Вторая средняя линия трапеции формула. Средняя линия трапеции. Теорема о средней линии трапеции
Цели урока:
1. Изучить понятие средней линии трапеции, доказательство свойства средней линии, учить применять теорему в нестандартных ситуациях при решении задач.
2. Формировать умение учащихся анализировать, обобщать, использовать элементы исследования, сравнения.
3. Развивать логическое мышление, воспитывать культуру математической речи, эстетический вкус.
Оборудование:
1. АРМ, экран, проектор
2. Презентация по теме урока. (Приложение
1
)
3. Карточки
4. Учебник А.В. Погорелова «Геометрия»
5. Сборники ЕГЭ., 2004 г.
Ход урока
1. Для изучения темы урока нам понадобятся следующие теоретические знания.
Продолжите предложения:
1) Трапеция – это четырёхугольник…
Рисунок 1
2) Средняя линия треугольника – это…
Рисунок 2
3) В любом треугольнике можно построить … средние линии.
Рисунок 3
4) Средняя линия треугольника обладает свойством …
Рисунок 4
5) Два треугольника равны, если …
Рисунок 5
6) При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей …
Рисунок 6
7) Если две прямые параллельны третьей, то …
Рисунок 7
2. Введём понятие средней линии трапеции:
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
Рисунок 8
(В тетрадях учащиеся выполняют построения)
1) Верно ли определение: отрезок, соединяющий середины двух сторон трапеции, является средней линией? (Нет, отсутствует слово боковых сторон).
2) А сколько средних линий можно построить в трапеции? (Только одну).
3) Каким свойством обладает средняя линия трапеции? Измерьте основания трапеции и длину средней линии. Чему равна средняя линия? (Половине суммы оснований).
Попробуем доказать это свойство.
3. Доказательство теоремы.
(На доске и в тетрадях учеников чертёж и запись условия теоремы).
Рисунок 9
Доказательство
1) Мы знаем свойство средней линии треугольника. Как можно этим воспользоваться? (Нужен треугольник). Как его получить? (Выполнить дополнительное построение: через С и М проведём прямую до пересечения с прямой AD).
а) AM=MB (по условию MN-средняя линия)
б) A = B (накрест лежащие при BC||AD и секущей AB)
в) AME = BMC (вертикальные углы)
Следовательно, EM=MC и EA=BC.
Рисунок 11
3) В Δ ECD: MN- средняя линия по определению, тогда по свойству
a) MN || AD и BC || AD (по условию). Следовательно, MN || BC.
b) MN = ½ ED = ½ (EA+AD) = ½ (BC+AD).
Следует повторить всё доказательство, учащимся сделать записи в тетрадях.
Повторяем план доказательства:
1) Проводим через одну из вершин верхнего основания трапеции и противолежащий конец средней линии прямую до пересечения с продолжением нижнего основания.
2) Доказываем равенство полученных треугольников с общей вершиной.
3) Доказываем, что MN является средней линией Δ ECD и используем свойство средней линии треугольника
4. Где уже встречалось выражение «полусумма оснований трапеции»?
1) В формуле S тр =h*(a+b)/2. Как можно иначе прочитать эту формулу? (S тр =MN*h, где MN – средняя линия трапеции).
2) В свойстве равнобедренной трапеции: B 1 D = (a+b)/2.
Рисунок 12
Высота в равнобедренной трапеции делит большее основание трапеции на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований. Следовательно, в равнобедренной трапеции B1D=MN.
1) Закрепление. (Устно по готовым рисункам)
Рисунок 13
2) Выполнить письменно на доске
I. Погорелов №69, стр. 101
II. *ЕГЭ-2004, вариант №383, задание B9 , стр. 40
(Условие и решение задач см. в Приложении 2 ).
6. Самостоятельная работа по карточкам (дифференцированная)
№1 («3») В трапеции одно основание больше другого в 1,5 раза, а средняя линия равна 5 см. Найти основания трапеции.
(Решение: Рисунок 14)
Рисунок 14
№ 2 («4») В прямоугольной трапеции тупой угол равен 1200, большая боковая сторона равна 20 см., а средняя линия равна 14 см. Найти площадь трапеции.
(Решение: Рисунок 15)
Рисунок 15
№ 3 («5») В равнобедренной трапеции высота равна средней линии. Доказать, что диагонали взаимно перпендикулярны.
(Решение: Рисунок 16)
Рисунок 16
(Самостоятельную работу проверить по презентации по готовым слайдам №№ 18, 19, 20).
7. Задание на дом
1)Атанасян Л.С. «Геометрия», п. 85 (доказательство по тетради по уч. Погорелова, стр. 92); № 793, № 798, № 799
2)*Ершова А.Л., стр. 89 В-2 (№2)
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Понятие средней линии трапеции
Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.
Определение 1
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные -- боковыми сторонами трапеции.
Определение 2
Средняя линия трапеции -- это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
Теорема о средней линии трапеции
Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её вектор ным методом.
Теорема 1
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство.
Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ -- средняя линия этой трапеции (рис. 1).
Рисунок 1. Средняя линия трапеции
Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.
Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что
С другой стороны
Сложим два последних равенства, получим
Так как $M$ и $N$ - середины боковых сторон трапеции, то будем иметь
Получаем:
Следовательно
Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.
Теорема доказана.
Примеры задач на понятие средней линии трапеции
Пример 1
Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.
Решение.
Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.
Сумма боковых сторон равна
Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна
Значит, по теореме 1, получаем
Ответ: $10\ см$.
Пример 2
Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.
Решение.
Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).
Рисунок 2.
Так как $AD$ и $BC$ - расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ -- радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ - трапеция, а $OH$ - ее средняя линия. По теореме 1, получаем
Средняя линия фигур в планиметрии - отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.
Энциклопедичный YouTube
1 / 3
✪ 8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольника
✪ геометрия СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА Атанасян 8 класс
✪ Средняя линия треугольника | Геометрия 7-9 класс #62 | Инфоурок
Субтитры
Средняя линия треугольника
Свойства
- средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
- при пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
- средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
- Три средние линии треугольника разбивает его на 4 равных (одинаковых) треугольника, подобных исходному треугольнику. Все 4 таких одинаковых треугольника называют серединными треугольниками. Центральный из этих 4 одинаковых треугольников называется дополнительным треугольником .
Признаки
- если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину одной стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то это средняя линия.
Средняя линия четырёхугольника
Средняя линия четырёхугольника - отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.
Свойства
Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны. Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).
- Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
- Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
- Середины сторон произвольного четырёхугольника - вершины параллелограмма . Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
- Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода . Средние линии второго рода - четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона.
- Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является
Средняя линия трапеции, а особенно ее свойства, очень часто используются в геометрии для решения задач и доказательства тех или иных теорем.
– это четырехугольник, у которого только 2 стороны параллельны друг другу. Параллельные стороны называют основаниями (на рисунке 1 - AD и BC ), две другие – боковыми (на рисунке AB и CD ).
Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон (на рисунке 1 - KL ).
Свойства средней линии трапеции
Доказательство теоремы о средней линии трапеции
Доказать , что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований и параллельна этим основаниям.
Дана трапеция ABCD со средней линией KL . Для доказательства рассматриваемых свойств требуется провести прямую через точки B и L . На рисунке 2 это прямая BQ . А также продолжить основание AD до пересечения с прямой BQ .
Рассмотрим полученные треугольники LBC и LQD :
- По определению средней линии KL точка L является серединой отрезка CD . Отсюда следует, что отрезки CL и LD равны.
- ∠ BLC = ∠ QLD , так как эти углы вертикальные.
- ∠ BCL = ∠ LDQ , так как эти углы накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей CD .
Из этих 3 равенств следует, что рассмотренные ранее треугольники LBC и LQD равны по 1 стороне и двум прилежащим к ней углам (см. рис. 3). Следовательно, ∠ LBC = ∠ LQD , BC=DQ и самое главное - BL=LQ => KL , являющаяся средней линией трапеции ABCD , также является и средней линией треугольника ABQ . Согласно свойству средней линией треугольника ABQ получаем.
Похожие статьи
-
Что есть бедный, а что есть богатый внутренний мир?
Именно над этими вопросами размышляет И.А.Ильин в своём тексте. В нём писатель ставит нравственную проблему духовной бедности человека.Автор, рассуждая по данной теме, опирается на собственные рассуждения. В наше время многие люди...
-
Беседа с настоятелем прихода святых жен-мироносиц в венеции священником алексием ястребовым Приход святых жен мироносиц в венеции
Казалось бы, понятия "Италия" и "Православие" на первый взгляд несовместимые. Италия на протяжении тысячи лет является центром и оплотом Католической церкви. Отсюда веками раздавались призывы об обращении в "истинную католическую веру". Но...
-
Смотреть что такое "1918 год" в других словарях
1916 – 1917 1918 1919 – 1920 См. также: Другие события в 1918 году В 1918 году были различные научные и технологические события, некоторые из которых представлены ниже. Содержание 1 События … Википедия 1916 1917 1918 1919 1920...
-
Гюлистанский договор 1813
عهدنامه گلستان ) - договор между Российской империей и Персией (Ираном), подписанный 12 (24) октября 1813 года в селении Гюлистан (Карабах) после окончания русско-персидской войны 1804-1813 годов .Договор был подписан от имени Российской...
-
Фельдмаршал миних бурхард кристоф Правление Екатерины I и Петра II
Б.Х. Миних. Гравюра первой половины 1840-х гг.Миних Бурхард Кристоф (Христофор Антонович) (1683 — 1767), русский генерал-фельдмаршал (1732). До 1721 служил инженером во французской, гессен-дармштадтской, гессен-кассельской и...
-
Кого и почему церковь причисляет к лику святых?
Как учит Церковь, каждый человек сотворен по образу и подобию Божиему. Вследствие грехопадения образ Божий в человеке был искажен. Цель жизни христианина - восстановление в себе образа Божиего, уподобление Богу. В Новом Завете святыми...