Sentrum av denne sfæren er et punkt like langt fra hjørnene til polyederet. Det er skjæringspunktet mellom fly, som hver går gjennom midten av kanten av polyederet vinkelrett på det.

Formel for å finne radiusen til en omskrevet kule La SABC være en pyramide med like sidekanter, h er høyden, R er radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt basen. La oss finne radiusen til den omskrevne sfæren. Legg merke til likheten mellom rettvinklede trekanter SKO1 og SAO. Så SO 1 /SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Men KS = SA/2. Da er R1 = SA2/(2SO); R1 = (h2 + R2)/(2h); R 1 = b 2 /(2h), hvor b er en sidekant.

Et parallellepiped innskrevet i en sfære Teorem: En sfære kan beskrives rundt et parallellepiped hvis og bare hvis parallellepipedet er rektangulært, siden det i dette tilfellet er rett og en sirkel kan beskrives rundt bunnen - et parallellogram (siden basen er en rektangel).

Oppgave 1 Finn radiusen til en kule omskrevet om et regulært tetraeder med kant a. Løsning: S01 = SA2/(2SO); SO = = = a SO 1 = a 2 /(2 a) = a /4. Svar: SO 1 = a /4. La oss først konstruere et bilde av midten av en omskrevet ball ved å bruke bildet av en vanlig tetraeder SABC. La oss tegne apotemene SD og AD (SD = AD). I den likebenede trekanten ASD er hvert punkt av medianen DN like langt fra endene av segmentet AS. Derfor er punktet O 1 skjæringspunktet mellom høyden SO og segmentet DN. Ved å bruke formelen fra R 1 = b 2 /(2h), får vi:

Oppgave 2 Løsning: Ved å bruke formelen R 1 =b 2 /(2h) for å finne radiusen til den omskrevne kulen, finner vi SC og SO. SC = a/(2sin(a/2)); SO 2 = (a/(2sin(α /2)) 2 – (a /2)2 = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) – 2a 2 /4 = = a 2 /(4sin 2 ( α /2)) · (1 – 2sin 2 (α /2)) = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · cos α I en vanlig firkantet pyramide er siden av basen lik a, og planvinkelen ved spissen er lik α Finn radiusen til den omskrevne kulen R 1 = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · 1/(2a/(2sin(α /2))) =a/(4sin(α /2) ·).Svar: R 1 = a/(4sin(α /2) ·).

Polyeder omskrevet om en kule Et konveks polyeder kalles omskrevet hvis alle ansiktene berører en kule. Denne sfæren kalles innskrevet for et gitt polyeder. Sentrum av en innskrevet sfære er et punkt like langt fra alle overflater av polyederet.

Plassering av midten av en innskrevet kule Konsept av et halveringsplan med en dihedral vinkel. Et halveringsplan er et plan som deler en dihedral vinkel i to like dihedriske vinkler. Hvert punkt i dette planet er like langt fra flatene til den dihedrale vinkelen. I det generelle tilfellet er sentrum av en kule innskrevet i et polyeder skjæringspunktet for halveringsplanene til alle dihedrale vinkler til polyederet. Den ligger alltid inne i polyederet.

En pyramide omskrevet rundt en ball En ball sies å være innskrevet i en (vilkårlig) pyramide hvis den berører alle flater av pyramiden (både på siden og bunnen). Teorem: Hvis sideflatene er like tilbøyelige til basen, kan en ball skrives inn i en slik pyramide. Siden de dihedriske vinklene ved bunnen er like, er halvdelene deres også like, og halveringslinjene skjærer hverandre i ett punkt på høyden av pyramiden. Dette punktet tilhører alle halveringsplanene ved bunnen av pyramiden og er like langt fra alle flater av pyramiden - midten av den innskrevne ballen.

Formel for å finne radiusen til en innskrevet kule La SABC være en pyramide med like sidekanter, h er høyden, r er radien til den innskrevne sirkelen. La oss finne radiusen til den omskrevne sfæren. La SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Deretter, ved egenskapen til halveringslinjen til den indre vinkelen til en trekant, O 1 O/OH = O 1 S/SH; rl/r = (h – rl)/; r 1 · = rh – rr 1 ; r 1 · (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). Svar: r 1 = rh/(+ r).

Et parallellepiped og en terning beskrevet rundt en kulesetning: En kule kan skrives inn i et parallellepiped hvis og bare hvis parallellepipedet er rett og basen er en rombe, og høyden på denne romben er diameteren til den innskrevne kulen, som, i sin tur er lik høyden på parallellepipedet. (Av alle parallellogrammene kan bare en sirkel skrives inn i en rombe) Teorem: En kule kan alltid skrives inn i en terning. Sentrum av denne sfæren er skjæringspunktet mellom diagonalene til kuben, og radiusen er lik halvparten av kubens kant.

Kombinasjoner av figurer Innskrevne og omskrevne prismer Et prisme omskrevet rundt en sylinder er et prisme hvis grunnplan er planene til sylinderens base, og sideflatene berører sylinderen. Et prisme innskrevet i en sylinder er et prisme hvis basisplan er planene til sylinderens base, og sidekantene er sylinderens generatorer. Et tangentplan til en sylinder er et plan som går gjennom generatrisen til sylinderen og vinkelrett på planet til den aksiale seksjonen som inneholder denne generatrisen.

Innskrevne og omskrevne pyramider En pyramide innskrevet i en kjegle er en pyramide hvis base er en polygon innskrevet i sirkelen til kjeglens base, og toppen er toppen av kjeglen. Sidekantene av en pyramide innskrevet i en kjegle danner kjeglen. En pyramide omskrevet rundt en kjegle er en pyramide hvis base er en polygon som er omskrevet rundt kjeglens base, og toppen sammenfaller med kjeglens apex. Planene til sideflatene til den beskrevne pyramiden er tangent til kjeglens plan. Et tangentplan til en kjegle er et plan som går gjennom generatrisen og vinkelrett på planet til den aksiale seksjonen som inneholder denne generatrisen.

Andre typer konfigurasjoner En sylinder er innskrevet i en pyramide hvis sirkelen til en av basene berører alle sideflatene til pyramiden, og den andre basen ligger på bunnen av pyramiden. En kjegle er innskrevet i et prisme hvis toppunktet ligger på den øvre bunnen av prismet, og bunnen er en sirkel innskrevet i en polygon - den nedre bunnen av prismet. Et prisme er innskrevet i en kjegle hvis alle toppunktene til den øvre bunnen av prismet ligger på kjeglens sideoverflate, og den nedre bunnen av prismet ligger på kjeglens bunn.

Oppgave 1 I en regulær firkantet pyramide er siden av basen lik a, og planvinkelen på toppen er lik α. Finn radiusen til ballen innskrevet i pyramiden. Løsning: La oss uttrykke sidene til SOK i form av a og α. OK = a/2. SK = KC barneseng(a/2); SK = (a · ctg(α /2))/2. SO = = (a/2) Ved å bruke formelen r 1 = rh/(+ r), finner vi radiusen til den innskrevne kulen: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1) = (a/2)= = (a/2) Svar: r 1 = (a/2)

Konklusjon Emnet "Polyhedra" studeres av elever i klasse 10 og 11, men i læreplanen er det svært lite stoff om emnet "Innskrevet og omskrevne polyeder", selv om det er av stor interesse for studenter, siden studiet av egenskapene av polyeder bidrar til utviklingen av abstrakt og logisk tenkning, som senere vil være nyttig for oss i studier, arbeid, liv. Mens vi jobbet med dette essayet, studerte vi alt det teoretiske materialet om emnet "Inskrevne og omskrevne polyedre", undersøkte mulige kombinasjoner av figurer og lærte å bruke alt det studerte materialet i praksis. Problemer som involverer kombinasjonen av kropper er det vanskeligste spørsmålet i stereometrikurset i 11. klasse. Men nå kan vi med sikkerhet si at vi ikke vil ha problemer med å løse slike problemer, siden vi i løpet av vårt forskningsarbeid har etablert og bevist egenskapene til innskrevne og omskrevne polyedre. Svært ofte har elever problemer med å lage en tegning for en oppgave om dette emnet. Men etter å ha lært at for å løse problemer som involverer kombinasjonen av en ball med et polyeder, er bildet av ballen noen ganger unødvendig, og det er nok til å indikere sentrum og radius, kan vi være sikre på at vi ikke vil ha disse vanskelighetene. Takket være dette essayet klarte vi å forstå dette vanskelige, men veldig fascinerende emnet. Vi håper at vi nå ikke vil ha noen vanskeligheter med å anvende det studerte materialet i praksis.

Et polyeder sies å være innskrevet i en sfære hvis alle hjørnene tilhører denne sfæren. Selve kulen sies å være omskrevet rundt polyederet.

Teorem. En kule kan beskrives rundt en pyramide hvis og bare hvis en sirkel kan beskrives rundt bunnen av denne pyramiden.

Polyeder innskrevet i en kule

Teorem. En kule kan beskrives nær et prisme hvis og bare hvis en sirkel kan beskrives nær bunnen av dette prismet. Senteret vil være et punkt O, som er midtpunktet til segmentet som forbinder sentrene til sirklene som er beskrevet rundt prismebasene. Kuleradius R beregnet med formelen

Hvor h– prismehøyde, r– radius av sirkelen beskrevet rundt bunnen av prismet.

I lysbildemodus vises svar og løsninger etter at du har klikket med musen

Øvelse 1

Er det mulig å beskrive en kule rundt et rektangulært parallellepiped?

Svar: Ja. Sentrum er skjæringspunktet mellom diagonalene, og radiusen er lik halvparten av diagonalen til parallellepipedet

Øvelse 2

Er det mulig å beskrive en kule rundt et skrånende parallellepiped, hvis ansikter alle er romber?

Svar: Nei.

Øvelse 3

Er det mulig å beskrive en kule rundt et skrånende prisme?

Svar: Nei.

Øvelse 4

Kan midten av en kule som er avgrenset om et prisme være plassert utenfor prismet?

Svar: Ja, hvis bunnen av prismet er en stump trekant.

Øvelse 5

Kan midten av en kule beskrevet nær en pyramide være plassert utenfor denne pyramiden?

Svar: Ja.

Kule omskrevet rundt en kube

I lysbildemodus vises svar og løsninger etter at du har klikket med musen

Øvelse 1

Finn radiusen til kulen som er omskrevet rundt enhetskuben.

Øvelse 2

Finn kanten på en kube innskrevet i enhetssfæren.

Øvelse 3

Finn radiusen til en kule omskrevet rundt et rektangulært parallellepiped hvis kanter som strekker seg fra ett toppunkt er lik 1, 2, 3.

Øvelse 4

De to kantene på en kuboid som strekker seg fra samme toppunkt er 1 og 2. Radien til den omskrevne kulen er 1,5. Finn den tredje kanten som kommer ut fra samme toppunkt på parallellepipedet.

Kule omskrevet om et tetraeder

I lysbildemodus vises svar og løsninger etter at du har klikket med musen

Øvelse 1

Finn radiusen til kulen som er omskrevet rundt enheten tetraeder.

Løsning. I et tetraeder SABC vi har:

BE=SE=

I en rettvinklet trekant OBE vi har:

R, Vi finner

Øvelse 2

Finn kanten av et vanlig tetraeder innskrevet i enhetskulen.

Øvelse 3

Basen til pyramiden er en vanlig trekant, hvis side er lik 3. En av sidekantene er lik 2 og er vinkelrett på basens plan. Finn radiusen til den omskrevne kulen.

Løsning. La O– midten av den beskrevne sfæren, Q– midten av en sirkel beskrevet rundt basen, E- midten S.C.. Firkant CEOQ- et rektangel der CE= 1, CQ= Derfor, R=OC= 2.

Svar: R = 2.

Øvelse 4

Bildet viser en pyramide SABC, som kanten S.C. lik 2 og vinkelrett på basens plan ABC, hjørne ACB lik 90 o, AC = BC = 1 . Konstruer midten av en kule som er avgrenset rundt denne pyramiden og finn dens radius.

Løsning. Gjennom midten D ribbeina AB la oss trekke en rett linje parallelt S.C.. Gjennom midten E ribbeina S.C. la oss trekke en rett linje parallelt CD. Deres skjæringspunkt O vil være det ønskede midten av den beskrevne sfæren. I en rettvinklet trekant OCD vi har:

OD=CD= Ved teorem

Pythagoras, finner vi

Øvelse 5

Finn radiusen til en kule som er omskrevet rundt en vanlig trekantet pyramide, hvis sidekanter er lik 1, og planvinklene på toppen er lik 90°.

Løsning. I et tetraeder SABC vi har:

AB=AE= SE =

I en rettvinklet trekant OAE vi har:

Løser denne ligningen for R, Vi finner

Kule omskrevet om et trekantet prisme

I lysbildemodus vises svar og løsninger etter at du har klikket med musen

Øvelse 1

Finn radiusen til en kule omskrevet rundt et vanlig prisme, der alle kanter er lik 1.

Løsning. Vi har:

A.A. 1 = 1, AD=OD=

Derfor, R=AO=

Øvelse 2

En kule med radius 2 er omskrevet rundt et regulært trekantet prisme, hvis side er lik 1. Finn høyden på prismet.

Løsning. Vi har: A.O. = 2, OD=

Derfor, h = AA 1 = 2 AO=

Øvelse 3

En kule med radius 1 er omskrevet rundt et regulært trekantet prisme hvis høyde er 1. Finn siden av prismets basis.

Løsning. Vi har: A.O. = 1 , OD=

Derfor, AD=

Midler, AB =

Øvelse 4

Finn radiusen til en kule omskrevet om et rettvinklet trekantet prisme, ved bunnen av hvilken høyre trekant med ben lik 1 og høyden på prismet lik 2.

Løsning. Radiusen til kulen er lik halve diagonalen EN 1 C rektangel ACC 1 EN 1 .

Vi har: A.A. 1 = 2, AC =

Derfor, R=

En kule omskrevet om et regulært sekskantet prisme

I lysbildemodus vises svar og løsninger etter at du har klikket med musen

Trening

Finn radiusen til en kule omskrevet rundt et regulært sekskantet prisme, der alle kanter er lik 1.

Løsning. Vi har AG = 1, OG=

Derfor, R=AO=

En kule omskrevet om en vanlig firkantet pyramide

I lysbildemodus vises svar og løsninger etter at du har klikket med musen

Trening

Finn radiusen til en kule som er omskrevet rundt en vanlig firkantet pyramide, der alle kanter er lik 1.

En kule omskrevet om en vanlig sekskantet pyramide

I lysbildemodus vises svar og løsninger etter at du har klikket med musen

Trening

Finn radiusen til en kule som er omskrevet rundt en vanlig 6-gonal pyramide hvis grunnkanter er lik 1 og sidekanter er lik 2.

Løsning. Triangel LEI SEG.– likesidet med side 2. Radius R omskrevne kule er lik radiusen til trekantens omskrevne sirkel LEI SEG.. Derfor,

Kule omskrevet om et oktaeder

I lysbildemodus vises svar og løsninger etter at du har klikket med musen

Trening

Finn radiusen til kulen som er omskrevet rundt enheten oktaeder.

Løsning. Radius R omskrevne kule er lik halvparten av kvadratets diagonal ABCD med side 1. Derfor

Sfære omskrevet om icosahedron

I lysbildemodus vises svar og løsninger etter at du har klikket med musen

Trening

Finn radiusen til kulen som er omskrevet rundt enheten icosahedron.

Løsning. I et rektangel ABCD AB = CD = 1, B.C. Og AD – diagonaler av vanlige femkanter med sider 1. Derfor,

BC=AD=

I følge Pythagoras teorem AC =

Den nødvendige radiusen er lik halvparten av denne diagonalen, dvs.

Trening

Finn radiusen til kulen som er omskrevet rundt enheten dodekaeder.

Løsning. ABCDE- vanlig femkant med side

I et rektangel ACGF AF=CG= 1, A.C. Og FG – femkantede diagonaler ABCDE og derfor AC=FG=

I følge Pythagoras teorem

FC= Nødvendig radius

lik halvparten av denne diagonalen, dvs.

Trening

Figuren viser et avkortet tetraeder oppnådd ved å kutte av hjørnene på et vanlig tetraeder av trekantede pyramider, hvis overflater er vanlige sekskanter og trekanter. Finn radiusen til en kule omskrevet rundt et avkortet tetraeder hvis kanter er lik 1.

Trening

Figuren viser en avkortet terning oppnådd ved å kutte av trekantede pyramider fra hjørnene av kuben, hvis overflater er vanlige åttekanter og trekanter. Finn radiusen til en kule omskrevet rundt en avkortet kube hvis kanter er lik 1.

Trening

Figuren viser et avkortet oktaeder oppnådd ved å kutte av trekantede pyramider fra hjørnene av oktaederet, hvis overflater er vanlige sekskanter og trekanter. Finn radiusen til en kule omskrevet rundt et avkortet oktaeder hvis kanter er lik 1.

Trening

Figuren viser et avkortet icosahedron oppnådd ved å kutte av hjørnene av icosahedron av femkantede pyramider, hvis ansikter er vanlige sekskanter og femkanter. Finn radiusen til en kule omskrevet rundt et avkortet ikosaeder hvis kanter er lik 1.

Trening

Figuren viser et avkortet dodekaeder oppnådd ved å kutte av trekantede pyramider fra hjørnene av dodekaederet, hvis overflater er vanlige dekagoner og trekanter. Finn radiusen til en kule omskrevet rundt et avkortet dodekaeder hvis kanter er lik 1.

Trening

Finn radiusen til kulen som er omskrevet rundt enheten cuboctahedron

Løsning. Husk at et cuboctahedron oppnås fra en terning ved å kutte av vanlige trekantede pyramider med toppunkter ved toppunktene til kuben og sidekanter som er lik halve kanten av kuben. Hvis kanten av oktaederet er lik 1, så er kanten på den tilsvarende kuben lik Radiusen til den omskrevne sfæren er lik avstanden fra midten av kuben til midten av kanten, dvs. tilsvarer 1.

Svar: R = 1.